课时梯级训练(8) 等比数列的概念与通项公式(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(8)　等比数列的概念与通项公式 1．(2024·岳阳高二检测)数列{an}为等比数列，若a1＝1，a3＝4，则a2 025＝ (　　) A．22 024 B．±22 024 C．22 023 D．±22 023 A　解析：数列{an}为等比数列，设公比为q， 因为a1＝1，a3＝4，所以a3＝4＝a1q2＝q2，得到q＝±2， 又a2 025＝a1q2 024，当q＝2时，a2 025＝22 024，当q＝－2时，a2 025＝(－2)2 024＝22 024，故选A. 2．(2025·苏州高二期中)在2和8之间插入3个实数a，x，b使得2，a，x，b，8成等比数列，则x的值为 (　　) A．－4 B．－4或4 C．4 D．5 C　解析：方法一　由x为等比中项可知，x2＝2×8＝16， 又由a2＝2x可知x>0，所以x＝4，故选C. 方法二　设这5个数组成的等比数列为{an}，公比为q，则a1＝2，a5＝8. ∵a5＝a1·q4，即8＝2×q4，解得q2＝2，所以x＝a3＝a1·q2＝4. 3．在等比数列{an}中，满足2a4＝a6－a5，则公比是 (　　) A．1 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2 C　解析：方法一　由已知得2a1·q3＝a1·q5－a1·q4，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2. 方法二　∵a5＝a4q，a6＝a4q2，∴由已知条件得2a4＝a4·q2－a4·q，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2. 4．(多选)下列各组数成等比数列的是 (　　) A．1，－2, 4，－8 B．－，2，－2，4 C．x，x2，x3，x4 D．a-1，a-2，a-3，a-4 ABD　解析：由等比数列的定义，知ABD是等比数列，C中当x＝0时，不是等比数列． 5．(2025·贺州高二期中)在正项等比数列{an}中，a5是a4与6a3的等差中项，{an}的公比为________________________________________________________________________． 答案：2　解析：设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)， 因为a5是a4与6a3的等差中项，所以2a5＝6a3＋a4，即2a1q4＝6a1q2＋a1q3， 即2q2－q－6＝0，解得q＝2或q＝－(舍去). 6．若正项数列{an}满足－＝0，a4＋a5＝3，则a2＋a3＝________． 答案：27　解析：由－＝0可得＝，即an＋1＝an，即数列{an}是公比q＝的等比数列，又a4＋a5＝3，可得a2q2＋a3q2＝(a2＋a3)q2＝3， 将q＝代入计算可得a2＋a3＝3×9＝27. 7．(2024·北京石景山高二期末)已知数列{an＋1}是等比数列，且a1＝3，a3＝1，则a5＝________． 答案：0　解析：设等比数列{an＋1}的公比为q，则a3＋1＝(a1＋1)q2，即2＝4×q2，所以q2＝，所以a5＋1＝(a3＋1)q2＝2×＝1，所以a5＝0. 8．已知等比数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． 解：设该等比数列{an}的公比为q，首项为a1， ∵ ∴ ∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， ∴上述两式相除，得q(1－q)＝⇒q＝. ∴a1＝＝＝96. 若G是a5，a7的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×()10＝9. ∴a5，a7的等比中项是±3. 9．数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，an＋2＝，bn＝an＋1－an. (1)求证：{bn}是等比数列； (2)求{bn}的通项公式． (1)证明：∵2an＋2＝an＋an＋1， ∴＝＝＝－. ∴{bn}是等比数列． (2)解：∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－， ∴bn＝1×(－)n-1＝(－)n-1. 10．下列选项中是{an}为等比数列的充要条件的是 (　　) A．an＋1＝anq(q为常数) B．an＝a1qn-1(q为常数) C．a＝anan＋2≠0 D．an＋1＝ C　解析：对于A，an＋1＝anq，当q＝0，an＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于B，an＝a1qn-1，当q＝0，a1＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于C，根据等比中项可以判定此数列为等比数列，故正确；对于D，an＋1＝，当an＝0，an＋1＝0，an＋2＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误． 11．(2024·重庆高二期中)在数列{an}中，an＋2＝10an＋3an＋1，则数列{an＋1＋2an}的公比q＝________________________________________________________________________. 答案：5　解析：由条件可知an＋2＋2an＋1＝5an＋1＋10an＝5(an＋1＋2an)， 所以＝5， 所以数列{an＋1＋2an}是公比为5的等比数列，即q＝5. 12．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． 解：(1)由条件可得an＋1＝an. 将n＝1代入得，a2＝4a1， 而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn. 又b1＝1，所以{bn}是首项为1， 公比为2的等比数列． (3)由(2)可得＝2n-1，所以an＝n·2n-1. 13．各项均为正数的等比数列{an}，其公比q≠1，且a3·a7＝4，请写出一个符合条件的{an}的通项公式． 解：因为{an}为正项等比数列，所以a3·a7＝a＝4，所以a5＝2.又q≠1，不妨令q＝2，所以an＝a1qn-1＝a5qn-5＝2×2n-5＝2n-4. 故答案为an＝2n-4(只要{an}为正项等比数列(不为常数列)且a5＝2即可). 学科网（北京）股份有限公司 $$