4.4 数学归纳法(课件PPT)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数 列 4.4*　数学归纳法 第四章 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 学习目标 1.了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明一些简单的命题． 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 n＝n0(n0∈N*) 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 n＝k n＝k＋1 n0 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 C C 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 D 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 证 明 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 证 明 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 证 明 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 14 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 证 明 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 证 明 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 B 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 课时梯级训练(14) 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 知识点　数学归纳法 1．从袋子里取出5个小球，如果发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 2．在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 数学归纳法 　一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当________________时命题成立； (2)(归纳递推)以“当_______k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当__________时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从_____开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． 初始值n0不一定都是1，要结合题意恰当的选择． [例1] (1)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是 (　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 (2)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是 (　　) A．(2k＋1)＋(2k＋2) B．(2k－1)＋(2k＋1) C．(2k＋2)＋(2k＋3) D．(2k＋2)＋(2k＋4) (1)当n＝1时，左边＝1＋a＋a1+1＝1＋a＋a2，故C正确． (2)当n＝k时，左边共有(2k＋1)个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有(2k＋3)个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3).所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3).故选C. 理解数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础：认准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律． (3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设． [练1] 对于不等式<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，不等式成立，即<k＋1，则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1.故当n＝k＋1时，不等式成立． 上述证法 (　　) A．过程全部正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法． 综合应用1：用数学归纳法证明等式(不等式) [例2] 用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N*). (1)当n＝1时，＝成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可得对于任意的n∈N*等式都成立． 用数学归纳法证明等式(不等式)的方法 当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． 假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2. 那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4) ＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2， 即当n＝k＋1时等式也成立． 综上所述，可知等式对任何n∈N*都成立． [练2] 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(n∈N*). [练3] 已知n∈N*，n＞2，求证：1＋＋＋…＋＞. 当n＝3时，左边＝1＋＋，右边＝＝2，左边＞右边，不等式成立． 假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，不等式成立， 即1＋＋＋…＋＞. 当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＞＋＝＝. 因为＞＝＝， 所以1＋＋＋…＋＋ ＞. 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 综上，可知对一切n∈N*，n＞2，不等式恒成立． 综合应用2：归纳－猜想－证明 [例3] 已知数列{an}中，Sn是{an}的前n项和且Sn是2a与－2nan的等差中项，其中a是不为0的常数． (1)求a1，a2，a3； (2)猜想an的表达式，并用数学归纳法进行证明． (1)由题意知Sn＝a－nan， 当n＝1时，S1＝a1＝a－a1，解得a1＝. 当n＝2时，S2＝a1＋a2＝a－2a2，解得a2＝. 当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝a－3a3，解得a3＝. (2)猜想：an＝(n∈N*). 证明：①当n＝1时，由(1)知等式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立， 即ak＝， 则当n＝k＋1时， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝a－(k＋1)ak＋1－(a－kak)， 所以ak＋1＝＝， 即当n＝k＋1时，等式成立． 结合①②得an＝对任意n∈N*均成立． 1．“归纳—猜想—证明”的一般环节 2．“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和． (2)由一些恒等式、不等式改编的探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． (3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题． [练4] 观察下列各式： 2＝2×1， 3×4＝4×1×3， 4×5×6＝8×1×3×5， 5×6×7×8＝16×1×3×5×7， … 你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？ 由题意得，2＝2×1，3×4＝4×1×3，4×5×6＝8×1×3×5，5×6×7×8＝16×1×3×5×7，…， 猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·2n＝2n·1×3×5·…·(2n－1). 下面利用数学归纳法进行证明： ①当n＝1时，显然成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·2k＝2k·1×3×5·…·(2k－1)， 那么当n＝k＋1时，(k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)·…·2(k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)·…·2k·(2k＋1)·2＝2k·1×3×5·…·(2k－1)·(2k＋1)·2＝2k+1·1×3×5·…·(2k＋1)＝2k+1·1×3×5·…·[2(k＋1)－1]， 所以当n＝k＋1时等式成立． 根据①②可知对任意正整数等式均成立． 1．知识清单 (1)数学归纳法的概念． (2)数学归纳法的步骤． 2．方法归纳：归纳—猜想—证明． 3．常见误区 (1)对题意理解不到位导致n0的取值出错． (2)推证当n＝k＋1时忽略n＝k时的假设． ◎随堂演练 1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取 (　　) A．7 B．8 C．9 D．10 左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8. 2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，从 “k”到“k＋1”左边需要增加的代数式是____________________________________________． 答案：(k＋1)2＋k2 把n＝k和n＝k＋1代入等式左边分别可得， 12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，① 12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，② 两式作差得(k＋1)2＋k2. 3．设数列{an}的前n项和为Sn，S1＝，对任意n∈N，n≥1都有Sn＋1＝成立． (1)求S2，S3，S4的值； (2)猜想Sn的表达式并用数学归纳法证明． (1)Sn＋1＝，S1＝，令n＝1，则S2＝＝＝； 令n＝2，S3＝＝； 令n＝3，S4＝＝. (2)猜想Sn＝， ①当n＝1时，满足上式； ②假设当n＝k(k∈N*)时，上式成立，即Sk＝， 则当n＝k＋1时，Sk＋1＝＝＝＝， 显然，猜想成立，所以Sn＝. $$