课时梯级训练(22) 直线与方程(Word练习)-【优化指导】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(22)　直线与方程 1．过点(－，5)且倾斜角为150°的直线l的方程为(　　) A．y＝－x＋2 B．y＝－x＋4 C．y＝x＋8 D．y＝x＋6 B　解析：依题意，直线l的斜率k＝tan 150°＝－，所以直线l的方程为y－5＝－(x＋)， 即y＝－x＋4. 2．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程是(　　) A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0 C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0 D　解析：由方程组解得 所以两直线的交点为(－，)，所以所求直线的斜率为＝－， 所以所求直线的方程为y＝－x，即3x＋19y＝0.故选D． 3．(2025·辽宁高二期中)设点M(2，－3)，N(－3，－2)，若直线l：y＝kx＋1－k与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．[－∞，－4]∪ B．∪ C． D． A　解析：如图所示，依题意直线l过点P(1，1)，kPM＝＝－4，kPN＝＝， 要想直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则k≥或k≤－4.故选A． 4．(多选)(2025·台州高二期中)已知直线l：3kx＋(k＋2)y－6k＝0，则下列选项正确的是(　　) A．当直线l与直线x＋y＋2＝0平行时，k＝1 B．当直线l与直线x＋y＋2＝0垂直时，k＝－ C．当实数k变化时，直线恒过定点(2，1) D．原点到直线l的距离最大值为 AB　解析：对于A，直线x＋y＋2＝0的斜率为－1，直线l与直线x＋y＋2＝0平行， 所以直线l的斜率为－1，所以－＝－1，k＝1，故A选项正确； 对于B，直线l与直线x＋y＋2＝0垂直时，则3k＋(k＋2)＝0，k＝－， 故B选项正确； 对于C，由3kx＋(k＋2)y－6k＝0，则(3x＋y－6)k＋2y＝0， 则解得所以直线l过定点(2，0)，故C选项错误； 对于D，当且仅当原点到定点(2，0)的距离为原点到直线l的距离时， 原点到直线l的距离最大，即dmax＝＝2，故D选项错误．故选AB． 5．若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________． 答案：l1⊥l2　解析：将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0，得a＝－，∵kl1·kl2＝－×2＝－1，∴l1⊥l2. 6．直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是________. 答案：3x＋4y＋5＝0　解析：在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0. 7．与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程为________． 答案：x＋y＝0或x＋y－10＝0　解析：易知l1∥l2，且它们之间的距离d＝＝.设所求直线为l4，则l4∥l3，所以可设l4：x＋y＋c＝0(c≠－5)，则＝，解得c＝0或c＝－10，所以所求直线的方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0. 8．已知光线从点A(－5, －2)射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的点C，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－2, 6)，求BC所在的直线方程． 解：作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－5)，D′(2, 6).由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C．故BC所在的直线方程为＝，即11x－4y＋2＝0. 9．等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x－y＝0，一条直角边所在的直线l的斜率为，且经过点(4，－2)，且此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标． 解：设直角顶点为C，C到直线y＝3x的距离为d. 则·d·2d＝10，∴d＝. 又直线l的斜率为，且经过点(4，－2)，∴l的方程为y＋2＝(x－4)，即x－2y－8＝0. 设l′是与直线y＝3x平行且距离为的直线， 则l′与l的交点就是C点， 设l′的方程是3x－y＋m＝0，则＝， ∴m＝±10，∴l′的方程是3x－y±10＝0， 由方程组及 得C点坐标是(，－)或(－，－). 10．(多选)(2025·阜阳高二月考)已知直线l：(x＋3)cos θ＋y sin θ－5＝0(θ∈R)，则下列结论正确的是(　　) A．若直线y＝－3x＋1与l平行，则tan θ＝ B．若把l绕其与x轴的交点逆时针旋转，所得直线的斜率为2，则tan θ＝－ C．若θ∈(0，)，l与直线y＝2x－6及两坐标轴的正半轴围成的四边形有外接圆，则sin θ＝ D．对任意的θ，都存在定点P，使得点P到l的距离为定值 AD　解析：直线l：x cos θ＋y sin θ＋3cos θ－5＝0(θ∈R)， 对于A，直线l的斜率为－＝－3，则tan θ＝，A正确； 对于B，依题意，直线l的倾斜角α为锐角，且0<α<，则tan (α＋)＝2， 即＝2，解得tan α＝，即－＝，解得tan θ＝－3，B错误； 对于C，θ∈(0，)，l与直线y＝2x－6及两坐标轴的正半轴围成的四边形有外接圆， 可得直线l垂直于直线y＝2x－6，则－＝－，即sin θ＝2cos θ>0， 又sin2θ＋cos2θ＝1，解得sin θ＝，C错误； 对于D，点(－3，0)到直线l的距离d＝＝5，即点P(－3，0)符合题意，D正确． 11．已知实数a，b，c，d满足＝＝，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为________． 答案：　解析：∵实数a，b，c，d满足＝＝，∴3a－4b＝0，3c－4d＋9＝0，∴点(a，b)在直线3x－4y＝0上，点(c，d)在直线3x－4y＋9＝0上，∴(a－c)2＋(b－d)2的几何意义就是直线3x－4y＝0上的点到直线3x－4y＋9＝0上点的距离的平方，故所求最小值为()2＝. 12．(2025·烟台高二期中)已知△ABC的顶点B(3，2)，边BC上的高所在的直线方程为5x－2y－34＝0，∠BAC的平分线所在的直线方程为x＋y－4＝0. (1)求直线AC的方程和点C的坐标； (2)求△ABC的面积． 解：(1)因为边BC上的高所在的直线方程为5x－2y－34＝0， ∠BAC的平分线所在的直线方程为x＋y－4＝0， 所以联立得A(6，－2)， 设点B(3，2)关于直线x＋y－4＝0的对称点为B1(m，n)， 所以解得即点B1(2，1)， 所以kAC＝kAB1＝＝－，所以直线AC的方程为3x＋4y－10＝0. 因为边BC上的高所在的直线方程为5x－2y－34＝0， 所以设直线BC的方程为2x＋5y＋m＝0，将点B(3，2)代入，得m＝－16， 所以直线BC的方程为2x＋5y－16＝0， 联立解得C(－2，4). (2)因为边BC所在的直线方程为2x＋5y－16＝0， 所以点A到直线BC的距离d＝＝， ＝＝，所以S△ABC＝××＝7. 13．已知点M(3，5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小． 解：由点M(3，5)及直线l：x－2y＋2＝0，可求得点M关于l的对称点M1(5，1)，同理可得点M关于y轴的对称点M2(－3，5)，如图所示． 根据M1，M2两点可得直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0. 令x＝0，得直线M1M2与y轴的交点Q(0，)， 解方程组得两直线的交点P(，). 所以点P的坐标为(，)，点Q的坐标为(0，). 学科网（北京）股份有限公司 $$