课时梯级训练(23) 圆的标准方程(Word练习)-【优化指导】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(23)　圆的标准方程 1．已知圆(x＋)2＋(y＋)2＝2，则其圆心坐标和半径分别是(　　) A．(，)，2 B．(－，－)，2 C．(，)， D．(－，－)， D　解析：依题意可知，圆的圆心为(－，－)，半径r＝. 2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5 A　解析：圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，则关于(0，0)对称的圆的圆心为(2，0)，半径不变．即所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝5. 3．(2025·嘉兴期中)已知点A(1，－1)和点B(－1，3)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为(　　) A．(x＋2)2＋(y－4)2＝5 B．(x＋2)2＋(y－4)2＝20 C．x2＋(y－1)2＝5 D．x2＋(y－1)2＝20 C　解析：因为点A(1，－1)和点B(－1，3)为直径端点，所以AB中点M，即M(0，1)为圆心．由|AB|＝＝2，则圆的半径r＝＝，故圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝5.故选C． 4．若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A． B．－ C．1 D．－1 A　解析：由题可知圆心为(a，0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝.故选A． 5．已知点P(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋2a)2＝5的内部，则实数a的取值范围为________． 答案：(－1，)　解析：由题意得(1－a)2＋(1＋2a)2＜5，解得－1＜a＜，即实数a的取值范围是(－1，). 6．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的标准方程为________． 答案：(x－2)2＋y2＝9　解析：设圆心C的坐标为(a，0)(a＞0)，由题意知＝，解得a＝2，则圆C的半径为r＝|CM|＝＝3，即圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9. 7．求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心为点(－2，1)，半径为； (2)经过点P(5，1)，圆心为点C(8，－3)； (3)经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心H在x轴上； (4)过点A(4，0)，O(0，0)，B(0，3). 解：(1)由题意可得圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝3. (2)易知圆的半径r＝|CP|＝＝5，圆心为C(8，－3)， 所以所求圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25. (3)方法一　设圆心H(x，0)，则|HA|＝|HB|，即|HA|2＝|HB|2，所以(x－5)2＋(0－1)2＝(x－1)2＋(0－3)2，解得x＝2.所以圆心坐标为(2，0)，半径为＝.所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10. 方法二　由点A，B的坐标可得kAB＝＝－，所以直线AB的垂直平分线斜率为k＝2，又因为直线AB的中点为(3，2)，所以直线AB的垂直平分线的方程为2x－y－4＝0. 由圆的垂径定理可知，2x－y－4＝0与x轴的交点(2，0)即为圆心H的坐标，所以半径为|HA|＝ ，所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10. (4)由题意知，AB为圆的直径，则圆心坐标为(2，)， 所以圆的半径为＝. 所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－)2＝. 8．已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以点P(2，－1)为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的标准方程． 解：要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内， 则圆的半径是|PA|，|PB|，|PC|的中间值． 因为|PA|＝，|PB|＝，|PC|＝5， 所以|PA|<|PB|<|PC|， 所以圆的半径r＝|PB|＝. 故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13. 9．已知点P在圆(x－)2＋(y－1)2＝4上，则点P到x轴的距离的最大值为(　　) A．2 B．3 C． D．＋2 B　解析：由题意知圆心为(，1)，半径r＝2，所以点P到x轴的距离的最大值为d＝r＋1＝2＋1＝3. 10．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点B，C的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，中线AD的长度是4，则满足顶点A的坐标的方程是(　　) A．x2＋y2＝16(y≠0) B．x2＋y2＝16(x≠0) C．x2＋y2＝4(y≠0) D．x2＋y2＝4(x≠0) A　解析：设A的坐标 (x，y)，由题意可得B，C的中点坐标为(0，0)，y≠0，再由AD长度是4可得x2＋y2＝16(y≠0).故选A． 11．圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的标准方程为______________． 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝1　解析：已知圆的圆心C(1，2)关于直线y＝x对称的点为C′(2，1)， 所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1. 12．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为__________． 答案：＋1　解析：的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1，1)的距离，因此最大值为＋1. 13．已知圆C经过点A(－1，0)和B(3，4)，且圆心C在直线x＋3y－15＝0上． (1)求圆C的标准方程； (2)设点Q(－1，m)(m＞0)在圆C上，求△QAB的面积． 解：(1)依题意知所求圆的圆心C为线段AB的垂直平分线和直线x＋3y－15＝0的交点． 因为AB的中点为(1，2)，直线AB的斜率为1， 所以AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. 由解得即圆心C(－3，6). 所以半径r＝＝＝2. 故所求圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40. (2)因为点Q(－1，m)(m＞0)在圆C上， 所以m＝12或m＝0(舍去)，所以Q(－1，12)， 易求得|AQ|＝12，点B到直线AQ的距离为4， 所以△QAB的面积S＝×|AQ|×4＝×12×4＝24. 14．圆C为过点P(4，3)，Q(2，5)的圆中最小的圆，则圆C上的任意一点M到原点O距离的取值范围为(　　) A．[2，5] B．[3，6] C．[5－，5＋2] D．[5－，5＋] D　解析：根据题意易知以PQ为直径的圆最小，则PQ为圆的一条直径，圆心为C(3，4)，半径为，圆心到原点的距离为5，故M到原点O距离的取值范围为[5－，5＋].故选D． 学科网（北京）股份有限公司 $$