4.1 第2课时 函数的最大(小)值(课件PPT)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数 列 4.1　数列的概念 第2课时　递推公式、前n项和及应用 第四章 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 学习目标 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项． 2．会由数列的前n项和公式求数列通项公式． 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式，也可以用推理的方法，求出通项公式 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 a1＋a2＋…＋an 序号n Sn－Sn－1，n≥2 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 A 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 B 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 课时梯级训练(2) 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 知识点一　数列的递推公式 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项． 1．写出这个数列的通项公式． 2．除了通项公式，你还能发现这个数列的项的其他取值规律吗？ 数列的递推公式 　(1)定义：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． (2)作用：知道了首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项． 1．用递推公式求出一个数列的条件 (1)“基础”——数列{an}的第1项(或前几项)； (2)递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示． 2．数列递推公式与通项公式之间的关系 [例1] 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式bn＝(n≥1)构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项． (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. (2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝. 故数列{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝. 由递推关系写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可； (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1； (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝. [练1] (2025·济南高二检测)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an. (1)写出数列{an}的前5项； (2)猜想数列{an}的通项公式． (1)由a1＝1，an＋1＝an，可得： a2＝a1＝×1＝，a3＝a2＝×＝，a4＝a3＝×＝，a5＝a4＝×＝. (2)猜想：an＝. 知识点二　数列的前n项和 1．数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝______________________． 2．数列{an}的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和Sn与它的____________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 3．an与Sn的关系：an＝ [例2] 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝____________． 答案：4n－5 当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.∵a1也适合此等式，∴an＝4n－5. [变式探究] 将本例中“Sn＝2n2－3n”改为“Sn＝2n2－3n＋1”，求数列{an}的通项公式． 当n＝1时，a1＝S1＝2－3＋1＝0； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－[2(n－1)2－3(n－1)＋1]＝4n－5. 由于当n＝1时，a1＝0≠4×1－5＝－1， 因此an＝ 已知Sn求an的步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)验证此时a1是否满足(2)中an的表达式，若是，则可以合并，否则不可． [练2] 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝4n－3，则数列{an}的通项公式为______________． 答案：an＝　 当n＝1时，a1＝S1＝41－3＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(4n－3)－(4n-1－3)＝3×4n-1，而3×41-1＝3≠1. 故数列{an}的通项公式为an＝ 1．知识清单 (1)数列的递推公式． (2)数列的前n项和Sn与an的关系． 2．方法归纳：归纳法． 3．常见误区：由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况. ◎随堂演练 1．下列四个数中，是数列{n(n＋1)}中的项的是 (　　) A．380 B．392 C．321 D．232 当n＝19时，n(n＋1)＝380. 2．(2025·蚌埠高二月考)已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝＋1，则这个数列的第4项是 (　　) A． B． C． D．6 由an＋1＝＋1，a1＝1得，a2＝＋1＝3，a3＝＋1＝，a4＝＋1＝. 3．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝，则数列{an}的首项为________，通项公式为________． 答案：　an＝ 因为Sn＝，所以当n＝1时，a1＝S1＝； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝， 当n＝1时，也满足上式，故数列{an}的通项公式为an＝. $$