课时梯级训练(25) 直线与圆的位置关系(Word练习)-【优化指导】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(25)　直线与圆的位置关系 1．(2025·牡丹江高二检测)直线3x＋4y－25＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系为(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．相离或相切 C　解析：由圆的方程可知，圆心(0，0)，半径r＝3， 因为圆心(0，0)到直线3x＋4y－25＝0的距离d＝＝5>r， 所以直线与圆相离．故选C． 2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3，－1] B．[－1，3] C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) C　解析：圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a，0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，则d≤r＝，≤，|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1. 3．经过点M(2，1)作圆x2＋y2＝5的切线，则该切线方程为(　　) A．x＋y－5＝0 B．x＋y＋5＝0 C．2x＋y－5＝0 D．2x＋y＋5＝0 C　解析：设过点M的圆的切线上除点M的任一点的坐标为(x，y)，∵点M(2，1)在圆x2＋y2＝5上， ∴·＝－1，即2x＋y－5＝0. 4．若点P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为(　　) A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0 C．2x－y－5＝0 D．x－y－3＝0 D　解析：圆心是点C(1，0)，由CP⊥AB，得kAB＝1，又直线AB过点P，所以直线AB的方程为x－y－3＝0.故选D． 5．(多选)过点(2，0)作圆x2＋y2－2x－6y＋9＝0的切线l，则直线l的方程为(　　) A．3x＋4y－6＝0 B．4x＋3y－8＝0 C．x－2＝0 D．x＋2＝0 BC　解析：因为x2＋y2－2x－6y＋9＝0，所以(x－1)2＋(y－3)2＝1，当直线l的斜率不存在时，因为圆心(1，3)到直线x＝2的距离等于1，所以直线l的方程可以为x－2＝0；当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，则＝1，解得k＝－，所以l的方程为y＝－(x－2)，即4x＋3y－8＝0.故选BC． 6．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b＝________． 答案：2或12　解析：因为直线3x＋4y＝b与圆心为(1，1)，半径为1的圆相切，所以＝1，解得b＝2或12. 7．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________． 答案：2　解析：由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2. 8．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程． 解：设圆心坐标为(3m，m)， ∵圆C和y轴相切，∴圆C的半径为3|m|. ∵圆心到直线y＝x的距离为＝|m|， 由半径、弦心距、半弦长的关系，得9m2＝7＋2m2， ∴m＝±1. ∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切？ (2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程． 解：(1)圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，其圆心为(0，4)，半径r＝2，若直线l与圆C相切，则＝2，解得a＝－. (2)设圆心C到直线l的距离为d，则()2＋d2＝r2， 即2＋d2＝4，解得d＝， 则有d＝＝，解得a＝－1或a＝－7， 则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0. 10．在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C　解析：圆心为(－1，－2)，半径r＝2，而圆心到直线的距离d＝＝，故圆上有3个点满足题意． 11．(多选)(2025·上饶高二月考)已知圆C：x2＋y2－4y＝0，直线l过点(1，1)，则下列说法正确的是(　　) A．圆C的半径为2 B．圆C的圆心坐标为(0，－2) C．直线l被圆C截得的最短弦长为2 D．直线l被圆C截得的最长弦长为4 ACD　解析：由已知圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝4，圆心为C(0，2)，半径为2，A正确，B错误；记点(1，1)为M，|CM|＝＝， 当CM⊥l时弦长最短，最短弦长为2＝2，当直线l过圆心时，弦长最长，最长弦长为直径长4，C，D均正确．故选ACD． 12．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆相切于点A(－2，－1)，则m＝_______，r＝________． 答案：－2　　解析：如图， 由圆心与切点的连线与切线垂直，得＝－，解得m＝－2.所以圆心为(0，－2)，则半径r＝＝. 13．过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心．当∠ACB最小时，直线l的方程是____________． 答案：x＋y－3＝0　解析：验证知点 M(1，2)在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程可知圆心C(3，4)，∵kCM＝＝1，∴kl＝－1∴l：y－2＝－(x－1)，整理得x＋y－3＝0. 14．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值． 解：设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2). 由OP⊥OQ，得·＝0， 即x1x2＋y1y2＝0.　① 又(x1，y1)，(x2，y2)是方程组 的实数解， 即x1，x2是方程5x2＋10x＋4m－27＝0 ②的两个根， 所以x1＋x2＝－2，x1x2＝.　③ 因为P，Q在直线x＋2y－3＝0上， 所以y1y2＝(3－x1)·(3－x2)＝[9－3(x1＋x2)＋x1x2]. 将③代入上式，得y1y2＝.　④ 将③④代入①，解得m＝3. 代入方程②，检验Δ>0成立，所以m＝3. 15．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB满足以AB为直径的圆经过原点O? 解：假设存在且设l为y＝x＋m，圆C化为标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心C(1，－2). 解方程组 得AB的中点N的坐标为N(－，). 由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN|＝|ON|. 又|AN|＝＝， |ON|＝. 所以9－＝(－)2＋()2， 解得m＝1或m＝－4. 所以存在直线l，方程为x－y＋1＝0和x－y－4＝0符合题意． 学科网（北京）股份有限公司 $$