4.2.1 第1课时 数列的概念与表示(课件PPT)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数 列 4.2　等差数列 4．2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念与通项公式 第四章 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 学习目标 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列通项公式的意义，体会等差数列与一元一次函数的关系． 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 前一项 同一个 常数 公差 2 d 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 证 明 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 2A＝a＋b 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 a1＋(n－1)d 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d 四个参数 a1，d，n，an 知三 求一 知a1，d，n求an 知a1，d，an求n 知a1，n，an求d 知d，n，an求a1 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 公差d 等差数列{an}的单调性 d>0 递增数列 d＝0 常数列 d<0 递减数列 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 C 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 C 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 C 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 证 明 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 课时梯级训练(4) 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 知识点一　等差数列 某剧场有20排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20, 22, 24, 26, 28, ….第30排有多少个座位？ 等差数列的定义 　(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第__项起，每一项与它的______的差都等于______常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个____叫做等差数列的____，公差通常用字母__表示． (2)递推公式：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*). 对等差数列定义的解读 (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)“同一常数”是指全部的后项减去前一项的差都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． [例1] 根据下列数列的通项公式，判断是否为等差数列． (1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n. (1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数，∴数列{an}是等差数列． (2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数，∴数列{an}不是等差数列． 定义法判断等差数列 (1)作差an＋1－an； (2)对差式进行变形； (3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列． [练1] (2025·合肥第一中学月考)已知数列{an}满足a1＝4，an＋1＝4－(n∈N*).求证：{}是等差数列． 因为－＝－＝－＝(n∈N*)，为常数， 所以{}是公差为的等差数列． 知识点二　等差中项 等差中项 (1)条件：a，A，b成等差数列． (2)结论：A叫做a与b的等差中项． (3)满足的关系式___________． [例2] 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． ∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3. ∵a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1. ∵c是3与7的等差中项，∴c＝＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7. 等差中项公式的作用 a，b，c三个数成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*). [练2] (2025·上海市宝山区高二月考)log64与log69的等差中项为________． 答案：1 根据题意，设log64与log69的等差中项为m， 则2m＝log64＋log69＝log636＝2， 故m＝1，即log64与log69的等差中项为1. 知识点三　等差数列的通项公式 若已知等差数列的首项a1和公差d及项数n，能否推出等差数列的通项公式？若能，则如何推导？ 等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝_____________． 1．等差数列通项公式与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列．反之，若数列的通项公式an是关于n的一次函数或常数函数形式，则数列{an}一定是等差数列． 2．等差数列通项公式中的四个参数及其关系 3．等差数列的单调性 [例3] 已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列的通项公式，并判断－34是不是该数列的项． 方法一　依题意得 ∴ 解得或 ∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0. 故取a1＝11，d＝－5， ∴an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16. 即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16. 令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10， ∴－34是数列{an}的第10项． 方法二　由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a－d，a，a＋d， 由题意得 即解得或 由于数列{an}为递减数列，因此所以下同方法一． 求等差数列通项公式的步骤 [练3] (2025·济南高二期末)在等差数列{an}中，a2＋a5＝24，a17＝66. (1)求a2 025的值； (2)2 026是否为数列{an}中的项？若是，则为第几项？ (1)由题意，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 由a2＋a5＝24，a17＝66，即解得 则数列{an}的通项公式为an＝2＋4(n－1)＝4n－2. 则a2 025＝4×2 025－2＝8 098. (2)令an＝4n－2＝2 026，解得n＝507，所以2 026是数列{an}中的第507项． 1．知识清单 (1)等差数列的有关概念． (2)等差数列的通项公式． (3)等差数列的判定与证明． 2．方法归纳：列方程组法． 3．常见误区：对等差数列的概念理解不透彻． ◎随堂演练 1．等差数列{1－3n}的公差d等于 (　　) A.1 B．3 C．－3 D．n ∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，∴d＝a2－a1＝－3. 2．(2025·合肥高二期中)在等差数列{an}中，a1＝1，公差d＝－2，am＝－89，则m等于 (　　) A.92 B．47 C．46 D．45 因为am＝a1＋(m－1)d，即1－2(m－1)＝－89，所以m＝46. 3．已知等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1，则该数列的通项公式为 (　　) A.an＝2n－5 B．an＝2n－3 C.an＝2n－1 D．an＝2n＋1 设该等差数列{an}的公差为d， 因为等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1， 所以2(a＋1)＝a－1＋2a＋1，解得a＝2，所以a1＝1，d＝2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. 4．若数列{an}满足a1＝，且3an＋1＝3an－2. (1)证明：数列{an}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1) 因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－， 所以数列{an}是首项为，公差为－的等差数列． (2) 由(1)知an＝－·(n－1)＝－n＋2. $$