4.3.1 第2课时 等差数列的前n项和公式(课件PPT)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数 列 4．3　等比数列 4．3.1　等比数列的概念 第2课时　等比数列的应用及性质 第四章 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 学习目标 1.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2．掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题． 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 A 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 1．等比数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1qn-1(揭示首、末两项的关系) an＝_____________(揭示任意两项之间的关系) amqn－m 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 ap·aq 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 B －(－2)n-1 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 A 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 C 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 C 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 C 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 课时梯级训练(9) 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 知识点一　等比数列的实际应用 [例1] 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n(n∈N*)年这辆车的价值； (2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？(精确到0.1) (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a1·qn-1＝13.5×0.9n-1. ∴第n年车的价值为an＝13.5×0.9n-1(万元). (2)由(1)得a4＝a1·q3＝13.5×0.93≈9.8(万元)， 故用满3年时卖掉这辆车，大概能得到9.8万元． 解等比数列应用题的步骤 (1)审题．解决数列应用题的关键是读懂题意． (2)建立数学模型．将实际问题转化为等比数列的问题． (3)解数学模型．注意隐含条件，数列中n的值是正整数． (4)还原．即最后转化为实际问题作出回答． [练1] 古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”．微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列，那么1指节是 (　　) A．77兔尘 B．77羊尘 C．兔尘 D．羊尘 ∵微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列， ∴1指节＝77兔尘． 知识点二　等比数列的性质 1915年，波兰数学家谢尔宾斯基创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示．我们来数一数图中那些白色的同一类三角形的个数，可以得到一列数：1，3，9，27，…，我们知道这是一个等比数列． 在等差数列{an}中有这样的性质：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ ap＋aq，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？ 2.等比数列项的运算性质 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝__________． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a. (2)对有穷等比数列，与首、末两项“等距离”的两项之积等于首、末两项之积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 等比数列的常用结论 (1)若{an}是公比为q的等比数列，则： ①{can}(c为任一非零常数)是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为|q|的等比数列； ③{a}(m为常数，n∈N*)是公比为qm的等比数列． (2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列． [例2] (1)等比数列{an}满足：a2＋a4＋a6＋a8＝20，a2·a8＝2，则＋＋＋的值为 (　　) A．20 B．10 C．5 D． (2)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q 为整数，则an＝__________________________________. (1)在等比数列{an}中，由等比数列的性质可得a4·a6＝a2·a8＝2，＋＋＋＝＋＝＝＝10.故选B. (2)由题意得解得或因为公比q为整数，所以q＝＝－＝－2，故an＝－4×(－2)n-3＝－(－2)n-1. [变式探究] 将本例(2)中，等比数列满足的条件改为“a4＋a7＝2，a5a6＝－8”，求a1＋a10. 由题意得 解得或 当a4＝4，a7＝－2时，q3＝－，a1＋a10＝＋a7q3＝－7； 当a4＝－2，a7＝4时，q3＝－2，a1＋a10＝＋a7q3＝－7. 故a1＋a10＝－7. 等比数列运算常用的两条思路 (1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，q，然后求其他； (2)利用性质巧解，其中m＋n＝k＋l＝2s(m，n，k，l，s∈N*)⇔am·an＝ak·al＝a. [练2] (2025·德州高二期末)等比数列{an}的各项均为正数，且a6a7＋a5a8＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a12＝ (　　) A．12 B．10 C．8 D．6 根据等比数列性质，可得a6a7＝a5a8＝9， log3a1＋log3a2＋…＋log3a12＝log3(a1a2…a12)＝log3(a6a7)6＝log3312＝12，故选A. 综合应用：等差、等比数列的简单综合 [例3] 已知四个数中的前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数． 设四个数为－a，，a，aq，则由题意得 解得或 因此所求的四个数为－4，2，8，32或4，－2，－8，－32. [变式探究] 将本例变为：已知四个数中的前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数． 设这四个数分别为x，y，18－y，21－x， 则由题意得 解得或 故所求的四个数为3，6，12，18或，，，. 等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq. (2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设为，，aq，aq3. [练3] (2025·青岛高二月考)已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，若a1＋a5＋a9＝9，b2b5b8＝3，则＝ (　　) A．2 B． C． D． 因为数列{an}是等差数列，a1＋a5＋a9＝3a5＝9，所以a5＝3，a2＋a8＝2a5＝6，又数列{bn}是等比数列，b2b5b8＝3，则(b5)3＝3，得b5＝，b2b8＝b＝3，所以＝＝.故选C. 1．知识清单 (1)等比数列的实际应用． (2)等比数列的性质． (3)等差、等比数列的简单综合． 2．方法归纳：解方程组法． 3．常见误区 (1)对等比数列的性质不理解而致错． (2)不注意运用性质而出错或解法烦琐． ◎随堂演练 1．(2025·银川高二月考)等比数列{an}中，a2＝4，a3·a4＝128，则a5的值为 (　　) A．8 B．16 C．32 D．64 由等比数列的性质知a2a5＝a3a4＝128⇒a5＝32.故选C. 2．拓扑结构图是指由网络节点设备和通信介质构成的网络结构图．某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则第10层节点的个数为 (　　) A．100 B．128 C．512 D．1 024 由题图可知，每一层的节点数组成以1为首项，2为公比的等比数列，所以第10层节点的个数是a10＝1×210-1＝512. 3．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则公比q的值为____________，＝__________． 答案：1＋　3＋2 依题意可得2×a3＝a1＋2a2， 即a3＝a1＋2a2，整理得q2＝1＋2q，解得q＝1±. ∵各项都是正数，∴q＞0，q＝1＋，∴＝＝q2＝3＋2. $$