课时梯级训练(20) 两点间的距离公式(Word练习)-【优化指导】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(20)　两点间的距离公式 1．已知点A(1，2)，B(3，1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是(　　) A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5 C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5 B　解析：设所求点为P(x，y)，则|AP|＝|BP|，即＝，化简得4x－2y＝5. 2．点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3，4)，则|AB|的长为(　　) A．10 B．5 C．8 D．6 A　解析：设A(a，0)，B(0，b)，又中点M(3，4)，则＝3，＝4， ∴a＝6，b＝8，∴A(6，0)，B(0，8)，∴|AB|＝＝10. 3．(多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点B的坐标可能是(　　) A．(2，0) B．(6，4) C．(4，6) D．(0，2) AC　解析：设B(x，y)，由题意得×＝－1，＝，化简得3x－y－6＝0，(x－3)2＋(y－3)2＝10，联立解得或∴B(2，0)或(4，6). 4．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________． 答案：　解析：因为kAB＝＝b－a＝1，所以|AB|＝＝. 5．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为________． 答案：　解析：由题意可知BC的中点坐标为(0，1)，则BC边上的中线长为＝. 6．(2025·南开区高二期中)若A(a，b)，B(c，d)是直线y＝mx＋n上的两点，那么A，B间的距离为(　　) A．|a－c| B．|a－c|(1＋m2) C． D．|a－c||m| A　解析：由题意b＝ma＋n，d＝mc＋n， |AB|＝＝＝|a－c|·， 故选A． 7．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点(x，y)到点(a，b)的距离，则＋的最小值为(　　) A．3 B．2＋1 C．2 D． D　解析：＋＝＋， 可以看作点P(x，0)到点A(0，1)，B(2，2)的距离之和， 作点A关于x轴的对称点A′(0，－1)(图略)，显然当B，P，A′三点共线时，取到最小值， 最小值为B，A′间的距离＝. 故选D． 8．(2025·珠海香樟中学高二期中)已知△ABC的顶点坐标为A(－5，－1)，B(－1，1)，C(－2，3). (1)试判断△ABC的形状； (2)求AC边上的高所在直线的一般式方程． 解：(1)因为A(－5，－1)，B(－1，1)，C(－2，3)， 所以kAB＝＝，kBC＝＝－2，kAC＝＝， 所以kAB·kBC＝－1，所以AB⊥BC， 又|AB|＝＝2， |BC|＝＝， 所以△ABC为直角三角形． (2)因为kAC＝＝， 所以AC边上高线所在直线的斜率为－， 故所求直线的方程为y－1＝－(x＋1)，即3x＋4y－1＝0. 9．对任意实数a，b，c，d，求证：＋≥. 证明：在平面直角坐标系中，设点A(a，c)，B(b，d)， 则有|AB|＝，|OA|＝， |OB|＝. 若O，A，B三点不共线，则构成△AOB，有|OA|＋|OB|>|AB|； 若O，A，B三点共线，有|OA|＋|OB|≥|AB|，当且仅当O在线段AB上时，等号成立． 综上可知，|OA|＋|OB|≥|AB|， 即＋≥，故原不等式成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$