2.4.2 圆的一般方程(课件PPT)-【优化指导】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

直线和圆的方程 2.4　圆的方程 2．4.2　圆的一般方程 第二章 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 < ＝ > 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 D 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 D 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 D 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 A 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 课时梯级训练(24) 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 学习目标 1．掌握圆的一般方程及其特点． 2．会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小． 3．能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 知识点一　圆的一般方程 1．方程(x－2)2＋(y－3)2＝4能否化为二元二次方程的形式？ 2．方程x2＋y2－4x－6y＋13＝0是否表示圆？ 3．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？ 圆的一般方程 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F__0 不表示任何图形 D2＋E2－4F__0 表示点(－ eq \f(D,2)，－ eq \f(E,2)) D2＋E2－4F__0 表示以__________为圆心，_______________为半径的圆 (－ eq \f(D,2)，－ eq \f(E,2)) eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F) 1．圆的一般方程的特点 (1)x2，y2的系数相等且不为0； (2)没有xy项． 2．一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F>0. 考法1　知圆的一般方程求圆心坐标、半径或参数范围 [例1] 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． (1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜ eq \f(1,5)， 故实数m的取值范围为(－∞， eq \f(1,5)). (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝ eq \r(1－5m). 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义知，若D2＋E2－4F>0成立，则x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征辨析． [练1] 圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　) A． eq \r(2) B． 2 C．3 D．3 eq \r(2) 化圆的方程为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为 eq \f(|1－（－3）＋2|,\r(12＋（－1）2))＝ eq \f(6,\r(2))＝3 eq \r(2). 考法2　求圆的一般方程 [例2] 已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4 eq \r(3)，求圆的方程． 方法一(待定系数法)　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P，Q的坐标分别代入上式，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4D－2E＋F＋20＝0，　①,D－3E－F－10＝0，　②)) 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，　③ 由已知得|y1－y2|＝4 eq \r(3)，其中y1，y2是方程③的两根． ∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.　④ 联立①②④解得， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝－12))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－10，,E＝－8，,F＝4.)) 故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 方法二(几何法)　由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0. ∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上， 设其坐标为(a，a－1). 又圆C的半径长r＝|CP|＝ eq \r(（a－4）2＋（a＋1）2).　① 由已知圆C截y轴所得的线段长为4 eq \r(3)，而圆心C到y轴的距离为|a|. ∴r2＝a2＋( eq \f(4\r(3),2))2， 代入①并将两端平方得a2－6a＋5＝0， 解得a1＝1，a2＝5， ∴r1＝ eq \r(13)，r2＝ eq \r(37). 故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37. 求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程； (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程． [练2] 过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程可能为(　　) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝10 B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5))) eq \s\up12(2)＋(y－1)2＝ eq \f(9,5) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))2＝22 D．(x－2)2＋(y－3)2＝13 设过点(0，0)，(4，0)，(－1，1)的圆的方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F1＝0，,16＋0＋4D1＋F1＝0，,1＋1－D1＋E1＋F1＝0，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F1＝0，,D1＝－4，,E1＝－6，)) 即方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13. 设过点(0，0)，(4，0)，(4，2)的圆的方程为x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F2＝0，,16＋0＋4D2＋F2＝0，,16＋4＋4D2＋2E2＋F2＝0，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F2＝0，,D2＝－4，,E2＝－2，)) 即方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5. 设过点(－1，1)，(4，0)，(4，2)的圆的方程为x2＋y2＋D3x＋E3y＋F3＝0， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋1－D3＋E3＋F3＝0，,16＋0＋4D3＋F3＝0，,16＋4＋4D3＋2E3＋F3＝0，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F3＝－\f(16,5)，,D3＝－\f(16,5)，,E3＝－2，)) 即方程为x2＋y2－ eq \f(16,5)x－2y－ eq \f(16,5)＝0，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))2＋(y－1)2＝ eq \f(169,25). 设过点(－1，1)，(0，0)，(4，2)的圆的方程为x2＋y2＋D4x＋E4y＋F4＝0， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋1－D4＋E4＋F4＝0，,F4＝0，,16＋4＋4D4＋2E4＋F4＝0，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F4＝0，,D4＝－\f(8,3)，,E4＝－\f(14,3)，)) 即方程为x2＋y2－ eq \f(8,3)x－ eq \f(14,3)y＝0，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))2＝ eq \f(65,9). 故选D． 知识点二　与圆有关的轨迹方程问题 1．轨迹与轨迹方程 轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中常常把图形看作点的轨迹(集合).点M的轨迹方程是指点M的坐标(x，y)满足的关系式． 2．求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y)； (2)列出点M满足条件的集合； (3)用坐标表示上述条件，列出方程； (4)将上述方程化简； (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点． [例3] 点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． (1)设线段AP的中点M(x，y)， 由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2，2y). ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1． (2)设线段PQ的中点N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 求与圆有关的轨迹问题的方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． [练3] 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0). 求：(1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． (1)方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1． 又kAC＝ eq \f(y,x＋1)，kBC＝ eq \f(y,x－3)，所以 eq \f(y,x＋1)· eq \f(y,x－3)＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0). 方法二　设线段AB的中点为D．由中点坐标公式得D(1，0).由直角三角形的性质知|CD|＝ eq \f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0). (2)设M(x，y)，C(x0，y0).因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝ eq \f(x0＋3,2)，y＝ eq \f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0). 将x0＝2x－3，y0＝2y代入(x－1)2＋y2＝4得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1．因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 1．知识清单 (1)圆的一般方程． (2)求动点的轨迹方程． 2．方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法． 3．常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件． ◎随堂演练 1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是(　　) A．以(1，－2)为圆心， eq \r(11)为半径的圆 B．以(1，2)为圆心， eq \r(11)为半径的圆 C．以(－1，－2)为圆心， eq \r(11)为半径的圆 D．以(－1，2)为圆心， eq \r(11)为半径的圆 将方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0化为(x＋1)2＋(y－2)2＝11，因此方程表示圆且圆心为(－1，2)，半径为 eq \r(11). 2．若方程x2＋y2－x＋y＋2m＝0表示圆，则m的取值范围为(　　) A．(－∞， eq \f(1,4)) B．(－∞，0) C．(－∞， eq \f(1,2)) D．(－∞，－1) 由题意可得D＝－1，E＝1，F＝2m，故D2＋E2－4F＝1＋1－8m>0，解得m< eq \f(1,4). 3．点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置关系是______． 答案：点P在圆C外部 将点P(1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m2－2＋m2＝2m2＋3>0，故点P在圆C外部． 4．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，则a＝________________，b＝________________，c＝________________． 答案：－2　4　4　 圆心为(2，2)，半径为2的圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－4x－4y＋4＝0，因此 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝－4，,－b＝－4，,c＝4，))故 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4，,c＝4.)) 5.设A为圆C：x2＋y2－2x＝0上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是________________________． 答案：(x－1)2＋y2＝2 将x2＋y2－2x＝0化为(x－1)2＋y2＝1，设P(x，y)，则|PC|＝ eq \r(|AC|2＋|PA|2)＝ eq \r(2)，即(x－1)2＋y2＝2. $$