1.2 第1课时 空间向量基本定理(课件PPT)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量与立体几何 1．2　空间向量基本定理 第一章 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 p＝xa＋yb＋zc 基底 基向量 任意 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 两两垂直 1 单位正交基底 {i，j，k} 正交 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 C 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 C 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 B 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 C 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 课时梯级训练(3) 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 学习目标 1．掌握空间向量基本定理． 2．会用空间向量基本定理对向量进行分解． 3．会用基底法表示空间向量． 4．初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想． 第1课时　空间向量基本定理 知识点　空间向量基本定理 我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示(平面向量基本定理).对于任意一个空间向量，有没有类似的结论呢？ 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得_____________________． 2．基底 把{a，b，c}叫做空间的一个____，a，b，c都叫做______，空间____三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 3．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量________，且长度都为__，那么这个基底叫做____________，常用___________表示． (2)向量的正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行____分解． [例1] 若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底． 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面． ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝μ，,1＝λ，,0＝λ＋μ，))此方程组无解． 即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)， ∴a＋b，b＋c，c＋a不共面． 故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底． 基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． [练1] (2025·西安高二联考)已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和a，b＋c构成空间中一个基底的向量为(　　) A．a＋b＋c B． a－b－c C．a＋2b＋c D．2a＋b＋c 易知：a＋b＋c＝a＋(b＋c)，则a＋b＋c与a，b＋c共面，同理a－b－c＝a－(b＋c)，2a＋b＋c＝2a＋(b＋c)，即a－b－c，2a＋b＋c均与a，b＋c共面，所以A，B，D三项均不能和a，b＋c构成空间中的另一个基底，故A，B，D错误；设a＋2b＋c＝xa＋y(b＋c)⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，,y＝1，))显然无法成立，即a＋2b＋c与a，b＋c不共面，故C正确．故选C． [例2] 如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知 eq \o(AA′,\s\up17(→))＝a， eq \o(AB,\s\up17(→))＝b， eq \o(AC,\s\up17(→))＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量 eq \o(AM,\s\up17(→))， eq \o(AN,\s\up17(→)). 连接A′N(图略). eq \o(AM,\s\up17(→))＝ eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(BC′,\s\up17(→))＝ eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2)( eq \o(BC,\s\up17(→))＋ eq \o(CC′,\s\up17(→)))＝ eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(CC′,\s\up17(→))＝ eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2)( eq \o(AC,\s\up17(→))－ eq \o(AB,\s\up17(→)))＋ eq \f(1,2)AA′＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AA′,\s\up17(→))＝ eq \f(1,2)(a＋b＋c). eq \o(AN,\s\up17(→))＝ eq \o(AA′,\s\up17(→))＋ eq \o(A′N,\s\up17(→))＝ eq \o(AA′,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2)( eq \o(A′B′,\s\up17(→))＋ eq \o(A′C′,\s\up17(→)))＝ eq \o(AA′,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(AC,\s\up17(→)))＝a＋ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c. 用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简． [练2] 如图，四棱锥P­OABC的底面为平行四边形，设 eq \o(OA,\s\up17(→))＝a， eq \o(OC,\s\up17(→))＝b， eq \o(OP,\s\up17(→))＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用基底{a，b，c}表示 eq \o(BF,\s\up17(→))， eq \o(BE,\s\up17(→))， eq \o(AE,\s\up17(→))， eq \o(EF,\s\up17(→)). 连接BO， 则 eq \o(BF,\s\up17(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(BP,\s\up17(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(BO,\s\up17(→))＋ eq \o(OP,\s\up17(→)))＝ eq \f(1,2)( eq \o(BA,\s\up17(→))＋ eq \o(AO,\s\up17(→))＋ eq \o(OP,\s\up17(→)))＝ eq \f(1,2)(c－b－a)＝－ eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c； eq \o(BE,\s\up17(→))＝ eq \o(BC,\s\up17(→))＋ eq \o(CE,\s\up17(→))＝ eq \o(BC,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(CP,\s\up17(→))＝ eq \o(BC,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2)( eq \o(CO,\s\up17(→))＋ eq \o(OP,\s\up17(→)))＝－a－ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c； eq \o(AE,\s\up17(→))＝ eq \o(AP,\s\up17(→))＋ eq \o(PE,\s\up17(→))＝ eq \o(AO,\s\up17(→))＋ eq \o(OP,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2)( eq \o(PO,\s\up17(→))＋ eq \o(OC,\s\up17(→)))＝ eq \o(AO,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(OC,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(OP,\s\up17(→))＝－a＋ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c； eq \o(EF,\s\up17(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(CB,\s\up17(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up17(→))＝ eq \f(1,2)a. 1．知识清单 (1)空间向量基本定理． (2)基底、基向量． (3)单位正交基底、正交分解． 2．方法归纳：数形结合、化归转化． 3．常见误区：转化目标不清，表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义． ◎随堂演练 1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一个基底的是(　　) A．{ eq \o(AB,\s\up17(→))， eq \o(AC,\s\up17(→))， eq \o(AD,\s\up17(→))} B．{ eq \o(AB,\s\up17(→))， eq \o(AA1,\s\up17(→))， eq \o(AB1,\s\up17(→)) } C．{ eq \o(D1A1,\s\up17(→))， eq \o(D1C1,\s\up17(→))， eq \o(D1D,\s\up17(→)) } D．{ eq \o(AC1,\s\up17(→))， eq \o(A1C,\s\up17(→))， eq \o(CC1,\s\up17(→)) } 只有选项C中的三个向量是不共面的，可以作为一个基底． 2.(2025·房山区高二期中)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E为CC1中点．设 eq \o(AB,\s\up17(→))＝a， eq \o(AD,\s\up17(→))＝b， eq \o(AA1,\s\up17(→))＝c，用基底 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b，c))表示向量 eq \o(AE,\s\up17(→))，则 eq \o(AE,\s\up17(→))＝(　　) A．a＋b＋c B． a＋b＋ eq \f(1,2)c C．a＋ eq \f(1,2)b＋c D． eq \f(1,2)a＋b＋c eq \o(AE,\s\up17(→))＝ eq \o(AC,\s\up17(→))＋ eq \o(CE,\s\up17(→))＝ eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(AD,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up17(→))＝a＋b＋ eq \f(1,2)c.故选B． 3．已知{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间另一个基底的是(　　) A．a B． b C．c D． eq \f(1,3)p－2q 因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面．若存在x，y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，则a，b，c共面，这与已知{a，b，c}是空间的一个基底矛盾，故p，q，c不共面． 4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，下列关于 eq \o(AC1,\s\up17(→))的表达式中： ① eq \o(AA1,\s\up17(→))＋ eq \o(A1B1,\s\up17(→))＋ eq \o(A1D1,\s\up17(→))； ② eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(DD1,\s\up17(→))＋ eq \o(D1C1,\s\up17(→))； ③ eq \o(AD,\s\up17(→))＋ eq \o(DD1,\s\up17(→))＋ eq \o(D1C1,\s\up17(→))； ④ eq \f(1,2)( eq \o(AB1,\s\up17(→))＋ eq \o(CD1,\s\up17(→)))＋ eq \o(A1C1,\s\up17(→))． 正确的个数是________________． 答案：3　 eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(DD1,\s\up17(→))＋ eq \o(D1C1,\s\up17(→))＝ eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(DC1,\s\up17(→))＝ eq \o(AB,\s\up17(→))＋AB1≠ eq \o(AC1,\s\up17(→))，②不正确； eq \f(1,2)( eq \o(AB1,\s\up17(→))＋ eq \o(CD1,\s\up17(→)))＋A1C1＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB1,\s\up17(→))＋ eq \o(BA1,\s\up17(→)))＋ eq \o(A1C1,\s\up17(→))＝ eq \o(AA1,\s\up17(→))＋ eq \o(A1C1,\s\up17(→))＝ eq \o(AC1,\s\up17(→))，④正确；①③正确． $$