课时梯级训练(26) 直线与圆的位置关系的简单应用(Word练习)-【优化指导】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(26)　直线与圆的位置关系的简单应用 1．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小区域的面积是 (　　) A． B． C． D．π D　解析：数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的，为×22π＝π. 2．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(　　) A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m B　解析：如图，圆的半径|OA|＝3.6 m，卡车宽1.6 m，所以|AB|＝0.8 m，所以弦心距|OB|＝≈3.5(m). 3．方程＝x＋k有唯一解，则实数k的范围是________． 答案：k＝或－1≤k<1　解析：由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0)只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝. 4．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为________h. 答案：1　解析：如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则台风经过以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内，即危险区为MN，可求得|MN|＝20 km，所以时间为1 h． 5．有一种商品，A，B两地均有出售且价格相同，某居住地的居民从两地往回运时，每千米的运费A地是B地的3倍．已知A，B两地相距10 km，问这个居住地的居民应选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑) 解：以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系． |AB|＝10，所以A(－5，0)，B(5，0)，设P(x，y)是区域分界线上的任一点，连接PA，PB． 设从B地运往P地每千米的运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，则从A地运往P地的运费为|PA|·3a，当运费相等时，就是|PB|·a＝3a·|PA|， 即3＝， 整理得(x＋)2＋y2＝()2.　① 所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A地或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买． 6．圆C：(x－4)2＋(y－4)2＝4与直线y＝kx的交点为P，Q，原点为O，则|OP||OQ|＝________． 答案：28　解析：如图，过原点O作⊙C的切线OA，连接AC，OC，在Rt△OAC中，|OA|2＝|OC|2－r2＝32－4＝28， 由平面几何知识可知，|OP|·|OQ|＝|OA|2＝28. 7．过点M(1，0)任作一条斜率存在的直线与圆O：x2＋y2＝9相交于两点A，B．问：在x轴上是否存在点N(a，0)(a>1)，使得∠ANM＝∠BNM.若存在，求出实数a；若不存在，请说明理由． 解：假设存在实数a，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设直线AB的方程为y＝k(x－1)， 由得(1＋k2)x2－2k2x＋k2－9＝0，Δ＝4(8k2＋9)>0， 由根与系数的关系得(*) 又∠ANM＝∠BNM，则NA，NB的斜率互为相反数， 即＋＝0，得＋＝0， 于是(x1－1)(x2－a)＋(x2－1)(x1－a)＝0，即2x1x2－(a＋1)(x1＋x2)＋2a＝0， 将(*)代入可得－＋2a＝0，化简得＋2a＝0，解得a＝9. 综上所述，存在a＝9，即点N(9，0)，使得∠ANM＝∠BNM. 8．如图所示，已知直线l的方程是y＝x－4，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，一个半径为的圆C，圆心C从点(0，)开始以每秒个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，求该圆运动的时间． 解：当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)， 则圆心到直线l的距离为＝， 解得m＝－或m＝－， 所以该圆运动的时间为＝6(s)或＝16(s). 学科网（北京）股份有限公司 $$