课时梯级训练(24) 圆的一般方程(Word练习)-【优化指导】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(24)　圆的一般方程 1．(2025·浙南名校联盟期中)已知方程x2＋y2－2x＋2＋k＝0表示半径为1的圆，则实数k＝(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 D　解析：由题设知(x－1)2＋y2＝－(1＋k)表示半径为1的圆， 所以－(1＋k)＝1，即k＝－2. 故选D． 2．与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过点(1，－1)的圆的方程是(　　) A．x2＋y2－4x＋6y－8＝0 B．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 C．x2＋y2＋4x－6y－8＝0 D．x2＋y2－4x－6y－4＝0 B　解析：依题意，设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0， 由于所求圆过点(1，－1)，所以1＋1－4－6＋m＝0， 解得m＝8，所以所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0. 3．若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则实数m的取值范围是(　　) A．m＞0 B．m＜ C．0＜m＜ D．0≤m≤ C　解析：x2＋y2－x＋y＋m＝0可化为(x－)2＋(y＋)2＝－m，则－m＞0，解得m＜.因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m＞0，即m＞0，所以0＜m＜.故选C． 4．(多选)关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述正确的是(　　) A．圆心在直线y＝－x上 B．其圆心在x轴上 C．过原点 D．半径为a AC　解析：将圆的方程化为标准方程可知圆心为(－a，a)，半径为|a|，故A，C正确． 5．圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1，1)，B(3，－1)的圆的一般方程是____________． 答案：x2＋y2－4x－4y－2＝0　解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心是(－，－)，由题意知，解得D＝E＝－4，F＝－2，即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0. 6．已知|AB|＝6，以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________． 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝9　解析：设圆心为M(x，y)，由|AB|＝6知，圆M的半径r＝3，则|MC|＝3，即＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9. 7．已知方程x2＋y2＋2mx＋4y＋2m2－3m＝0表示一个圆． (1)求实数m的取值范围； (2)求半径R的最大值． 解：(1)由(x＋m)2＋(y＋2)2＝－m2＋3m＋4>0，得－1<m<4， 即实数m的取值范围是(－1，4). (2)R2＝－m2＋3m＋4＝－(m－)2＋≤， 当且仅当m＝时，半径R取得最大值为. 8．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________． 答案：(－∞，1)　解析：由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1，2)，代入直线方程，得b＝4，圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a＜5，即a－b＜1. 9．已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，则弦OP中点Q的轨迹方程为 ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 答案：x2＋(y－)2＝(y≠0)　解析：方法一　 如图，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°. 设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2， 即x2＋y2＋x2＋(y－3)2＝9，因为点Q不能与点O重合，所以y≠0， 所以点Q的轨迹方程为x2＋(y－)2＝(y≠0). 方法二　 如图所示，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆(原点O除外)上，故点Q的轨迹方程为x2＋(y－)2＝(y≠0). 方法三　设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，得即 又x＋(y1－3)2＝9，所以4x2＋4(y－)2＝9， 因为点Q不能与点O重合，所以y≠0， 所以点Q的轨迹方程为x2＋(y－)2＝(y≠0). 10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3). (1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值． 解：(1)∵点P(a，a＋1)在圆上， ∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，∴解得a＝4，即P(4，5)， ∴|PQ|＝＝2， kPQ＝＝. (2)∵由题知圆心C的坐标为(2，7)， ∴|QC|＝＝4， 圆的半径是2，点Q在圆外， ∴|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2. 11．(2025·保定六校联考)已知A(－2，0)，B(2，0)，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍． (1)求点M的轨迹方程； (2)如果把倍改成k(k>0)倍，求点M的轨迹． 解：(1)设点M的坐标为(x，y)，由|MA|＝|MB|， 得＝×，化简得x2－12x＋y2＋4＝0， 即(x－6)2＋y2＝32. (2)设点M的坐标为(x，y)，由|MA|＝k|MB|，得＝k， 化简得(1－k2)x2＋4(1＋k2)x＋(1－k2)y2＋4(1－k2)＝0， 当k＝1时，方程为x＝0，可知点M的轨迹是线段AB的垂直平分线； 当k>0且k≠1时，方程可化为2＋y2＝， 所以点M的轨迹是以为圆心，半径为的圆． 学科网（北京）股份有限公司 $$