课时梯级训练(41) 圆锥曲线中的定点、定值问题(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(41)　圆锥曲线中的定点、定值问题 1．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，点A(1，2)为抛物线C上一点． (1)求抛物线C的方程； (2)若点B(1，－2)在抛物线C上，过B作抛物线C的两条弦BP与BQ，若kBP·kBQ＝－2.求证：直线PQ过定点，并求出此定点． (1)解：当焦点在x轴上时，设抛物线C的方程为y2＝2px，代入点A(1，2)得2p＝4，即y2＝4x. 当焦点在y轴上时，设抛物线C的方程为x2＝2ty， 代入点A(1，2)得2t＝，即x2＝y. 综上可知，抛物线C的方程为y2＝4x或x2＝y. (2)证明：∵点B(1，－2)在抛物线C上，∴抛物线C的方程为y2＝4x. 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋b， 由得y2－4my－4b＝0，Δ＝16(m2＋b)， ∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4b. ∵kBP·kBQ＝－2，∴·＝－2， ∴·＝－2， 即y1y2－2(y1＋y2)＋12＝0， ∴－4b－8m＋12＝0，即b＝3－2m， ∴直线PQ的方程为x＝my＋b＝my＋3－2m， 即x－3＝m(y－2)，∴直线PQ过定点(3，2). 2．(2025·泰州高二期末)已知双曲线：－＝1(a>0，b>0)过点P(2，2)，离心率为. (1)求C的方程； (2)过点P且斜率为k1(k1≠0)的直线l交双曲线左支于点Q，平行于l的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线AP的斜率为k2.若四边形ABQP为平行四边形，证明：k1k2为定值. (1)解：根据题意可得 解得a2＝1，b2＝4，c2＝5，所以双曲线的方程为x2－＝1. (2)证明：设直线l的方程为y＝k1x＋m， Q为(x1，y1)，直线AB的方程为y＝k1x＋n(m≠n)， 将P(2，2)代入直线l得2＝2k1＋m，即m＝2－2k1， 联立得(4－k)x2－2k1mx－(m2＋4)＝0， 得即m2＋4>k， 因为A在第一象限，双曲线渐近线方程为y＝±2x， 联立得x＝，y＝， 即A， 联立得x＝，y＝， 即B(，)，所以＝(，)， 因为l∥AB，四边形ABQP为平行四边形，所以|AB|＝|PQ|，即＝， 所以x1－xP＝　②，又xP＋x1＝　①， ②－①得，－2xP＝－＝－4， 所以－4n－2k1m＋4(4－k)＝0， 所以2n＝8－2k－k1m＝8－2k－k1(2－2k1)＝8－2k1， 因为k2＝＝＝＝＝＝ ＝， 所以k1k2＝4，为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$