4.2.2 第1课时 数列的概念与表示(习题课)(课件PPT)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数 列 4.2　等差数列 4．2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 第四章 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 学习目标 1.探索并掌握等差数列前n项和公式． 2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3．理解等差数列前n项和的性质，并会灵活运用． 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝_____________ Sn＝____________ 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 B 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 C A 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 A 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 A 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 B 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 B 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 课时梯级训练(6) 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 知识点一　等差数列的前n项和公式 泰姬陵坐落于印度阿格拉，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界新七大奇迹之一．陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝．传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如图)，奢靡程度可见一斑．你知道这个图案一共用了多少颗宝石吗？ 等差数列的前n项和公式 na1＋d 等差数列中的“知三求二” (1)在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝或Sn＝na1＋d. 两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、末项、前n项和． (2)依据方程的思想，在等差数列中，已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”． [例1] 在等差数列{an}中， (1)已知a3＝16，S20＝20，求S10； (2)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80(n≥4)，Sn＝210，求项数n. (1)设等差数列{an}的公差为d， 则解得 所以S10＝10×20＋＝200－90＝110. (2)因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80， 可得4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30. 又因为Sn＝＝210，所以n＝＝14. 等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值 (2)利用等差数列的性质解题 [练1] (2025·江门高二调研)已知等差数列－1，－3，－5，…的前n项和为－196，则n的值为 (　　) A．13 B．14 C．15 D．16 依题意，等差数列的首项为－1，公差为－2，由前n项和知－n＋×(－2)＝－196， 解得n＝14. [练2] (2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________． 答案：95　 方法一(基本量法)　设等差数列{an}的公差为d，由a3＋a4＝a1＋2d＋a1＋3d＝2a1＋5d＝7，3a2＋a5＝3(a1＋d)＋a1＋4d＝4a1＋7d＝5，解得a1＝－4，d＝3，则S10＝10a1＋45d＝95. 方法二(利用下标和性质)　设等差数列{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝＝3，a6＝11，则S10＝×10＝5(a5＋a6)＝5×19＝95. 知识点二　等差数列前n项和的性质 等差数列前n项和的有关性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，则数列也是等差数列，且公差为. (2)若Sm，S2m，S3m(m∈N*)分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d. (3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn(n∈N*)，则＝. (4)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝. (5)若等差数列的项数为2n＋1(n∈N*)，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝. [例2] (1)已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为 (　　) A．130 B．170 C．210 D．260 (2)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于 (　　) A． B． C． D． (1)利用等差数列前n项和的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，可得S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即30＋(S9－100)＝2×(100－30)，解得S9＝210. (2)＝＝＝＝＝. [变式探究] 本例2(2)条件改为＝，求的值． 根据题意，因为数列{an}，{bn}都是等差数列，显然两个数列都不是常数列， 所以＝＝. 因为等差数列前n项和公式为Sn＝n2＋(a1－)n(d≠0)， 所以不妨令Sn＝2kn2，Tn＝3kn2＋kn(k为常数，且k≠0)， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k(4n－2)，bn＝Tn－Tn－1＝k(6n－2). 所以a5＝18k，b4＝22k，所以＝. 所以＝＝＝. 等差数列前n项和运算的思维方法 (1)整体思路：利用公式Sn＝，设法整体求出a1＋an，再代入求解． (2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数且没有常数项，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝An＋B(A≠0)进行计算． (3)利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列进行求解. [练3] (2025·张家口高二检测)已知等差数列{an}，a1＝－4 048，其前n项和为Sn，若－＝4，则S2 025＝ (　　) A．0 B．2 0242 C．2 025 D．2 0252 因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以数列{}也是等差数列． 设数列{}的公差为d，则－＝4＝2d，所以d＝2， 故＝＋2 024d＝－4 048＋2 024×2＝0，则S2 025＝0.故选A. [练4] 等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________． 答案：10 因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝，即132－120＝，解得n＝10. 1．知识清单 (1)等差数列前n项和及其计算公式． (2)等差数列前n项和性质及应用． 2．方法归纳：函数与方程思想、整体思想． 3．常见误区：对数列前n项和公式及其性质记忆不准确致错. ◎随堂演练 1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于 (　　) A．－n2＋ B．－n2－ C．n2＋ D．n2－ 因为an＝2－3n，所以a1＝2－3＝－1， 所以Sn＝＝－n2＋. 2．(2025·南京高二期末)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2，Sn是该数列的前n项和，则＝ (　　) A． B． C．n D．n＋1 根据题意，由an＋1＝an＋2，可得an＋1－an＝2， 由等差数列定义可得，数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列， 则an＝2＋2(n－1)＝2n， Sn＝na1＋d＝2n＋n(n－1)＝n2＋n， 即＝＝. 3．(2025·郑州高二月考)已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若S2＝4，S4＝9，则S6＝ (　　) A．12 B．15 C．14 D．16 由等差数列的前n项和性质可得S2，S4－S2，S6－S4成等差数列， 即4，9－4，S6－9成等差数列，∴S6－9＋4＝10，解得S6＝15. 4．已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am的值． Sm＝m·＋·(－)＝－15， 整理得m2－11m－60＝0，解得m＝15或m＝－4(舍去)， a15＝＋(15－1)×(－)＝－. $$