5.1.2 第2课时 等比数列前n项和的实际应用(课件PPT)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

一元函数的导数及其应用 5.1.2　导数的概念及其几何意义 第2课时　导数的几何意义 第五章 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 学习目标 1.通过图象直观理解导数的几何意义． 2．理解导函数的概念，知道导数与函数在某点处导数的区别与联系． 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 C 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 C 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 B 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 A 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 课时梯级训练(17) 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 知识点一　导数的几何意义 1．曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？ 2．导数的几何意义是什么？ 1．曲线切线的定义 如图所示，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的____． 切线 2．导数的几何意义 割线P0P的斜率k＝，记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T 的斜率k0，即k0＝_________________＝________． f′(x0) [例1] 已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点P处的切线方程； (2)求曲线C过点(1, 1)的切线方程． (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， ∴切点P(1, 1). ∵y′|x＝1＝ ＝ ＝[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3， ∴k＝y′|x＝1＝3. ∴曲线在点P(1, 1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0. (2)设点P为(1，1)，切点为Q(x0, y0)，则y0＝x，由(1)可知y′|x＝x0＝3x. 由题意可知kPQ＝y′|x＝x0， ∴切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x. ∵切线过点(1, 1)，∴3x－2x＝1， 即2x－3x＋1＝0，∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0. 解得x0＝1或x0＝－. ①当x0＝1时，切点坐标为(1, 1)， 相应的切线方程为3x－y－2＝0. ②当x0＝－时，切点坐标为(－，－)，相应的切线方程为y＋＝(x＋)，即3x－4y＋1＝0. ∴曲线C过点(1, 1)的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0. 求曲线切线方程的两种情形 (1)如果所给点P(x0，y0)是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)，即得切线的斜率k＝f′(x0)，再根据点斜式得出切线方程． (2)如果所给点P不是切点，应先设出切点M(x0，y0)，再求切线方程．要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上． [练1] 已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是 (　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) kAB＝＝f(3)－f(2)，f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2, f(2))处的切线的斜率，f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3, f(3))处的切线的斜率．根据图象可知0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2). [练2] 求曲线y＝在点(2，)处的切线方程． 曲线在点(2，)处的切线的斜率为 k＝ ＝ ＝－， 由直线的点斜式方程可得切线方程为y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0. 知识点二　导函数 导函数的定义 从求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ . f′(x0)与f′(x)的区别和联系 区别：(1)f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数，即函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量． (2) f′(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数y＝f(x)在开区间(a, b)内每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a, b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数——导函数f′(x). 联系：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处 的函数值，也是求函数在x＝x0处的导数的方法之一． [例2] 已知函数y＝f(x)＝x2－x.求： (1)f′(x)； (2)f(x)在x＝1处的导数． (1)∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx，∴＝2x＋Δx－. ∴f′(x)＝ ＝2x－. (2)由(1)知f′(x)＝2x－，所以f′(1)＝2×1－＝. 求导数的方法步骤 求f′(x)时，结合导数的定义，首先计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x).然后求，最后得到f′(x)＝ . [练3] 若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则 等于 (　　) A．f′(x0) B．2f′(x0) C．－2f′(x0) D．0 ∵函数y＝f(x)在x＝x0处可导， ∴ ＝－2 ＝－2f′(x0). 1．知识清单 (1)导数的几何意义． (2)导函数． 2．方法归纳：方程思想、数形结合． 3．常见误区：切线过某点，忽视该点不一定是切点． 1．设曲线y＝f(x)在某点处的导数值为0，则曲线在该点的切线 (　　) A．垂直于x轴 B．垂直于y轴 C．既不垂直于x轴也不垂直于y轴 D．方向不能确定 由导数的几何意义知曲线f(x)在此点处的切线的斜率为0，故切线与y轴垂直． 2．已知曲线y＝x2上一点A(2，4)，则曲线在点A处的切线斜率为 (　　) A．4 B．16 C．8 D．2 k＝y′|x＝2＝ ＝4. 3．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________． 答案：2　 由已知条件及图象中的信息可知f(5)＋f′(5)＝(－5＋8)＋(－1)＝2. 4．利用导数的定义，求函数y＝在x＝1处的导数． 因为Δy＝－＝＝，所以＝， 所以y′|x＝1＝ ＝ ＝－2. 即函数y＝在x＝1处的导数为－2. $$