课时梯级训练(28) 圆的方程(Word练习)-【优化指导】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(28)　圆的方程 1．已知m是实数，若方程x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0表示的曲线是圆，则m的取值范围为(　　) A．(－∞，20) B．(－∞，5) C．(5，＋∞) D．(20，＋∞) B　解析：由于方程x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0表示的曲线为圆，则22＋42－4m>0，解得m<5.因此，实数m的取值范围是(－∞，5).故选B． 2．(2025·北京高二检测)圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系为(　　) A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 A　解析：圆O1：x2＋y2＝1的圆心O1(0，0)，半径r1＝1，圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3的圆心O2(2，0)，半径r2＝， 所以|O1O2|＝2，所以|r1－r2|<|O1O2|<|r1＋r2|，所以两圆相交．故选A． 3．(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A．0 B．4 C．－2 D． AB　解析：由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2. 又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0. 4．(多选)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0，1)，则实数a的取值可以为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 AB　解析：圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，故a<5.又因为弦AB的中点为M(0，1)，故M点在圆内，所以(0＋1)2＋(1－2)2<5－a，即a<3.综上a<3.故选AB． 5．过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 答案：2　解析：设P(3，1)，圆心C(2，2)，则|PC|＝，半径r＝2.由题意知最短的弦过P(3，1)且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2. 6．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上任意一点P(P不在直线上)，总存在一点Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________． 答案：2　解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，已知圆的圆心为(－1，3).由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，则k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2. 7．已知直线l：3x＋4y＋m＝0(m>0)被圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m＝__________． 答案：9　解析：圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝8，圆心坐标为(－1，1)，半径为2，由题意可知，圆心到直线的距离d＝＝2，又m>0，故m＝9. 8．(2025·邢台高二期末)已知圆O：x2＋y2＝1与圆C：(x－3)2＋y2＝m. (1)在①m＝3，②m＝4这两个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答． 若________，判断这两个圆的位置关系； (2)若m＝5，求直线x＋y－1＝0被圆C截得的弦长． 解：(1)选①. 圆O的圆心为O(0，0)，半径为1； 圆C的圆心为C(3，0)，半径为. 因为两圆的圆心距为|OC|＝3， 且两圆的半径之和为1＋<3，所以两圆外离． 选②.圆O的圆心为O(0，0)，半径为1.圆C的圆心为C(3，0)，半径为2. 因为两圆的圆心距为|OC|＝3. 且两圆的半径之和为1＋2＝3， 所以两圆外切． (2)因为点C(3，0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝， 所以直线x＋y－1＝0被圆C截得的弦长为2＝2. 9．已知两圆M：x2＋y2－2x－6y－1＝0和N：x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求： (1)m取何值时两圆外切； (2)m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 解：两圆的标准方程分别为 (x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m， 圆心分别为M(1，3)，N(5，6)， 半径分别为和. (1)当两圆外切时， ＝＋， 解得m＝25＋10. (2)两圆的公共弦所在直线的方程为 (x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0， 即4x＋3y－23＝0. 由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，可求得公共弦的长为2×＝2. 10．(2025·聊城高二期中)若过直线3x＋4y＋12＝0上一点P作圆C：x2＋y2－2x＝0的两条切线，切点为A，B，则|PC|·|AB|的最小值是(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 D　解析：圆C：x2＋y2－2x＝0化为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1，0)，半径r＝|AC|＝1，四边形PACB中，S▱PACB＝2S△PAC， 则|PC||AB|＝|PA||AC|×2，整理得|PC||AB|＝2|PA|，又|PA|＝， |PC|最小值即为圆心C到直线3x＋4y＋12＝0的距离＝3， 则|PC|·|AB|＝2≥2＝4. 11．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由； (2)证明：过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值，并求出此定值． (1)解：不能出现AC⊥BC的情况，理由如下： 设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程x2＋mx－2＝0的两个根， 所以x1x2＝－2，又点C的坐标为(0，1)， 则·＝(－x1，1)·(－x2，1)＝x1x2＋1＝－2＋1＝－1≠0，所以不能出现AC⊥BC的情况． (2)证明：设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，由x1x2＝－2可知原点O在圆内， 则由相交弦定理可得|OC|·|OD|＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝2. 又|OC|＝1，所以|OD|＝2，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|＋|OD|＝3，为定值． 12．已知圆C过点M(0，－2)，N(3，1)，且圆心C在直线x＋2y＋1＝0上． (1)求圆C的标准方程； (2)设直线ax－y＋1＝0与圆C交于不同的两点A，B，是否存在实数a，使得过点P(2，0)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则有解得 所以圆C的方程为x2＋y2－6x＋4y＋4＝0，即(x－3)2＋(y＋2)2＝9. (2)假设存在符合条件的实数a. 由于直线l垂直平分弦AB，故圆心C(3，－2)必在直线l上． 所以直线l的斜率kPC＝＝－2. 又kAB＝a＝－，所以a＝. 将ax－y＋1＝0与圆C的方程联立，消去y可得(a2＋1)x2＋6(a－1)x＋9＝0. 由于直线ax－y＋1＝0交圆C于A，B两点， 故Δ＝36(a－1)2－36(a2＋1)>0，解得a<0与a＝矛盾， 故不存在实数a，使得过点P(2，0)的直线l垂直平分弦AB． 学科网（北京）股份有限公司 $$