课时梯级训练(6) 空间向量运算的坐标表示(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时梯级训练(6空间向量运算的坐标表示 A组基础夯实 1.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则a-b+2c=() A.(-9,-3,0 B.(0,2,-1) C.(9,3,0) D.(9,0,0) C解析：a-b+2c=(1,0,1)-(-2,-1,1)+(6,2,0)=(3,1,0)+(6,2,0)=(9, 3,0. 2.若△4BC中，∠C=90°，A(1,2,-3,B(-2,1,0),C(4,0,-2,则k的 值为) A.10 B.-10 C.25 D.±10 D解析：=(-6,1,2，=(-3,2，-9，则·=(-6×(-3)十2+2k× (-k)=一2k2+20=0,解得k=±10. 3.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0):1Aa十b=29,且1>0，则1=() A.2 B.3 C.4 D.5 B解析：a十b=0,一1,1)+(4,1,0)=(4,1-，A),由已知得1a十b=42+ (1-1)2十2=29，且>0，解得1=3 4.若a=(1,入，一1)，b=(2,一1,2)，且a与b的夹角的余弦值为19，则a=() A.94B.102C.32D.6 C解析：因为ab=1×2+A×(-1)+(-1)×2=-,又ab=lallblcos(a,b),即 一1=2+2×9×19=132+2，解得2=14，所以a=14)+1=32 5.已知向量a=(1,0,一1)，b=(0,1,1),则a在b上的投影向量为() A.\alvs4\alcol(0,-f(112)B.awvs4\alcol(0,-\f(r(2\r(22) C.0,-1,-1) D.\aws4alcol(-f(112) A解析：根据题意a在b上的投影向量为ab1b1·b1b=一1r(2×(0,1,1)r2)= aws4\alcol(0,-\f(112) 6.若m=(2,一1,1)，n=(a,5,1),且m⊥(m-n),则1= 答案：5解析：由已知得m-n=(2-无，一6,0).由m(0m一m)=0得，2(2-)+6十0 =0,所以1=5 7.设A(3,3,1)B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离的值为 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 答案：5)2解析：：AB的中点M2,32,3),.=(2,12,3),故点M到点C的 距离11=12))2十32=53)2. 8.在空间直角坐标系中，已知A(0,1,2),B(3,一2，一1)，D1,1,1) (①)若点P满足=2，求1： (②)求△4BD的面积. 解：(1)设P(x,y,, A0,1,2),B3,-2,-1),D1,1,1), .=k,y-1,z-2),=(3-x,-2-y,-1- =2, x=2(3-x,y-1=2(-2-y,z-2=2(-1-z,解得x=2,y=-1,z=0, P2,-1,0), =(1,-2,-1), .1=12+(-2)2+(-1)2=6 (2)A(0,1,2),B(3,-2,-1),D1,1,1), =6,-3,-3),=1,0,-10,=(-2,3,2, ∴.Cos∠BAD=AB-)→)AB→)→)= 3+0+332+(-3)2+(-3)2)×12+02+(-1)2)=603, .sin∠B.4D=re(aws.4 alco10yr6)3》2=33, ∴.S△ABD=124BAD|sin∠BAD=12×33X2×33=2)2. 9.如图，已知四棱台ABCD-A1B1CD1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A14 =6,且AA⊥底面ABCD,点P,Q分别在棱DD1,BC上，若点P是DD1的中点，求证： AB1⊥PQ ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 证明：由题设知，A41,AB,AD两两垂直.以A为坐标原点， 分别以，一，一为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， B 则A0,0,0),B(3,0,6,D0,6,0),D1(0,3,6. B 设Q(6,m,0),其中m=BQ,0≤m≤6 若P是DD1的中点，则P0,92,3), 一=6，m-2,-3) 又=60,0，于是”=18-18=0， 所以⊥，即AB⊥PO B组综合提升 10.(2025中山高二段考)已知向量a=(一2,1,4)，b=(-4,2,0,且向量a,b的夹 角为锐角，则实数t的取值范围是( ) A.(-52,+∞) B.(-52,8)U(8,+∞) C.(52,+o) D.(52,8)U(8,+) B解析：因为向量a,b的夹角为锐角，则ab=8十2十4p0,得P一52， 当a∥b时，一2一4=12=4t,得t=8,所以实数t的取值范围为（一52,8）U(8,十∞)为 11.已知a=(1-4,1-t,0,b=(2,,0,则b-a的最小值是() A.5)5 B.55)5 C.55 D.115 C解析：b-a=(1+t,2t-1,0),.b-a2=(1+02+(21-1)2+02=52-2t+2=5 0-15)2+95 ..b-alnin=95...b-almin=5)5. 12.(2025福州高二期中)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C (O,0,1),若点Px,y,一2)在平面ABC内，写出一个符合题意的点P的坐标 答案：(2,1，一2（答案不唯一）解析：点P,y,一2)在平面ABC内，所以A,B, ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C,P四点共面， 则广=m广+n,所以x-1,八.-2)=m-1,1,0+-1,0,1). 所以x-1=一m一n,y=m,一2=n,则x十y-3=0, 所以P,y,-2)满足x十y-3=0即可，令x=2,y=1,满足x十y-3=0, 所以符合题意的点P的坐标可以为P(2,1,一2). 13.已知点A1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O0,0,0),点Q在直线OP上运 动，当。取得最小值时，点Q的坐标为 答案：(43,45,8)解析：设=元=(，A,2),故Q以，X,2),故=1-， 2-元，3-20，=(2-1,1-，2-20.则·=62-161+10=61-43y2-25,当· 取最小值时，A=43,此时Q点的坐标为(43,43,83 14.已知空间中三点A2,-1,1),B,1,0,C4,-3,3)设a=,b= (1)求2a-b和a十2b: (②)若2ka一b与a十b互相垂直，求实数k的值. 解：（①42-1,10.B0,1,0.C4,-3.3),a=,b= .a=(-1,2,-1),b=(2,-2,2) .2a-b=(-2,4,-2)-(2,-2,2)=(-4,6,-4), a+2b=(-1,2,-1)+(4,-4,4)=(3,-2,3), 1a+2b=32+(-2)2+32=22 (2),2ka-b=(-2k,4k,-20-(2,-2,2)= (-2k-2,4k+2,-2k-2) a+kb=(-1,2,-1)+(2k,-2k,2=(2k-1,2-2k,2k-1) 且2ka-b与a十b互相垂直， .(2ka-b)(a+b)=0 即(-2k-2)(2k-1)+(4k+2)(2-29+(-2k-2)2k-1)=0 .2=12,解得k=±22 C组创新应用 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 15.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ ACD=π3，点F为PC的中点，AF⊥PB.求PA的长 解：如图，连接BD交AC于点O,因为BC=CD,即△BCD为等腰三角形，又AC平 分∠BCD,故ACLBD.以O为坐标原点，分别以，一，一为正交基底建立空间直角坐标 系Oxyz 因为OC=CD cosπ3=1，AC=4, 所以AO=AC-OC=3, 又OB=OD=CD sin元3=3， 故A(0,-3,0),B(3,0,0),C(0,1,0),D(-3,0,0) 由PA⊥底面ABCD,可设P(0,一3，)，其中>0 由F为PC的中点，得F0,一1,2)， 所以=0,2,2)，=(3,3，-). 又4FLPB,所以.=0，即6-22=0. 解得z=23或z=一23（舍去）】 所以=(0,0，-23)，则1=23.所以P4的长为23 ·独家授权侵权必究·