课时梯级训练(21) 点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离(Word练习)-【优化指导】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(21)　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离 1．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于(　　) A． B．－ C．－ D．或－ D　解析：由＝1，解得m＝或m＝－.故选D． 2．直线x＋3y－9＝0与直线x＋3y－c＝0的距离为，则c的值为(　　) A．－1 B．19 C．－1或19 D．无法确定 C　解析：由两平行线间距离公式得＝，解得c＝－1或c＝19. 3．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 A　解析：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，其方程为x＋y－6＝0，∴M到原点的距离的最小值为d＝＝3. 4．若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　) A．1 B． C． D．2 B　解析：由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，得|AB|＝＝. 5．(多选)点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P坐标为(　　) A．(1，2) B．(2，1) C．(2，－1) D．(－1，2) AC　解析：设点P的坐标为(a，5－3a).由题意知＝，解得a＝1或a＝2，所以点P的坐标为(1，2)或(2，－1). 6．分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________． 答案：5　解析：两直线方程分别是x＝－2和x＝3，故两条直线间的距离d＝|－2－3|＝5. 7．(2025·邯郸高二检测)过点P(－4，2)，且到点(1，1)的距离为5的直线方程为________________________________________________________________________． 答案：x＝－4或12x－5y＋58＝0 解析：当直线的斜率不存在时，直线方程x＝－4满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＋2＝0， 由点到直线的距离公式得＝5，解得k＝，此时直线方程为12x－5y＋58＝0. 综上可知，所求直线方程为x＝－4或12x－5y＋58＝0. 8．求过点P(0，2)且与点A(1，1)，B(－3，1)等距离的直线l的方程． 解：方法一　∵点A(1，1)与B(－3，1)到y轴的距离不相等，∴直线l的斜率存在，设为k.又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0. 由点A(1，1)与B(－3，1)到直线l的距离相等， 得＝，解得k＝0或k＝1. ∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0. 方法二　当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等． ∵AB的中点是(－1，1)，又直线l过点P(0，2)， ∴直线l的方程是x－y＋2＝0； 当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等． ∵直线AB的斜率为0，∴直线l的斜率为0， ∴直线l的方程为y＝2. 综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2. 9．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程． 解：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)， 则图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b)， 则|AD|＝，|BC|＝b. 梯形的高h就是A点到直线l2的距离， 故h＝＝＝(b>1)， 由梯形面积公式得×＝4， 解得b＝±3，又b>1，∴b＝3. 从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0. 10．(2025·菏泽高二期中)点(5，2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为(　　) A． B．2 C． D．2 B　解析：直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5可化为(x＋2y－1)m－x－y＋5＝0， 由解得所以直线过定点(9，－4)， 点(5，2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为 d＝＝2.故选B． 11．(多选)(2025·温州环大罗山联盟高二期中联考)若两直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m与l2：2x＋(5＋m)y＝8互相平行，则(　　) A．m＝－7 B．m＝－1 C．l1与l2之间的距离为 D．与l1，l2距离相等的点的轨迹方程为4x－4y＋5＝0 ACD　解析：因为两直线l1与l2互相平行， 所以(3＋m)(5＋m)＝4×2，解得m＝－7或m＝－1， 当m＝－7时，l1：2x－2y＋13＝0，l2：2x－2y－8＝0， 此时两直线l1与l2互相平行满足题意； 当m＝－1时，l1：x＋2y－4＝0，l2：x＋2y－4＝0， 此时两直线l1与l2重合，不合题意． 综上可得，两直线l1与l2互相平行时，m＝－7.故A正确，B错误； l1：2x－2y＋13＝0与l2：2x－2y－8＝0的距离为＝，故C正确； 设与l1，l2距离相等的点为(x，y)，则＝， 整理得4x－4y＋5＝0，所以与l1，l2距离相等的点的轨迹方程为4x－4y＋5＝0，故D正确．故选ACD． 12．已知在△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，点C在直线3x－y＋3＝0上．若△ABC的面积为10，则点C的坐标为________． 答案：(－1，0)或(，8)　解析：由|AB|＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4.设C(x，3x＋3)，利用点到直线的距离公式可求得x＝－1或x＝.故C的坐标为(－1，0)或(，8). 13．经过点P(－3，4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为________________． 答案：x＝－3或7x＋24y－75＝0　解析：①当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋4＝0.原点到直线l的距离d＝＝3，解得k＝－.直线l的方程为7x＋24y－75＝0. 综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0. 14．直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，l1到l2的距离为5，求l1，l2的方程． 解：①若l1，l2的斜率存在，设直线的斜率为k， 由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0. 由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0. 则直线l1到l2的距离d＝＝5， 所以25k2＋10k＋1＝25k2＋25.所以k＝. 所以l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0. ②若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件． 综上，满足条件的直线方程有两组： 或 15．已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，求点P到直线l3的距离． 解：如图所示， 结合图形可知，直线l1∥l3， 则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离． 由题意知l1与l2关于x轴对称， 故l2的方程为y＝－2x＋3， l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3. 由两平行线间的距离公式，得l1与l3间的距离d＝＝，即点P到直线l3的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$