课时梯级训练(2) 空间向量的数量积运算(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(2)　空间向量的数量积运算 1．给出下列命题，其中正确的是(　　) A．若a·b<0，则〈a，b〉是钝角 B．对空间任意两个非零向量，－a，b＝π－a，b C．若＝，则AB与CD为同一线段 D．非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面 B　解析：当〈a，b〉＝π时，满足a·b<0，但〈a，b〉不是钝角，故A错误； 如图1所示，－a，b与a，b互补．故B正确； 当＝时，则与共线，但线段AB与CD可能只是平行关系，故C错误； 如图2所示，设＝a，＝b，＝c，显然满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，但a，b，c不共面，故D错误．故选B． 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，向量与向量的夹角是(　　) A．150° B．135° C．45° D．30° B　解析：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中， ∵AB∥A1B1，AC∥A1C1， ∴∠C1A1B1的补角即为向量与向量的夹角． ∵△C1A1B1为等腰直角三角形， ∴∠C1A1B1＝45°，∴向量与向量的夹角为180°－45°＝135°，故选B． 3．已知空间向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　) A．12 B．8＋ C．4 D．13 D　解析：(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos 120°＝2×4－2×5×(－)＝13. 4．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 A　解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，·＝0，排除D．又AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0，排除B，C，故选A． 5．已知向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直．若m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，则m·n的值为________． 答案：28　解析：因为向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直，所以|i|＝|j|＝|k|＝1且i·j＝j·k＝i·k＝0.因为m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，所以m·n＝(8j＋3k)·(－i＋5j－4k)＝40|j|2－12|k|2＝40－12＝28. 6．已知|a|＝4，向量e为单位向量，〈a，e〉＝，则向量a在向量e上的投影向量是________． 答案：－2e　解析：由题意|a|＝4，|e|＝1，〈a，e〉＝，则向量a在向量e方向上的投影向量为|a|cos 〈a，e〉e＝4×(－)e＝－2e. 7．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱的长度都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是________. 答案：　解析：由于＝＋＋，所以||＝＝＝， 即EF的长是. 8．已知四面体OABC的所有棱长均为1.求： (1)〈，〉； (2)|＋＋|. 解：(1)∵·＝·(＋)＝·＋·＝0，∴〈，〉＝90°. (2)|＋＋|＝＝＝. 9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1. (1)求〈，〉的余弦值； (2)求证：⊥. (1)解：＝＋＝＋， ＝＋＝＋＝－. 因为·＝0，·＝0，·＝0， 所以·＝(－)·(＋)＝. 又||＝||＝，所以cos 〈，〉＝. (2)证明：＝＋＝－＋， ＝＋＝－(＋)， 所以·＝0，所以⊥. 10．(多选)如图，在平行六面体AC1中，∠A1AD＝∠A1AB＝45°，AD＝AB，AC与BD交于点O，则(　　) A．平面ACC1A1⊥平面BDD1B1 B．＝＋＋ C．若∠BAD＝60°，则cos ∠A1AC＝ D．若|A1O|＝|AO|，则平行六面体的体积V＝·|A1C|S四边形B1BDD1 ACD　解析：如图，对于A，因为在平行四边形ABCD中，AD＝AB，所以四边形ABCD为菱形， 所以BD⊥AC，因为∠A1AD＝∠A1AB＝45°，AD＝AB， 所以·＝||||cos 45°，·＝||||cos 45°，所以·＝·． 因为＝－，所以·＝(－)·＝·－·＝0， 所以⊥，所以BD⊥AA1. 因为AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1， 因为BD⊂平面BDD1B1，所以平面ACC1A1⊥平面BDD1B1，所以A正确； 对于B，因为四边形ABCD为平行四边形，所以O为BD的中点， 所以＝＋，所以＝＋＝＋＋，所以B错误； 对于C，设AB＝a，AA1＝b，因为在菱形ABCD中，∠BAD＝60°， 所以AC＝2AO＝2AB cos 30°＝a， 所以cos ∠A1AC＝＝＝＝，所以C正确； 对于D，连接A1C，因为|A1O|＝|AO|，|AO|＝|CO|，所以|AO|＝|CO|＝|A1O|， 所以△AA1C为直角三角形，即A1C⊥AA1，因为AA1∥BB1，所以A1C⊥BB1. 因为由选项A知BD⊥平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，所以BD⊥A1C， 因为BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BDD1B1，所以A1C⊥平面BDD1B1， 所以D正确．故选ACD． 11．(2025·合肥高二检测)在三棱锥M­ABC中，MA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，点F满足＝，则·＝________． 答案：　解析：因为MA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，所以MA⊥AB，MA⊥AC，所以·＝0，·＝0， 因为△ABC为正三角形，所以∠BAC＝60°，因为＝，所以＝(－). ＝＋＝＋， ·＝(－)·(＋)＝2＋·－·－·＝ ×22＋×0－×2×2×cos 60°－×0＝－＝. 12．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，·＝________． 答案：60°　1　解析：方法一　连接A1D(图略)，则∠PA1D就是与的夹角，连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°，因此·＝××cos 60°＝1. 方法二　根据向量的线性运算可得·＝(＋)·(＋)＝||2＝1.由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos 〈，〉＝1，即cos 〈，〉＝，从而〈，〉＝60°. 13．如图，正四面体(四个面都是正三角形)OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足＝2，点P满足＝. (1)用向量，，表示； (2)求||. 解：(1)因为M是棱BC的中点，点N满足＝2，点P满足＝. 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋×＝＋×(＋)＝＋＋. (2)因为四面体OABC是正四面体，则||＝||＝||＝1， ·＝·＝·＝1×1×＝， 2＝2＝ ||2＋||2＋||2＋2××·＋2××·＋2××·＝ ＋＋＋＋＋＝， 所以||＝. 14．在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，EF是正方体ABCD­A1B1C1D1外接球的直径，点P是正方体ABCD­A1B1C1D1表面上的一点，则·的取值范围是(　　) A．[－，0] B．[－，0] C．[0，] D．[0，] A　解析：设正方体ABCD­A1B1C1D1的外接球的球心为O，球O的半径为R， 则2R＝3，可得R＝，所以OE＝OF＝， 又·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝PO2－， 当P为正方体某个面的中心时，PO取最小值； 当P与正方体的顶点重合时，PO取最大值. 则≤PO≤，所以·＝PO2－∈[－，0]. 学科网（北京）股份有限公司 $$