4.2.2 第2课时 等差数列的概念与通项公式(课件PPT)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数 列 4.2　等差数列 4．2.2　等差数列的前n项和公式 第2课时　等差数列前n项和的应用 第四章 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 学习目标 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能解决相应的问题． 2．会求等差数列前n项和的最值． 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 A 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 BD 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 B 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 B 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 课时梯级训练(7) 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 知识点一　等差数列求和的实际应用 [例1] 某公司2025年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元．若2025年为第1年，且该公司第n(n∈N*)年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和an(单位：万元)的情况如图所示． (1)求an； (2)引进这种设备后，第几年该公司开始获利？(≈1.7) (1)由题意知，数列{an}是a1＝2，公差d＝2的等差数列， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n. (2)设引进这种设备后，净利润与年数n的关系为F(n)， 则F(n)＝21n－[2n＋×2]－25＝20n－n2－25. 令F(n)>0，得n2－20n＋25<0，解得10－5<n<10＋5， 又因为n∈N*，所以n＝2，3，4，…，18， 即第2年该公司开始获利． 应用等差数列解决实际问题的一般思路 [练1] (2025·昆明西山区高二期末)一支运输车队某天上午依次出发执行运输任务，第一辆车于早上8时出发，以后每隔15分钟发出一辆车．假设所有司机都连续开车，并都在中午12时停下来休息．每辆车行驶的速度都是80千米/时，截止到12时这个车队所有车辆一共行驶了2 660千米，则该车队一共发出的车辆数为 (　　) A．14 B．14或19 C．15 D．15或16 设一共发出n辆车，第n辆车行驶时间为an，其中n∈N*，an>0. 因为第一辆车于早上8时出发，以后每隔15分钟发出一辆车，所以a1＝4，an＋1－an＝－，即{an}为等差数列．又设{an}的前n项和为Sn，则80Sn＝2 660，即Sn＝4n－＝，从而n2－33n＋226＝(n－14)(n－19)＝0. 但注意到，a14＝4－>0，a19＝4－<0 ，则n＝14. 故选A. 知识点二　等差数列前n项和的最值 在公式Sn＝na1＋d中，Sn一定是关于n的二次函数吗？ 1．等差数列前n项和公式的函数特征 Sn＝na1＋d＝dn2＋(a1－d)n，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且不含常数项，即Sn＝An2＋Bn(A≠0)； 当d＝0时，Sn＝na1，Sn是关于n的一次函数． 2．等差数列前n项和的最值 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最大值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是Sn的最小值；若a1<0，d<0，则S1是Sn的最大值． [例2] 在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值． 方法一　∵S9＝S17，a1＝25， ∴9×25＋d＝17×25＋d， 解得d＝－2. ∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n ＝－(n－13)2＋169. ∴当n＝13时，Sn有最大值169. 方法二　同方法一，求出公差d＝－2. ∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. ∵a1＝25>0，由 得 又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值13×25＋×(－2)＝169. 方法三　同方法一，求出公差d＝－2. ∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0，∴a13>0，a14<0. ∴当n＝13时，Sn有最大值13×25＋×(－2)＝169. 又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值13×25＋×(－2)＝169. 方法四　同方法一，求出公差d＝－2. 设Sn＝An2＋Bn. ∵S9＝S17，∴二次函数图象的对称轴为x＝＝13， 且开口方向向下， ∴当n＝13时，Sn取得最大值13×25＋×(－2)＝169. 求等差数列前n项和Sn最值的方法 (1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找． (2)运用二次函数的图象或性质求最值． [练2] (多选)(2024·盐城高二期末)已知等差数列{an}的前n项和是Sn，且a10>0，a1＋a20<0，则 (　　) A．a1<0 B．a11<0 C．S10<0 D．Sn的最大值为S10 因为a1＋a20＝a10＋a11<0，a10>0，所以a11<0，故B正确； 因为a10>0，a11<0，所以等差数列{an}是递减数列，所以a1>a10>0，故A错误； 由a1>a2>…>a9>a10>0知，S10>0，故C错误； 由a10>0，a11<0可知，Sn的最大值为S10，故D正确．故选BD. 综合应用：求数列{|an|}的前n项和 [例3] (2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. (1)设等差数列的公差为d， 由题意可得 即 解得 所以an＝13－2(n－1)＝15－2n. (2)因为Sn＝＝14n－n2， 令an＝15－2n>0，解得n<，且n∈N*， 当n≤7时，an>0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝14n－n2； 当n≥8时，an<0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a7)－(a8＋…＋an)＝S7－(Sn－S7)＝2S7－Sn＝2(14×7－72)－(14n－n2)＝n2－14n＋98. 综上所述，Tn＝ 求等差数列{an}前n项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和. [练3] 已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}的每一项都有bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn的表达式． 由Sn＝－n2＋10n得 an＝Sn－Sn－1＝11－2n(n≥2，n∈N*). 验证a1＝9也符合上式．∴an＝11－2n，n∈N*. ∴当n≤5时，an>0，此时Tn＝Sn＝－n2＋10n； 当n>5时，an<0，此时Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50. 即Tn＝ 1．知识清单 (1)等差数列前n项和的实际应用． (2)等差数列前n项和的函数性质． 2．方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想． 3．常见误区：求数列{|an|}的前n项和时不分类讨论，最后不用分段函数表示． ◎随堂演练 1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k为 (　　) A．9 B．8 C．7 D．6 当n＝1时，a1＝S1＝1－9＝－8；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－(n－1)2＋9(n－1)＝2n－10，a1＝－8符合上式，∴an＝2n－10.由5<2k－10<8，得7.5<k<9，∴k＝8. 2．(2024·张家口高二开学考试)在数列{an}中，a1＝－40，an＋1＝an＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a40|＝ (　　) A．380 B．800 C．880 D．40 因为an＋1＝an＋2，所以an＋1－an＝2， 所以an＝a1＋(n－1)×2＝－40＋2n－2＝2n－42， 当n≥21时，an≥0，当1≤n≤20时，an<0， 所以|a1|＋|a2|＋…＋|a40|＝－(a1＋…＋a20)＋(a21＋…＋a40)＝－＋＝800.故选B. 3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为____________． 答案：23或24 由an≤0，即2n－48≤0，得n≤24. ∴n＝23或24. 4．“嫦娥”奔月，举国欢庆，据科学计算运载“嫦娥”的“长征三号甲”火箭，点火1 min内通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要多长时间？ 由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成以a1＝2为首项，d＝2为公差的等差数列， 所以n min内通过的路程为Sn＝2n＋×2＝n2＋n＝n(n＋1). 令n(n＋1)＝240，解得n＝15， 所以这一过程大约需要15 min. $$