课时梯级训练(7) 空间向量及其运算(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(7)　空间向量及其运算 1．(2025·福州高二期中)已知x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－2，2)，且a⊥c，b∥c，则x＋y的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 A　解析：因为向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－2，2)， 由a⊥c，则2x－2＋2＝0，解得x＝0， 由b∥c，则＝＝，解得y＝－1，则x＋y＝－1. 2．已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． D　解析：∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1，1，2)， ∴cos 〈a，b〉＝＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为，故选D． 3．(2025·南昌联考)已知＝(2，1，－3)，＝(－1，2，3)，＝(λ，6，－9)，若P，A，B，C四点共面，则λ＝(　　) A．3 B．－3 C．7 D．－7 C　解析：由P，A，B，C四点共面，可得，，共面， 设＝x＋y＝(2x－y，x＋2y，－3x＋3y)＝(λ，6，－9)， 则解得 4．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 C　解析：∵点M为BC中点，∴＝(＋)，∴·＝(＋)·＝·＋·＝0. ∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形． 5．(2025·淄博期中)如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，＝，＝，＝3，若＝＋，则＝(　　) A．4 B． C．6 D． D　解析：由图可知＝2，＝3，∠BAC＝，且＝＝， 所以2＝2＋2＋2－2·－2·＋2·＝ 9＋4＋9－2×3×2×cos －2×3×3×cos ＋2×2×3×cos ＝9＋4＋9＋6＋9＝37，所以＝，故选D． 6．已知四面体P­ABC中，∠PAB＝∠BAC＝∠PAC＝60°，||＝1，||＝2，||＝3，则|＋＋|＝________． 答案：5　解析：由已知可得·＝1×2×cos 60°＝1，·＝2×3×cos 60°＝3，·＝1×3×cos 60°＝，∴|＋＋|＝＝＝5. 7．已知点A(1，2，－1)，B(2，k，－3)，C(0，5，1)，向量a＝(－3，4，5). (1)若⊥a，求实数k的值； (2)求向量在向量a上的投影向量． 解：(1)由题意，＝(1，k－2，－2)，a＝(－3，4，5). 因为⊥a， 所以·a＝0，即－3＋4k－8－10＝0， 解得k＝. (2)由题意，＝(－1，3，2)，a＝(－3，4，5)， 所以向量在向量a上的投影向量为＝×＝. 8．(多选)(2025·洛阳高二期中)已知ABCD是边长为2的正方形，点E，F在平面ABCD的同侧，AE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，且AE＝DF＝2，点Q为DF的中点，点P是线段CE上的动点，则线段PQ的长度可能为(　　) A．1 B． C． D．2 BC　解析：如图所示，以点A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，D(2，0，0)，C(2，2，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2)，Q(2，0，1). 设P(x，y，z)，由点P是CE上的动点，知＝λ(0≤λ≤1)，即 (x－2，y－2，z)＝λ(－2，－2，2)，∴x＝y，z＝2－x，故P(x，x，2－x)， ∴PQ＝＝(0≤x≤2)， 所以≤PQ≤. 9．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是________． 答案：[0，1]　解析：如图所示， 由题意，设＝λ，其中λ∈[0，1]，·＝·(＋)＝·(＋λBD1)＝AB2＋λ·＝1＋λ·(－)＝1－λ∈[0，1].因此·的取值范围是[0，1]. 10．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，＝λ，且AB1⊥MN，求实数λ的值． 解：如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以M为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系． 因为底面边长为1，侧棱长为2，所以A(0，，0)，B1(－，0，2)，C(，0，0)，C1(，0，2)，M(0，0，0)，因为C1N＝λ， 所以N(，0，)，所以＝(－，－，2)，＝(，0，).又⊥MN，所以AB1·＝0.所以－＋＝0，所以λ＝15. 11．构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状和大小由它的棱长a，b，c及共顶点的三条棱两两之间的夹角α，β，γ(合称为“晶胞参数”)来表示．如图是某种晶体的晶胞的示意图，其中a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，则对角线AC1的长为________． 答案：　解析：连接AC(图略)，易知＝＋＋＝＋＋，由题可知||＝2，||＝||＝1，α＝∠A1AB＝60°，β＝∠A1AD＝90°，∠BAD＝180°－γ＝60°.因为2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝4＋1＋1＋2×2×1×cos 60°＋2×2×1×cos 60°＋2×1×1×cos 90°＝10，故||＝. 12．如图，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1). (1)向量是否与向量，共面？ (2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？ 解：(1)因为＝k，＝k， 所以＝＋＋＝k＋＋k＝k(＋)＋＝k(＋)＋＝k＋＝－k＝－k(＋)＝(1－k)－k． 由共面向量定理知向量与向量，共面． (2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内； 当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1内， 又由(1)知与，共面， 所以MN∥平面ABB1A1. 综上，当k＝0时，MN在平面ABB1A1内；当0<k≤1时，MN∥平面ABB1A1. 学科网（北京）股份有限公司 $$