课时梯级训练(12) 用空间向量研究夹角问题(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(12)　用空间向量研究夹角问题 1．若平面α的一个法向量为n＝(4，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3，3)，则l与α所成角的余弦值为(　　) A．－ B． C．－ D． D　解析：设α与l所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈a，n〉|＝＝||＝，故直线l与α所成角的余弦值为＝. 2.堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵ABC­A1B1C1中，∠ACB＝，若AA1＝2AC＝2BC＝2，则异面直线B1C与A1B所成角的余弦值为(　　) A． B．－ C． D．－ A　解析：由题意得，CC1⊥平面ABC，CA⊥CB，以C为坐标原点，CA，CB，CC1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A1(1，0，2)，B(0，1，0)，B1(0，1，2)，所以＝(0，－1，－2)，＝(－1，1，－2).设异面直线与所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈B1C，A1B〉|＝＝＝.故选A． 3．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD．若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD夹角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° B　解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝1，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，P(0，0，1)，D(1，0，0)，C(1，1，0).＝(1，0，－1)，＝(0，－1，0)，则平面PAB的一个法向量为n1＝(1，0，0). 设平面PCD的一个法向量n2＝(x，y，z)，则得令x＝1，则z＝1，∴n2＝(1，0，1)，cos 〈n1，n2〉＝＝，∴平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为， ∴平面PAB与平面PCD夹角的大小为45°. 4．(多选)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列四个结论正确的是(　　) A．AC⊥BD B．AB与CD所成的角为60° C．△ADC为等边三角形 D．AB与平面BCD所成的角为60° ABC　解析：A选项中，如图，取BD中点O，连接AO，CO，易知BD垂直于平面AOC，故BD⊥AC，故A正确．B选项中，如图建立空间直角坐标系， 设正方形边长为a，则A(a，0，0)，B(0，－a，0)，C(0，0，a)，D(0，a，0)，故＝(－a，－a，0)，＝(0，a，－a)，则两异面直线所成角的余弦值为|cos 〈，〉|＝，故两异面直线所成的角为，故B正确．C选项中，在Rt△AOC中，由AO＝CO＝a，解得AC＝AO＝a，所以△ADC为等边三角形，故C正确．D选项中，易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，可求得∠ABO＝45°，故D错误． 5．若直线l的方向向量a＝(－2，3，1)，平面α的一个法向量n＝(4，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________． 答案：　解析：由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝. 6．在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的正弦值为________． 答案：　解析：因为PA⊥底面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD． 因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，所以AB，AD，AP两两垂直． 以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB＝2，则PA＝2，可得B(2，0，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，F(1，1，1)，E(1，2，0)，所以＝(－1，1，1)，＝(1，2，－2). 所以cos 〈，〉＝＝＝－. 设异面直线BF与PE所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈，〉|＝， 所以sin θ＝＝＝. 7．(2025·湖南高二联考)在三棱锥O­ABC中，已知＝(1，0，－1)，＝(2，－1，0)，平面ABC的一个法向量为n＝(－1，c，1). (1)求异面直线OA，BC所成角的余弦值； (2)求直线OA与平面ABC所成角的正弦值． 解：(1)由向量＝(1，0，－1)，＝(2，－1，0)，设异面直线OA，BC所成角为θ，可得cosθ＝＝＝＝， 所以异面直线OA，BC所成角的余弦值为. (2)由向量＝(1，0，－1)，＝(2，－1，0)，且平面ABC的一个法向量为n＝(－1，c，1)， 所以·n＝(2，－1，0)·(－1，c，1)＝－2－c＝0，解得c＝－2，所以n＝(－1，－2，1)， 设直线OA与平面ABC所成角为α， 可得sin α＝＝＝＝， 所以直线OA与平面ABC所成角的正弦值为. 8．如图所示，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1. (1)求SC与平面ASD所成角的余弦值； (2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值． 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系， S(0，0，2)，C(2，2，0)，D(1，0，0)，B(0，2，0)，＝(2，2，－2)， ∵AB⊥平面SAD，故平面ASD的一个法向量为＝(0，2，0)，设SC与平面ASD所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝， 故cos θ＝，即SC与平面ASD所成角的余弦值为. (2)平面SAB的一个法向量为m＝(1，0，0)， ∵＝(2，2，－2)，＝(1，0，－2)，设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由⇒令z＝1，可得平面SCD的一个法向量为n＝(2，－1，1)， 显然，平面SAB和平面SCD所成角为锐角，不妨设为α，则cos α＝＝，即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为. 9．如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D­AB­E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝，则＝(　　) A．1 B． C． D． C　解析：不妨设BC＝1，AB＝λ(λ＞0)，则＝λ.记＝a，＝b，＝c，则＝b－a，＝c－b，根据题意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，∴·＝－b2＝－λ2，而||＝，||＝，∴|cos 〈，〉|＝＝＝，得λ＝或λ＝－(舍去). 10．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy的夹角的余弦值为________． 答案：　解析：由题意得＝(－1，2，0)，＝(－1，0，3).设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z).由知令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，).因为平面xOy的一个法向量为＝(0，0，3).所以平面ABC与平面xOy的夹角的余弦值为＝. 11.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种被称为“羡除”的几何体，该几何体是三个面均为梯形，其他两个面为三角形的五面体．如图，现有一羡除ABCDEF，平面ABCD⊥平面CDEF，CD＝2AB＝4，EF＝6，四边形ABCD，CDEF均为等腰梯形，∠ADC＝∠DEF＝，M，N，P分别为DE，EF，BC的中点，则平面PMN与平面CMN夹角的余弦值为____________. 答案：　解析：过A作AO⊥DC，垂足为O，过O作OQ⊥EF，垂足为Q， 因为平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD， 所以AO⊥平面CDEF，故以O为原点，OQ，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意可知O(0，0，0)，B(0，2，)，C(0，3，0)，D(0，－1，0)，E(，－2，0)，F(，4，0)，则M，N(，1，0)，P， 所以＝，＝. 设平面MNP的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 取x＝5，则y＝－，z＝13，得n＝(5，－，13). 易得平面CMN的一个法向量为m＝(0，0，1)， 所以平面PMN与平面CMN夹角的余弦值为＝. 12．(2024·全国甲卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，EF∥AD，BC∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，ED＝，FB＝2，M为AD的中点． (1)证明：BM∥平面CDE； (2)求二面角F­BM­E的正弦值． (1)证明：方法一(利用线面平行判定定理)　因为M为AD的中点，BC∥AD，且AD＝4，BC＝2，所以BC∥MD，且BC＝MD， 所以四边形BCDM为平行四边形． 所以BM∥CD， 又CD⊂平面CDE，BM⊄平面CDE，所以BM∥平面CDE. 方法二(利用面面平行的性质)　因为EF∥AD，BC∥AD，所以EF∥BC， 又EF＝BC＝2，所以四边形BCEF为平行四边形． 所以BF∥CE，又CE⊂平面CDE，BF⊄平面CDE，所以BF∥平面CDE. 因为M为AD的中点，且AD＝4，所以EF∥MD，且EF＝MD，所以四边形MDEF为平行四边形． 所以FM∥ED，又ED⊂平面CDE，FM⊄平面CDE，所以FM∥平面CDE. 因为BF，FM⊂平面BMF，BF∩FM＝F，所以平面BMF∥平面CDE. 又BM⊂平面BMF，所以BM∥平面CDE. (2)解：取AM的中点O，连接BO，FO. 由(1)中方法一可知，BM＝CD＝AB＝2，因为AM＝2，所以BO⊥AD，且BO＝. 由(1)中方法二知四边形MDEF为平行四边形，所以FM＝ED＝， 又AF＝，所以FO⊥AM， 又OA＝OM＝1，所以FO＝＝3， 又FB＝2，所以BO2＋FO2＝FB2， 所以FO⊥OB，即OB，OD，OF两两垂直． 以O为坐标原点，分别以OB，OD，OF所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则F(0，0，3)，B(，0，0)，M(0，1，0)，E(0，2，3)，则＝(，－1，0)，＝(0，－1，3)，＝(0，1，3). 设平面FBM的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则，即， 令y1＝3，所以x1＝，z1＝1，所以n1＝(，3，1). 设平面EBM的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则，即， 令y2＝3，所以x2＝，z2＝－1，所以n2＝(，3，－1). 设二面角F­BM­E的平面角为θ，所以|cos θ|＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝， 因为θ∈[0，π]，所以sin θ≥0，即sin θ＝＝， 所以二面角F­BM­E的正弦值为. 13．钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑．中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑．如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面(四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上)，在整点时刻(在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点)，已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为(　　) A． B． C． D． B　解析：如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为侧面ABB1A1和侧面BCC1B1的中心，G为BB1的中点，EN为2点钟时针，FM为8点钟时针， 则∠NEG＝30°，∠MFG＝30°，设正四棱柱的底面边长为a，侧棱长为b， 以D为坐标原点，以，，DD1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(a，，)，N(a，a，＋)，F(，a，)，M(a，a，－)， ＝(0，，)，＝(，0，－)， 所以＝＝ ＝. 所以在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$