5.1.2导数的概念及其几何意义第二课时课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 高中数学人教版选择性必修第二册第五章 5.1.2导数的概念及其几何意义 安庆市第二中学 光星星 导数是瞬时变化率的数学表达. 导数 表示函数y=f(x) 在 x=x₀ 处的瞬时变化率，反 映了函数y=f(x) 在 x=x₀ 附近的变化情况. 问 题 1函 数y=f(x) 在 x=x₀ 处的导数计算公式及导数 的意义是什么? 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 温故知新 高中数学 第2课时 导数的几何意义 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 问题2 一般函数y=f (x)在 x=x ₀ 处的导数 高中数学 问题2 抛物线的切线问题 f(x)=x² 割线斜率 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 的几何意义? 温故知新 切线斜率 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 的几何意义是什么? 过点R,( x₀ ,f(x ₀))和 点P( x₀+Dx ,f(x₀+Dx) )的直线的斜率. 平均变化率的几何意义是割线P₀P 的斜率k. 问 题 3 平均变化率 探究新知 高中数学 曲线的切线与割线 △x 函数关系 点坐标 辅助 ☑切线 割线 文本 18 O C 定义 在曲线y=f(x) 上任取一 点 P(x,f(x)), 如果当点P 沿 着 曲 线y=f(x) 无限趋近于点P₀ (xo,f(x₀)) 时，割线P₀P 无限趋 近于一个确定的位置，这个确 定位置的直线P₀T 称为曲线y =f( x)在 点P₀ 处的切 线 . 问题4 能否根据上述过程给切线下个定义 高中数学 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 探究新知 追问1:初中时，我们怎样定义圆的切线? 圆的切线 若直线和圆只有一个公 共点，这时我们说这条直线 和圆相切，这条直线叫做圆 的切线，这个点叫做切点. 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 探究新知 高中数学 追问2:圆的切线定义适用于任意曲线吗? 追问3:通过逼近方式对切线作出的定义，是 否适用于圆的切线呢? 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 探究新知 高中数学 =2 插入本地GGB 从ggb123上加载 导出GGB 圆的切线与割线 十 耕 P₀ 有关系吗 切线P₀T 的斜率k₀ 点P→ 点P₀ 问题5 导数 ( 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 的几何意义是什么 割 线 P 的斜率k 探究新知 高中数学 函数 y=f(x) 在 x=x, 处的导数 数形转化 曲线y=f(x) 在点P₀(x₀,f(x₀)) 处切线的斜率k 追问： 导数的几何意义能帮助我们解决哪些函数问题? 高中数学 导数的几何意义： 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 建构新知 问题5 图中哪条直线最贴近点P₀ 附近的曲线 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 深化新知 高中数学 g/ 10- f(x)=x2 P₀=(2,4) g:y=4x-4 8- 6- —4— 2- 0 —2— 0 2 从ggb123 上加载 导 出GGB 插入本地GGB -4 -2 =N a=2 10 8 4 6 在 点P₀ 附近，曲线y=f(x) 可以用点P₀ 处 的切线 P₀T 近似代替，这是微积分中重要的思想 方法—— 以直代曲. X 点P₀ 附近曲线 → 曲线的变化趋势 问题5 图中哪条直线最贴近点 P₀ 附近的曲线 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 切线的变化趋势 —— 深化新知 P₀ 处的切线 — 高中数学 例 4 图中是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)= -4.9t²+4.8t+11的图象.根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=to,t,t₂ 附近的 变化情况. 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 学以致用 高中数学 例 4 图中是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)= -4.9t²+4.8t+11的图象.根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=to,t,t₂ 附近的 变化情况. 在t=0,t,t₂ 附近的曲线 增减趋势 增减快慢 在t=to,t₁,t₂ 处的切线 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 学以致用 高中数学 以直代曲 斜率刻画 不 例 5 图中是人体血管中药物浓度c=f(1) (单位： mg/mL ) 随时间t(单位： min) 变化的函数图象.根据图象， 估计t=0.2,0.4,0.6,0.8 min 时，血管中药物浓 度的瞬时变化率(精确到0.1). 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 学以致用 高中数学 追问1:血管中药物浓度的瞬时变化率与函数的 图象有什么关系? 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 学以致用 高中数学 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率 就是药物浓度f(t)在此时刻的导数 从图象上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率. 我们以t=0.8 时刻为例，作出t=0.8 处的切线. 学以致用 高中数学 追问2:如何计算这条切线的斜率? 在切线上取两点，如(0.7,0.91),(1.0,0.48), 则该切线的斜率 所以， 所以，在t=0.8 时刻，药物浓度瞬时变化率约为-1.4. 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 学以致用 高中数学 现实生活中有些变量间的关系，不一定能通 过解析式刻画，或者我们不知道对应的解析式， 导数的几何意义使得我们可以借助函数的图象以 及以直代曲的思想方法，对函数的变化情况作出 估计. 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 学以致用 高中数学 定义 从求函数y=f(x) 在 x=x₀ 处导数的过程可以看 y=f(x) 的导函数(简称导数).y=f(x) 的导函数有时 也记作 ，即 到，当x=x₀ 时， 是一个唯一确定的数.这样， 当 x 变化时， 就是x 的函数，我们称它为 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 建构概念 高中数学 >切线的一般定义； >导数的几何意义： f'(x₀)的几何意义就是曲线 y=f(x )在x=x ₀ 处切线的斜率.; >导函数的定义 思想方法层面 >数形结合； >以直代曲 . 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 课堂小结 总结升华 知识层面 高中数学 1.函数f(x) 的图象如图所示，下列结论正确的是( ). 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 (A) (B) (C) (D) 2. 如图，函数y=f(x) 的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8, 则 目标检测 高中数学 D.-2 C.-1 B.2 A. 请学生搜集资料微积分对人类文明的主要贡 献，并写出你的收获或感悟. 高中数学 1.整理上课任务单； 2.课本P70页第5题，第7题， P71 页第10题； 3.能力培养与测试同步课时作业. 分层作业 巩固提升 安徽省普通高中新课程新教材优质课评选 选做题 必做题 分层作业 $$