1.4.1.2 空间向量与垂直关系-2020-2021学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版选修第一册）

1.4.1.2空间向量与垂直关系 导学案 编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波 【学习目标】 1.能利用平面法向量证明线面和面面垂直 2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系 【自主学习】 知识点一 空间中有关垂直的向量关系 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量 ； 直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量 ； 平面与平面垂直，就是两平面的法向量 ． 知识点二 空间中垂直关系的向量表示 线线垂直 设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔ ⇔ 线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)， 则l⊥α⇔ ⇔ ⇔ ＝ (λ∈R) 面面 垂直 设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)， 则α⊥β ⇔ ⇔ ⇔ 知识点三 空间垂直关系的解决策略 几何法 向量法 线线 垂直 (1)证明两直线所成的角为90°. (2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直 两直线的方向向量互相垂直 线面 垂直 对于直线l，m，n和平面α (1)若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m与n相交，则l⊥α. (2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α (1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直． (2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量 面面垂直 对于直线l，m和平面α，β (1)若l⊥α，l⊂β，则α⊥β. (2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β. (3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β 证明两个平面的法向量互相垂直 【合作探究】 探究一 利用空间向量证明线线垂直 【例1】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AC的中点． 求证：(1)BD1⊥AC； (2)BD1⊥EB1. 归纳总结： 【练习1】在棱长为a的正方体OABC­O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF， 求证：A1F⊥C1E. 探究二 用空间向量证明线面垂直 【例2】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F. 归纳总结： 【练习2】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，其中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点 如图，求证：直线PB1⊥平面PAC. 探究三 利用空间向量证明面面垂直 【例3】如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 归纳总结： 【练习3】如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD. 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1．u＝(2，－2,2)是平面α的一个法向量，v＝(1,2,1)是平面β的一个法向量，则下列命题正确的是(　　) A．α，β平行 B．α，β垂直 C．α，β重合 D．α，β不垂直 2．已知直线l1的一个方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的一个方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且l1⊥l2，则x＋y的值是(　　) A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．1 3．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是(　　) A．相交 B．垂直 C．不垂直 D．成60°角 4．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且＝2，设C，若CD⊥AB，则λ的值为(　　) A． B．－ C． D． 5.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 二、填空题 6．已知三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的单位法向量为________． 7．设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是________． 8．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且