课时梯级训练(40) 圆锥曲线方程(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(40)　圆锥曲线方程 1．已知直线 l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 C　解析：把y＝－x＋3代入椭圆方程＋y2＝1，得5x2－24x＋32＝0，其中Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，故直线与椭圆相离．故选C． 2．(2025·许昌高二检测)设双曲线C1：－y2＝1，C2：x2－＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则m＝(　　) A． B．2 C．4 D．8 B　解析：因为双曲线C1：－y2＝1，C2：x2－＝1， 所以e＝，e＝3，因为e2＝e1， 所以2×＝3，解得m＝2.故选B． 3．(2025·常德部分学校高二联考)已知P是椭圆C：＋＝1上一点，点P在直线l：4x＋3y－21＝0上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则|PQ|－|PF|的最小值为(　　) A．1 B．－1 C． D．2 A　解析：令椭圆C的左焦点为F1(－1，0)，则|PF1|＋|PF|＝4，于是|PQ|－|PF|＝|PQ|＋|PF1|－4， 当且仅当Q，P，F1三点共线，且P在线段QF1上时，|PQ|＋|PF1|取得最小值， 最小值为点F1到直线l的距离为＝5，所以|PQ|－|PF|的最小值为1.故选A． 4．(多选)(2025·碑林区校级月考)已知双曲线C：x2－y2＝1，则(　　) A．实轴长为2 B．离心率为 C．两渐近线夹角的正切值不存在 D．直线y＝kx＋1与曲线有且仅有一个公共点，则k＝±1 ABC　解析：已知双曲线C：x2－y2＝1， 则a＝b＝1，c＝＝，对于A，实轴长为2a＝2，A正确； 对于B，双曲线的离心率为＝，B正确； 对于C，双曲线的渐近线方程为y＝±x，则两渐近线的夹角为， 即两渐近线夹角的正切值不存在，C正确； 对于D，联立消去y，得(1－k2)x2－2kx－2＝0， 当k＝±1时，此方程只有一个解， 当k2≠1时，由Δ＝0，可得k2＝2，即k＝±， 即直线y＝kx＋1与曲线有且仅有一个公共点时，k＝±1或k＝±， D错误．故选ABC． 5．抛物线C：x2＝4ay的焦点坐标为(0，2)，则C的准线方程为____________． 答案：y＝－2　解析：因为抛物线C：x2＝4ay的焦点坐标为(0，2)，所以C的准线方程为y＝－2. 6．(2025·泉州高三开学考试)直线l：y＝2x－4过抛物线C：y2＝2px的焦点F，与C交于A，B两点，则|AB|＝________． 答案：10　解析：因为直线l：y＝2x－4过抛物线C：y2＝2px的焦点F，所以F(2，0)，即p＝4，故抛物线C：y2＝8x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得x2－6x＋4＝0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝6，故|AB|＝x1＋x2＋p＝10. 7．(2025·兰州高二开学考试)已知F为椭圆C：＋y2＝1的右焦点，直线y＝kx＋1与椭圆C交于A，B两点．若AF⊥BF，则实数k的值为________． 答案：－　解析：依题意联立直线与椭圆方程消去y并整理得(2k2＋1)x2＋4kx＝0，解得x＝0或x＝，不妨取xA＝0，则yA＝1，xB＝，yB＝k·＋1＝，所以A(0，1)，B(，)，又F(1, 0)，所以kAF＝－1.因为AF⊥BF，所以kBF＝1，即＝1，即＝－1，所以1－2k2＝－4k－(2k2＋1)，解得k＝－. 8．已知点A(－，0)和B(，0)，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2. (1)求点C的轨迹方程； (2)点C的轨迹与经过点(2，0)且斜率为1的直线交于D，E两点，求线段DE的长． 解：(1)因为点A(－，0)和B(，0)，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2，|AB|＝2>2， 所以点C的轨迹方程是以A(－，0)和B(，0)为焦点的双曲线，且a＝1，c＝，b＝，所以点C的轨迹方程是x2－＝1. (2)因为点C的轨迹方程是x2－＝1，经过点(2，0)且斜率为1的直线方程为y＝x－2. 所以联立得x2＋4x－6＝0. 设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，x1x2＝－6， 所以|DE|＝×＝4. 故线段DE的长为4. 9．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，E的离心率为，点(0，1)是E上一点． (1)求椭圆E的方程； (2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且BF1＝2F1A，求直线BF2的方程． 解：(1)由题意知，b＝1，且e2＝＝＝，解得a2＝2， 所以椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，故可设直线AB的方程为x＝my－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2). 由得(m2＋2)y2－2my－1＝0， 则y1＋y2＝，①　y1y2＝－，② 因为F1(－1，0)，所以BF1＝(－1－x2，－y2)，F1A＝(x1＋1，y1)， 由BF1＝2F1A可得－y2＝2y1，③ 由①②③可得B(－，±)，则kBF2＝或kBF2＝－， 所以直线BF2的方程为x－6y－＝0或x＋6y－＝0. 10．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B． (1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆E的方程； (2)若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，求实数a的取值范围． 解：(1)由椭圆的离心率为，得a＝c， 由A(2，0)得a＝2，∴c＝，b＝， ∴椭圆方程为＋＝1. (2)由e＝，设椭圆E的方程为＋＝1， 联立得6y2－8y＋4－a2＝0， 若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0，1]上有解． 设f(y)＝6y2－8y＋4－a2， ∴即 ∴≤a2≤4，∵a＞0， ∴实数a的取值范围是[，2]. 11．已知F为抛物线C：x2＝12y的焦点，直线l：y＝kx＋4与C相交于A，B两点． (1)O为坐标原点，求·； (2)M为C上一点，F为△ABM的重心(三边中线的交点)，求实数k的值． 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得x2－12kx－48＝0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝12k，x1x2＝－48，y1y2＝＝16， 从而·＝x1x2＋y1y2＝－32. (2)依题意得F(0，3)，设M(x3，y3)， 因为F为△ABM的重心，所以x1＋x2＋x3＝0，y1＋y2＋y3＝9， 从而x3＝－(x1＋x2)＝－12k，y3＝9－(y1＋y2)＝9－＝9－＝1－12k2. 因为M(x3，y3)在抛物线C上， 所以(－12k)2＝12(1－12k2)，即k2＝. 解得k＝或k＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$