5.1.2 第1课时 等比数列的前n项和公式(课件PPT)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

一元函数的导数及其应用 5.1.2　导数的概念及其几何意义 第1课时　导数的概念 第五章 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 学习目标 1.了解导数概念的实际背景． 2．知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想． 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 ABC 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 A 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 C 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 A 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 D 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 B 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 课时梯级训练(16) 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 知识点一　函数的平均变化率 由前面所学的两类变化率问题，想一想，函数平均变化率的意义是什么？ 函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率 (1)自变量的变化量：Δx＝(x0＋Δx)－x0. (2)函数值的变化量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0). (3)平均变化率：＝_________________． Δx是自变量的变化量，可以为正、为负，但不为零；而Δy是相应函数值的变化量，既可以为正、为负，也可以为零． [例1] (多选)在x＝1附近，取Δx＝0.3，下列说法正确的有 (　 　) A．函数y＝x的平均变化率为1 B．函数y＝x2的平均变化率为2.3 C．函数y＝x3的平均变化率为3.99 D．函数y＝的平均变化率为1 根据平均变化率的计算公式，可得＝，所以若在x＝1附近取Δx＝0.3，则平均变化率＝.A选项中，函数y＝x，则＝＝＝1，正确；B选项中，函数y＝x2，则＝＝＝＝2.3，正确；C选项中，函数y＝x3，则＝＝＝＝3.99，正确；D选项中，函数y ＝， 则＝＝＝－≠1，错误．故选ABC. 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (2)再计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1). (3)最后计算平均变化率＝. [练1] (2025·济南高二期中)函数f(x)＝2x，g(x)＝x2在[0，2]上的平均变化率分别记为m1，m2，则下列结论正确的是 (　　) A．m1＝m2 B．m1>m2 C．m2>m1 D．m1，m2的大小无法确定 m1＝＝2，m2＝＝2，故m1＝m2. [练2] (2025·辽宁名校联盟高二月考)函数f(x)＝x-1－1在区间[2，3]上的平均变化率为________． 答案：－ 函数f(x)＝x-1－1在区间[2，3]上的平均变化率为＝－. 知识点二　函数在某一点处的导数 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 条件 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限 结论 称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率) 记法 记作______或___________，即f′(x0)＝ ＝ ______________________． f′(x0) 对导数概念的理解 (1)函数应在点x0的附近有意义，否则导数不存在； (2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在点x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关； (3)导数的实质是一个极限值． [例2] 求函数y＝x－在x＝1处的导数． ∵Δy＝(1＋Δx)－－(1－)＝Δx＋， ∴＝＝1＋， ∴ ＝ (1＋)＝2. 从而y′|x＝1＝2. 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0). (2)求平均变化率＝. (3)求极限 . [练3] 设函数y＝f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则 (　　) A.f′(x)＝a B．f′(x)＝b C.f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，＝a＋bΔx，当Δx趋于0时，a＋bΔx趋于a，故f′(x0)＝a. [练4](2025·南昌高二期中)若 ＝2，则可导函数f(x)在x＝1处的导数为 (　　) A.－2 B．－1 C.1 D．2 由已知可得， ＝－ ＝2， 所以 ＝－2. 根据导数的概念可知，f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝ ＝－2. 综合应用：实际问题中的瞬时变化率 [例3] (2024·东莞高二月考)投石入水，水面会产生圆形波纹区，且圆的面积随着波纹的传播半径r的增大而增大(如图).计算： (1)半径r从a增加到a＋d时，圆面积S相对于r的平均变化率； (2)半径r＝a时，圆面积S相对于r的瞬时变化率． (1)圆面积S相对于半径r的平均变化率为 ＝＝π(2a＋d). (2)在表达式π(2a＋d)中，让d趋近于0，得到圆面积S相对于r的瞬时变化率为2πa. 对导数实际意义的理解 导数揭示了事物在某时刻的变化状况，描述了任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、交变电流、比热容等. [练5] 枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速运动，其运动方程为s＝at2.如果它的加速度是a＝5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为t0＝1.6×10-3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． ∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2， ∴＝at0＋aΔt，∴ ＝ (at0＋aΔt)＝at0. ∵a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10-3 s， ∴v＝at0＝800 m/s. ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 1．知识清单 (1)函数的平均变化率． (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数． 2．方法归纳：定义法． 3．常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数的概念理解不到位． 1．已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f(x0)＝ (　　) A.2 B．－2 C．1 D．9 由题知－8＝ ＝ (2Δx＋4x0)＝4x0，得x0＝－2， 所以f(x0)＝f(－2)＝2×(－2)2＋1＝9. 2．f(x)＝x2在x＝1处的导数为 (　　) A.2x B．2 C．2＋Δx D．1 ＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2. 3．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值为________． 答案：±2 f′(x)＝ ＝－， 即f′(m)＝－＝－，m2＝4，解得m＝±2. $$