5.1.1 等比数列的应用及性质(课件PPT)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

一元函数的导数及其应用 5．1　导数的概念及其意义 5．1.1　变化率问题 第五章 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 学习目标 1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，认识到瞬时速度是平均速度的极限，感悟极限的思想． 2．理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系，会求曲线在某点处切线的斜率． 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 0 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 瞬时速度 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 B 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 B 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 B 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 C 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 课时梯级训练(15) 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 知识点一　平均速度与瞬时速度 在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11. 如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？ 1．平均速度 若物体运动的位移与时间的关系是s＝f(t)，则函数f(t)在t0与t0＋ Δt之间的平均速度是______________，其中Δt是时间的改变量，可以是正值，也可以是负值，但不能为__． 2．瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为________． (2)当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度无限趋近于瞬时速度，即当Δt无限趋近于0时，＝的极限 为物体在时刻t的瞬时速度． 瞬时速度与平均速度的区别与联系 区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关． 联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值． [例1] 已知一物体的运动方程为f(t)＝3t2＋5，求： (1)f(t)从0.1到0.2的平均速度； (2)f(t)在区间[t0，t0＋Δt]上的平均速度． (1)因为f(t)＝3t2＋5，所以从0.1到0.2的平均速度为＝0.9. (2)f(t0＋Δt)－f(t0)＝3(t0＋Δt)2＋5－(3t＋5) ＝3t＋6t0Δt＋3(Δt)2＋5－3t－5＝6t0Δt＋3(Δt)2. 所以函数f(t)在区间[t0，t0＋Δt]上的平均速度为 ＝6t0＋3Δt. 求运动物体的平均速度的步骤 第一步，求时间的改变量Δt＝t2－t1； 第二步，求位移的变化量Δy＝f(t2)－f(t1)； 第三步，求平均速度＝. [练1] 某物体的运动方程y＝f(x)如图所示，在A，B两点间的平均速度等于 (　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 平均速度为＝－1. [练2] (2025·宁夏育才中学高二期末)一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为 (　　) A．2 B．1 C．－1 D．6 Δs＝5×32＋3m－(5×22＋2m)＝25＋m，Δt＝3－2＝1， ∵物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s， ∴v＝＝25＋m＝26，解得m＝1.故选B. [例2] 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． ∵＝ ＝ ＝3＋Δt，∴ ＝ (3＋Δt)＝3. ∴物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 1．求运动物体的瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； (2)求平均速度＝； (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度． 2．求 (当Δx无限趋近于0时)的极限的方法 (1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算； (2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0可看作Δx＝0，求出结果即可． [练3] 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值． 质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率． ∵质点M在t＝2附近的平均变化率为＝＝＝4a＋aΔt， ∴ ＝4a＝8，即a＝2. 知识点二　曲线的切线的斜率 1．曲线的切线 设P0是曲线上的一定点，P是曲线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线． 2．曲线切线的斜率 设P0(x0, y0)是曲线y＝f(x)上一点，则曲线y＝f(x)在点P0(x0, y0)处的 切线的斜率k0＝__________________． [例3] 求曲线y＝在点A(，2)处的切线的斜率，并写出切线方程． 设f(x)＝，∵Δy＝f(＋Δx)－f()＝－2＝，∴＝， ∴所求切线的斜率k＝ ＝－4， ∴所求切线方程为y－2＝－4(x－)，即4x＋y－4＝0. 求曲线的切线斜率的方法 解答此类问题，一般是根据曲线的割线与切线的关系，先求出割线的斜率，再令Δx→0，求得曲线在该点处的切线的斜率． [练4] 求抛物线f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程． f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－4＋2＝3Δx＋(Δx)2， 所以切线的斜率k＝ ＝ ＝ (3＋Δx)＝3. 则所求切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0. 1．知识清单 (1)平均速度、瞬时速度． (2)曲线的切线的斜率． 2．方法归纳：极限法、定义法． 3．常见误区：对割线的斜率与切线的斜率之间的关系理解不到位． ◎随堂演练 1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2, 2.1]这段时间内的平均速度是 (　　) A．0.41 B．2 C．0.3 D．0.2 Δs＝(3＋2×2.1)－(3＋2×2)＝0.2，Δt＝2.1－2＝0.1，所以＝＝2. 2．已知曲线y＝2x2上一点A(2，8)，则在点A处的切线斜率为 (　　) A．4 B．16 C．8 D．2 k＝ ＝8. 3．某物体位移s和时间t满足函数关系s＝100t－5t2(0<t<20)，则当t＝2时，该物体的瞬时速度为________. 答案：80 因为＝＝100－10t－5Δt， 所以当t＝2时，该物体的瞬时速度为 ＝ (100－10t－5Δt)＝80. $$