4.3.2 第2课时 等比数列的概念与通项公式(课件PPT)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数 列 4．3　等比数列 4.3.2　等比数列的前n项和公式 第2课时　等比数列前n项和的实际应用 第四章 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 学习目标 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2．掌握等差数列与等比数列的综合应用． 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 A 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 D 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 课时梯级训练(11) 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 综合应用1：等比数列前n项和在几何中的应用 [例1] 把一个边长为1的正方形等分成九个全等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图①)；再将剩余的每个正方形都分成九个全等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图②)；如此继续下去． (1)图③中共挖掉了________个正方形． (2)第n个图形共挖掉了____________个正方形，这些正方形的面积和是____________． 答案：(1)73　(2)　1－()n (1)设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1＝1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n-1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n-1＝.故图③中共挖掉了＝73(个)正方形． (2)第n个图形共挖掉了个正方形．由于原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×()2＋8×()4＋82×()6＋…＋ 8n-1×()2n＝＝1－()n. 解决此类问题的关键是准确将问题转化为等比数列模型，再利用等比数列的相关知识求解． [练1] (2025·南宁高二段考)已知长度为2的线段PQ，取PQ的中点M1，以PM1为边作等边三角形(如图1)，该等边三角形的面积为S1，再取M1Q的中点M2，以M1M2为边作等边三角形(如图2)，图2中所有的等边三角形的面积之和为S2，以此类推，则S5＝________． 答案： 由题可得，S1＝×××sin 60°＝， 从第2个等边三角形起，每个三角形的面积为前一个三角形面积的， 故每个等边三角形的面积可构成一个以为首项，为公比的等比数列， 则S5＝＝. 综合应用2：等比数列前n项和在增长率问题中的应用 [例2] 某家庭以一年定期的方式存款，从2020年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2030年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？ 设从2020年年初到2030年年初每年存入a元的本利和组成数列{an}(1≤n≤10)， 则a1＝a(1＋p)10，a2＝a(1＋p)9，…，a10＝a(1＋p)，故数列{an}(1≤n≤10)是以a1＝a(1＋p)10为首项，q＝为公比的等比数列． 所以2030年年初这个家庭应取出的钱数为 S10＝ ＝[(1＋p)11－(1＋p)](元). [变式探究] 若将题中的复利改为单利，结果是多少？ a1＝a(1＋10p)，a2＝a(1＋9p)，a3＝a(1＋8p)，…，a10＝a(1＋p)， S10＝a(1＋10p)＋a(1＋9p)＋…＋a(1＋p)＝10a＋(10×1＋)×ap＝10a＋55ap. 解决等比数列应用题的关键 (1)认真审题抓特点，仔细观察找规律． (2)等比数列的特点是增加或减少的百分数相同． (3)分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考察． [练2] (2025·衡水高二月考)小华计划从今年4月开始存钱买车，若他第一个月存10 000元，以后每个月在前一个月的基础上增加20%.记小华第一个月(今年4月)存入的金额为a1元，小华第n个月当月存入的金额为an元． (1)求小华前3个月的总存款金额； (2)若小华想购买的汽车售价为110 000元，求小华至少要存几个月钱才能全款购买这辆汽车．(参考数据：1.26≈2.99，1.27≈3.58，1.28≈4.30) (1)依题意，a2＝a1(1＋20%)＝1.2a1元，a3＝1.2a2元，an＋1＝1.2an元， 则an＋1＝1.2an，即数列{an}是首项为a1，公比为1.2的等比数列， 所以an＝1.2n-1a1，又a1＝10 000元， 所以小华前3个月的总存款金额为a1＋1.2a1＋1.22a1＝3.64a1＝36 400元． (2)因为an＝1.2n-1a1，设数列{an}的前n项和为Sn， 则Sn＝，由Sn≥110 000，可得1.2n≥3.2， 又1.26≈2.99，1.27≈3.58，所以n≥7， 即小华至少要存7个月钱才能全款购买这辆汽车． 综合应用3：递推公式在实际问题中的应用 [例3] 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元． (1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式； (2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示). (1)由题意，得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d， a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d， an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d. (2)由(1)，得an＝an－1－d＝(an－2－d)－d ＝()2an－2－d－d＝… ＝()n-1a1－d[1＋＋()2＋…＋()n-2]. 整理，得an＝()n-1(3 000－d)－2d[()n-1－1]＝()n-1(3 000－3d)＋2d. 由题意，得am＝4 000， 即()m-1(3 000－3d)＋2d＝4 000， 解得d＝＝. 故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元． 用数列模型解数列应用题的策略 (1)用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型； (2)求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出结果，并放回到实际问题中进行检验，最终得出结论． [练3] 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额(单位：万元)等于上一年的1.3倍再减去3万元．已知第一年(2024年)该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为(参考数据：1.310≈13.79) (　　) A．3 937万元 B．3 837万元 C．3 737万元 D．3 637万元 设a1＝100，an＋1＝1.3an－3，则an＋1－10＝1.3(an－10)， 所以数列{an－10}是首项为90，公比为1.3的等比数列， 所以an－10＝90×1.3n-1，所以an＝90×1.3n-1＋10， 设Sn为{an}的前n项和， 则S10＝a1＋a2＋…＋a10＝＋10×10＝300×1.310－200≈300×13.79－200＝3 937(万元). 1．知识清单 (1)构造等比数列． (2)建立数学模型． 2．方法归纳：构造法、转化法． 3．常见误区：在实际问题中首项和项数弄错． ◎随堂演练 1．(2025·莆田高二期中)我国古代的数学名著《九章算术》中记载：“今有蒲生一日，长三尺，蒲生日自半．”其意为今有蒲草第一日长高3尺，以后蒲草每日长高前一日的半数，则蒲草第5日的高度为 (　　) A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 由题意，蒲草每日增长的高度成等比数列， 等比数列的首项为3，公比为，蒲草第5日的高度为等比数列的前5项和， S5＝＝(尺)，故选D. 2．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________. 答案：11(1.15－1)a 去年产值为a，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a.所以1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝a·＝11(1.15－1)a. 3．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则最少需要________天． 答案：6 设每天植树的棵数组成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得≥100，即2n≥51.而25＝32，26＝64，n∈N*，所以n≥6. $$