1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题(课件PPT)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量与立体几何 1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 第一章 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 D 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 A 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 B 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 C 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 A 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 课时梯级训练(11) 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 学习目标 1．理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导． 2．能用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离． 3．能描述解决这一类问题的程序“三步曲”． 知识点一　点到直线的距离 点到直线的距离 条件 如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的 定点，P是直线l外一点，设 eq \o(AP,\s\up17(→))＝a 结论 向量 eq \o(AP,\s\up17(→))在直线l上的投影向量 eq \o(AQ,\s\up17(→))＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝_______________ eq \r(a2－（a·u）2) 两条平行直线之间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离． [例1] 已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 由题意可知，BA，BC，BB1两两垂直，故以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直线A1C1的方向向量 eq \o(A1C1,\s\up17(→))＝(－4，3，0)， eq \o(BC1,\s\up17(→))＝(0，3，1)， 所以点B到直线A1C1的距离 d＝ \o(BC1,\s\up17(→)) eq \r(||2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f( eq \o(BC1,\s\up17(→))· eq \o(A1C1,\s\up17(→)),| eq \o(A1C1,\s\up17(→))|)))\s\up12(2)) ＝ eq \r(10－（\f(9,5)）2)＝ eq \f(13,5). 用向量法求点到直线的距离时的注意点 (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，需计算正确． [练1] (2025·太原期末)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E是CC1的中点，则点A到直线D1E的距离为(　　) A． eq \f(\r(2),2) B． eq \f(\r(30),2) C． eq \f(2\r(5),5) D． eq \f(6\r(5),5) 建立如图所示空间直角坐标系，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0)， eq \o(D1E,\s\up17(→))＝(0，2，－1)， eq \o(D1A,\s\up17(→))＝(2，0，－2)，所以点A到直线D1E的距离为 \o(D1A,\s\up17(→)) eq \r(||2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f( eq \o(D1E,\s\up17(→))· eq \o(D1A,\s\up17(→)),| eq \o(D1E,\s\up17(→))|)))2) ＝ eq \r(8－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(5))))2)＝ eq \f(6\r(5),5).故选D． 知识点二　点到平面的距离 点到平面的距离 条件 如图，平面α的法向量为n，A是平面α 内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q 结论 n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离为PQ＝ __________＝_____________＝__________ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up17(→))·\f(n,|n|))) | eq \f(\o(AP,\s\up17(→))·n,|n|)| eq \f(|\o(AP,\s\up17(→))·n|,|n|) (1)已知n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是 eq \o(AP,\s\up17(→))在直线l上的投影向量 eq \o(QP,\s\up17(→))的长度. (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． [例2] 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点． (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1， eq \f(1,2)，0)，F( eq \f(1,2)，1，0)，则 eq \o(DP,\s\up17(→))＝(0，0，1)， eq \o(PE,\s\up17(→))＝(1， eq \f(1,2)，－1)， eq \o(PF,\s\up17(→))＝( eq \f(1,2)，1，－1). 设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则n· eq \o(PE,\s\up17(→))＝0，n· eq \o(PF,\s\up17(→))＝0， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)y－z＝0，,\f(1,2)x＋y－z＝0，))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(z＝\f(3,2)y，,x＝y，)) 令y＝2，则n＝(2，2，3)， 所以点D到平面PEF的距离d＝ eq \f(|\o(DP,\s\up17(→))·n|,|n|)＝ eq \f(3,\r(17))＝ eq \f(3\r(17),17). (2)由于E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC， 所以AC∥平面PEF，所以A点到平面PEF的距离即为直线AC到平面PEF的距离． 由于 eq \o(AE,\s\up17(→))＝(0， eq \f(1,2)，0)，又由(1)知平面PEF的法向量为n＝(2，2，3)， 所以点A到平面PEF的距离为 eq \f(|\o(AE,\s\up17(→))·n|,|n|)＝ eq \f(1,\r(17))＝ eq \f(\r(17),17). 又AC∥平面PEF， 即直线AC到平面PEF的距离为 eq \f(\r(17),17). 用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标( eq \o(AP,\s\up17(→))，平面α内两不共线向量，平面α的法向量为n). (4)求距离d＝ eq \f(|\o(AP,\s\up17(→))·n|,|n|). [练2] 正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，求平面AB1D1到平面BDC1的距离． 建立空间直角坐标系如图．则A(a，0，0)，B(a，a，0)，D(0，0，0)， C1(0，a，a)，D1(0，0，a)，B1(a，a，a)， ∴ eq \o(AB1,\s\up17(→))＝(0，a，a)， eq \o(AD1,\s\up17(→))＝(－a，0，a)， eq \o(BC1,\s\up17(→))＝(－a，0，a)， eq \o(DC1,\s\up17(→))＝(0，a，a). eq \o(AB1,\s\up17(→))＝ eq \o(DC1,\s\up17(→))， eq \o(AD1,\s\up17(→))＝ eq \o(BC1,\s\up17(→))， ∴AB1∥DC1，AD1∥BC1，又AD1∩AB1＝A， DC1∩BC1＝C1，AD1，AB1⊂平面AB1D1，DC1，BC1⊂平面BDC1， ∴平面AB1D1∥平面BDC1． ∴平面AB1D1与平面BDC1的距离可转化为点C1到平面AB1D1的距离d. 设n＝(x，y，z)为平面AB1D1的法向量， 则eq \o(AB1,\s\up17(→)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·＝a（y＋z）＝0，,n· eq \o(AD1,\s\up17(→))＝a（－x＋z）＝0，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－z，,x＝z.))取z＝1，则n＝(1，－1，1). ∵ eq \o(C1B1,\s\up17(→))＝(a，0，0)，∴d＝eq \o(C1B1,\s\up17(→)) eq \f(|·n|,|n|) ＝ eq \f(|a|,\r(3))＝ eq \f(\r(3),3)a. 1．知识清单 2．方法归纳：数形结合、转化法． 3．常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用公式，对公式推导过程的理解是应用的基础． ◎随堂演练 1．(2025·绍兴高二期中)已知平面α的一个法向量n＝(1，－1，2)，A(0，1，2)是平面α内一点，P(4，1，3)是平面α外一点，则点P到平面α的距离是(　　) A． eq \r(6) B． 2 eq \r(2) C．3 D．2 eq \r(3) 由题意， eq \o(AP,\s\up17(→))＝(4，0，1)，点P到平面α的距离是d＝ eq \f(|\o(AP,\s\up17(→))·n|,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(n)))＝ eq \f(|4＋2|,\r(6))＝ eq \r(6). 2．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2，0)，B(0，1，2)，C(1，0，2)，则点O到平面ABC的距离是(　　) A． eq \r(2) B． eq \r(3) C． eq \r(5) D．2 eq \r(2) 依题意可得 eq \o(AB,\s\up17(→))＝(－1，－1，2)， eq \o(BC,\s\up17(→))＝(1，－1，0)， eq \o(OA,\s\up17(→))＝(1，2，0)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up17(→))＝－x－y＋2z＝0，,n·\o(BC,\s\up17(→))＝x－y＝0，))令x＝1，则可得y＝1，z＝1，即n＝(1，1，1)，所以点O到平面ABC的距离是d＝ eq \f(|\o(OA,\s\up17(→))·n|,|n|)＝ eq \f(1＋2,\r(3))＝ eq \r(3).故选B． 3．已知空间中三点A(－1，0，0)，B(0，1，－1)，C(－1，－1，2)，则点C到直线AB的距离为(　　) A． eq \f(\r(6),3) B． eq \f(\r(3),2) C． eq \r(2) D． eq \r(3) 因为A(－1，0，0)，B(0，1，－1)，C(－1，－1，2)，所以 eq \o(AC,\s\up17(→))＝(0，－1，2)， eq \o(AB,\s\up17(→))＝(1，1，－1)，则点C到直线AB的距离为 eq \r(|\o(AC,\s\up17(→))|2－（\f(|\o(AC,\s\up17(→))·\o(AB,\s\up17(→))|,|\o(AB,\s\up17(→))|)）2)＝ eq \r(5－（\f(3,\r(3))）2)＝ eq \r(2).故选C． 4．若两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　) A． eq \r(2) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \r(3) D．3 eq \r(2) ∵ eq \o(OA,\s\up17(→))＝(1，2，3)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)， ∴两平面间的距离d＝ eq \f(|n·\o(OA,\s\up17(→))|,|n|)＝ eq \f(2,\r(2))＝ eq \r(2). $$