课时梯级训练(3) 数列的概念与表示(习题课)(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(3)　数列的概念与表示(习题课) 　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2024·青岛高二阶段练习)已知数列{an}满足：a1＝9，an＋1－an＝2n，则a4＝ (　　) A．19 B．21 C．23 D．25 B　解析：在数列{an}中，a1＝9，an＋1－an＝2n， 所以a4＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＝9＋2＋4＋6＝21. 2．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是 (　　) A．an＝2n－1 B．an＝()n-1 C．an＝n2 D．an＝n D　解析：方法一(构造法)　由已知整理，得(n＋1)an＝nan＋1，∴＝，∴数列是常数列，且＝＝1，∴an＝n. 方法二(累乘法)　当n≥2时，＝，＝，…，＝，＝，将以上各式两边分别相乘，得＝n.∵a1＝1，∴an＝n. 3．(2025·昆明高二期末)已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝－1，则a100＝ (　　) A．－1 B． C．2 D．1 A　解析：由题意，数列{an}满足an＋1＝，a1＝－1，可得a2＝，a3＝2，a4＝－1，a5＝，…， 所以数列{an}是以3为周期的周期数列，则a100＝a3×33＋1＝a1＝－1. 故选A. 4．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)，则a10的值为________． 答案：　解析：方法一　由an＋1＝an＋得an＋1－an＝－，故a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，a10－a9＝－，所以将以上各式两边分别累加得a10－a1＝1－，a10＝. 方法二　由an＋1＝an＋，得an＋1＋＝an＋，故a10＋＝a1＋1＝2，即a10＝. 5．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，求an. 解：方法一(累乘法)　由(n＋1)a－na＋an＋1an＝0， 得(an＋1＋an)(nan＋1－nan＋an＋1)＝0. ∵an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0. ∴＝. ∴an＝a1···…·＝1××××…×＝. 方法二(换元法)　同上可得(n＋1)an＋1－nan＝0. 设bn＝nan，则bn＋1－bn＝0，∴{bn}是常数列． ∴bn＝b1＝1×a1＝1. ∴bn＝nan＝1，an＝. 6．在数列{an}中，a1＝7，a2＝24，对所有的正整数n都有an＋1＝an＋an＋2，则a2 024＝ (　　) A．－7 B．24 C．－13 D．25 B　解析：由an＋1＝an＋an＋2得an＋2＝an＋1＋an＋3， 两式相加得an＋3＝－an，∴an＋6＝－an＋3＝an， ∴{an}是以6为周期的数列，而2 024＝337×6＋2， ∴a2 024＝a2＝24. 7．已知数列{an}，a1＝1，ln an＋1－ln an＝1，则数列{an}的通项公式是 (　　) A．an＝n B．an＝ C．an＝en-1 D．an＝ C　解析：∵ln an＋1－ln an＝1，∴ln ＝1， ∴＝e.由累乘法可得an＝en-1. 8．(2024·厦门高二月考)数列{an}满足an＋an＋1＝3n，且a1＝1，则a100等于 (　　) A．148 B．149 C．152 D．299 B　解析：由题意得a2＝3－a1＝2，因为an＋an＋1＝3n，an－1＋an＝3n－3(n≥2)， 所以an＋1－an－1＝3(n≥2)， 所以a100＝(a100－a98)＋(a98－a96)＋…＋(a4－a2)＋a2＝49×3＋2＝149. 9．(多选)若数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列{an}中的项的值可能为 (　　) A． B． C． D． ABC　解析：数列{an}满足an＋1＝a1＝，依次取n＝1，2，3，4，…，代入计算得，a2＝2a1－1＝，a3＝2a2＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝＝a1，因此继续下去会循环，数列{an}是周期为4的周期数列，所有可能取值为，，，. 10．已知数列{an}中，a1＝1，2n·an＋1＝(n＋1)·an，则数列{an}的通项公式是an＝________． 答案：(n∈N*)　解析：因为a1＝1，2n·an＋1＝(n＋1)·an，所以＝(n∈N*). 当n≥2时，＝，于是an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝(n∈N*)， 当n＝1时，＝1＝a1也符合． 故an＝(n∈N*). 11．(2025·来宾高二月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝.求数列{an}的通项公式. 解：由于Sn＝，所以2Sn＝(n＋1)an①， 当n≥2时，2Sn－1＝nan－1②， ①－②得2an＝(n＋1)an－nan－1， (n－1)an＝nan－1， 整理得＝， 所以＝，＝，…，＝， 累乘可得＝n，且a1＝1，所以an＝n， 经检验可得，a1＝1也满足上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝n. 12．在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________． 答案：28　解析：依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 学科网（北京）股份有限公司 $$