课时梯级训练(1) 数列的概念与表示(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(1)　数列的概念与表示 　　　　　　　　　　　　　　 1．(2025·保定高二期末)已知数列3，－6，9，－12，…，则该数列的第10项为 (　　) A．－21 B．－30 C．21 D．30 B　解析：因为3＝1×3，－6＝－2×3，9＝3×3，－12＝－4×3， 所以该数列的通项公式为an＝(－1)n+1·3n(n∈N*)， 因此a10＝(－1)11×3×10＝－30. 2．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是 (　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 A　解析：∵an＝＝1－，∴n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列． 3．数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的一个通项公式为an＝ (　　) A．(10n－1) B．(10n－1) C．(1－) D．(10n－1) C　解析：代入n＝1检验，排除A，B，D. 4．(多选)下列命题正确的是 (　　) A．数列，，，，…的一个通项公式是an＝ B．数列的图象是一群孤立的点 C．数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列 D．数列，，…，是递减数列 BD　解析：由通项公式知a1＝，故A不正确；易知B正确；由于两数列中数的排列次序不同，因此不是同一数列，故C不正确；D中的数列为递减数列，所以D正确． 5．已知数列{an}的通项公式为an＝则a2·a3＝________． 答案：20　解析：相当于分段函数求值，a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2·a3＝20. 6．已知数列{an}的通项公式为an＝，则an·an＋1·an＋2＝________________． 答案：　解析：an·an＋1·an＋2＝··＝. 7．若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为______.(填序号) ①an＝－2n＋1；②an＝－n2＋3n＋1；③an＝；④an＝(－1)n. 答案：①③　解析：②中a1＝a2，④是摆动数列，①对应的函数是一次函数，且一次项系数小于0，故为递减数列，③中的数列可以看成指数函数，也是递减数列． 8．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来． (1)an＝(－1)n＋2；(2)an＝. 解：(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1. 图象如图①. (2)a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.图象如图②. 　 9．(2024·重庆高二月考)在数列{an}中，an＝－2n2＋9n＋3. (1)－107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？ (2)求数列中的最大项． 解：(1)令an＝－107，则－2n2＋9n＋3＝－107，2n2－9n－110＝0， 解得n＝10或n＝－(舍去).所以a10＝－107. 所以－107是数列中的第10项． (2)an＝－2n2＋9n＋3＝－2(n－)2＋， 由于n∈N*，所以最大项为a2＝13. 10．(2025·衡水高二检测)数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式为an＝ (　　) A． B．cos C．cos D．cos D　解析：对于A，数列的前8项为0，1，0，1，0，1，0，1，故A项错误； 对于B，数列cos 的前8项为0，－1，0，1，0，－1，0，1，故B项错误； 对于C，数列cos 的前8项为－1，0，1，0，－1，0，1，0，故C项错误； 对于D，数列cos 的前8项为0，1，0，－1，0，1，0，－1，故D项正确，故选D. 11．已知数列{an}的通项公式为an＝，其最大项和最小项的值分别为 (　　) A．1，－ B．0，－ C．，－ D．1，－ A　解析：因为n∈N*，所以当1≤n≤3时，an＝<0，且单调递减； 当n≥4时，an＝>0，且单调递减， 所以最小项为a3＝＝－，最大项为a4＝＝1.故选A. 12．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”(又称“物不知数题”)，后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为 (　　) A．116 B．131 C．146 D．161 C　解析：在正整数中，被3除余2的数依次为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，…，3n－1，…，被5除余1的数依次为1，6，11，16，21，26，31，36，41，…，5n－4，…，被3除余2且被5除余1的数为11，26，41，…，15n－4，….故第10项为15×10－4＝146. 13．已知在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是________． 答案：(－∞，0)　解析：an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0. 即实数k的取值范围是(－∞，0). 14．请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列；②{an}为单调递增数列；③0<an <2.这个数列的通项公式可以是___________________________． 答案：an＝2－(答案不唯一)　解析：因为数列an＝2－的定义域为N*，且an＝2－在N*上单调递增，0<2－<2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是an＝2－. 15．已知数列{}． (1)求这个数列的第10项． (2)是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内． (1)解：a10＝＝＝. (2)解：假设是该数列中的项，令＝，化简为9n2－303n＋100＝0，解得n＝或n＝.又∵n∈N*， ∴不是该数列中的项． (3)证明：an＝＝1－， ∵9n2－1－(9n－3)＝9n2－9n＋2＝9(n－)2－≥9×12－9×1＋2＞0，∴9n2－1＞9n－3＞0， ∴0＜＜1，∴0＜1－＜1，∴an∈(0，1). 16．如图①是某次大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1.如果把图②中的直角三角形继续做下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为 (　　) A．an＝n，n∈N* B．an＝，n∈N* C．an＝，n∈N* D．an＝n2，n∈N* C　解析：∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…， ∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$