1.1.2 空间向量的数量积运算(课件PPT)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量与立体几何 1．1　空间向量及其运算 1．1．2　空间向量的数量积运算 第一章 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 〈a，b〉 0 π 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 |a||b|cos 〈a，b〉 |a||b|cos 〈a，b〉 0 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 D 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 a·b＝0 |a|2 λ(a·b) b·a a·c＋b·c 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 AC 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 C 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 D 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 课时梯级训练(2) 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 学习目标 1．掌握空间向量的数量积的概念，理解空间向量投影的概念及投影向量的意义． 2．理解空间向量的数量积的交换律和分配律，并可以与数的乘法相联系． 3．可以结合实际问题，灵活运用相关知识解决问题． 知识点一　空间向量的夹角及数量积概念 我们知道，对于平面向量a，b，它们的数量积a·b＝|a||b|cos θ，其中θ为a，b的夹角．你能类比平面向量的数量积运算，把它推广到空间向量吗？ 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 eq \o(OA,\s\up17(→))＝a， eq \o(OB,\s\up17(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作____________ 图示 范围 规定：__≤〈a，b〉≤__； 当〈a，b〉＝__时，a⊥b eq \f(π,2) 2．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则_____________________叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝_____________________． (2)特别提醒：①a·b中的“·”不能省略；②零向量与任意向量的数量积为__． [例1] 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1) eq \o(EF,\s\up17(→))· eq \o(BA,\s\up17(→))；(2) eq \o(EF,\s\up17(→))· eq \o(BD,\s\up17(→))； (3) eq \o(EF,\s\up17(→))· eq \o(DC,\s\up17(→))；(4) eq \o(AB,\s\up17(→))· eq \o(CD,\s\up17(→)). (1) eq \o(EF,\s\up17(→))· eq \o(BA,\s\up17(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up17(→))· eq \o(BA,\s\up17(→))＝ eq \f(1,2)| eq \o(BD,\s\up17(→))|| eq \o(BA,\s\up17(→))|·cos 〈 eq \o(BD,\s\up17(→))， eq \o(BA,\s\up17(→))〉＝ eq \f(1,2)cos 60°＝ eq \f(1,4). (2) eq \o(EF,\s\up17(→))· eq \o(BD,\s\up17(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up17(→))· eq \o(BD,\s\up17(→))＝ eq \f(1,2)| eq \o(BD,\s\up17(→))|2＝ eq \f(1,2). (3) eq \o(EF,\s\up17(→))· eq \o(DC,\s\up17(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up17(→))· eq \o(DC,\s\up17(→))＝ eq \f(1,2)| eq \o(BD,\s\up17(→))|| eq \o(DC,\s\up17(→))|·cos 〈 eq \o(BD,\s\up17(→))， eq \o(DC,\s\up17(→))〉＝ eq \f(1,2)cos 120°＝－ eq \f(1,4). (4) eq \o(AB,\s\up17(→))· eq \o(CD,\s\up17(→))＝ eq \o(AB,\s\up17(→))·( eq \o(AD,\s\up17(→))－ eq \o(AC,\s\up17(→)))＝ eq \o(AB,\s\up17(→))· eq \o(AD,\s\up17(→))－ eq \o(AB,\s\up17(→))· eq \o(AC,\s\up17(→))＝| eq \o(AB,\s\up17(→))|·| eq \o(AD,\s\up17(→))|cos 〈 eq \o(AB,\s\up17(→))， eq \o(AD,\s\up17(→))〉－| eq \o(AB,\s\up17(→))|| eq \o(AC,\s\up17(→))|·cos 〈 eq \o(AB,\s\up17(→))， eq \o(AC,\s\up17(→))〉＝cos 60°－cos 60°＝0. 空间向量数量积的求法 (1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算． (2)如果求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算． [练1] (2025·房山区高二期中)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中， eq \o(AA1,\s\up17(→))· eq \o(BC1,\s\up17(→))＝(　　) A．2 eq \r(2) B．4 eq \r(2) C．2 D．4 如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接BC1， 易知| eq \o(AA1,\s\up17(→))|＝2，| eq \o(BC1,\s\up17(→))|＝2 eq \r(2). 因为 eq \o(AA1,\s\up17(→))＝ eq \o(BB1,\s\up17(→))， eq \o(BB1,\s\up17(→))与 eq \o(BC1,\s\up17(→))的夹角为 eq \f(π,4)， 所以AA1与BC1的夹角为 eq \f(π,4)，所以 eq \o(AA1,\s\up17(→))· eq \o(BC1,\s\up17(→))＝| eq \o(AA1,\s\up17(→))|| eq \o(BC1,\s\up17(→))|cos eq \f(π,4)＝2×2 eq \r(2)× eq \f(\r(2),2)＝4. 知识点二　空间向量数量积的运算性质及运算律 “若a·b＝a·c ，则b＝c”，你认为这种说法正确吗？ 当非零向量垂直时，即a·b＝0，有人说“a＝ eq \f(0,b)显然是没有意义的”，你怎么看？ 性质 当a≠0，b≠0时，可以得到：a⊥b⇔_____________； a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝________ 运算律 (λa)·b＝_______________，λ∈R； a·b＝_______ (交换律)； (a＋b)·c＝_______________(分配律) 1．a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c. 2．一般情况下(a·b)c≠a(b·c). [例2] 如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°. (1)求| eq \o(AC1,\s\up17(→))|； (2)求 eq \o(BD1,\s\up17(→))与 eq \o(AC,\s\up17(→))夹角的余弦值． (1)记 eq \o(AB,\s\up17(→))＝a， eq \o(AD,\s\up17(→))＝b， eq \o(AA1,\s\up17(→))＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝ eq \f(1,2). | eq \o(AC1,\s\up17(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×( eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2))＝6， ∴| eq \o(AC1,\s\up17(→))|＝ eq \r(6)，即AC1的长为 eq \r(6). (2) eq \o(BD1,\s\up17(→))＝b＋c－a， eq \o(AC,\s\up17(→))＝a＋b，∴| eq \o(BD1,\s\up17(→))|＝ eq \r(2)，| eq \o(AC,\s\up17(→))|＝ eq \r(3)， eq \o(BD1,\s\up17(→))· eq \o(AC,\s\up17(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， ∴cos 〈 eq \o(BD1,\s\up17(→))， eq \o(AC,\s\up17(→))〉＝eq \o(BD1,\s\up17(→)) eq \f(·\o(AC,\s\up17(→)),| eq \o(BD1,\s\up17(→))||\o(AC,\s\up17(→))|) ＝ eq \f(\r(6),6)， 即 eq \o(BD1,\s\up17(→))与 eq \o(AC,\s\up17(→))夹角的余弦值为 eq \f(\r(6),6). 1．求两个向量的夹角的两种方法 (1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围； (2)先求a·b，再利用公式cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)求cos 〈a，b〉，最后确定〈a，b〉． 2．求两点间的距离或线段长度的方法 [练2] 如图，已知平面α与平面β的夹角为60°，在平面α与平面β的交线m上有两点A，B，线段AC，BD分别在平面α与平面β内，且都垂直于直线m.若AC＝3，BD＝4，CD＝ eq \r(73)，则线段AB的长度为________________． 答案：6　 eq \o(CD,\s\up17(→))＝ eq \o(CA,\s\up17(→))＋ eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(BD,\s\up17(→))，两边平方得， eq \o(CD,\s\up17(→))2＝( eq \o(CA,\s\up17(→))＋ eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(BD,\s\up17(→)))2＝| eq \o(CA,\s\up17(→))|2＋| eq \o(AB,\s\up17(→))|2＋| eq \o(BD,\s\up17(→))|2＋2 eq \o(CA,\s\up17(→))· eq \o(AB,\s\up17(→))＋2 eq \o(CA,\s\up17(→))· eq \o(BD,\s\up17(→))＋2 eq \o(AB,\s\up17(→))· eq \o(BD,\s\up17(→)). 因为AC＝3，BD＝4，CD＝ eq \r(73)，线段AC，BD都垂直于直线m，平面α与平面β的夹角为60°， 所以73＝32＋| eq \o(AB,\s\up17(→))|2＋42＋2×3×4cos 60°，即| eq \o(AB,\s\up17(→))|＝6. 知识点三　投影向量 在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影，类似地，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？ 投影向量 向量a向直线l投影 向量a向向量b投影 先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos 〈a，b〉 eq \f(b,|b|)＝______，向量c称为向量a在向量b上的投影向量 eq \f(a·b,|b|)· eq \f(b,|b|) 向量a向平面β投影 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量 eq \o(A′B′,\s\up17(→))，向量 eq \o(A′B′,\s\up17(→))称为向量a在平面β上的投影向量 [例3] 如图，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，AD＝2，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，点E为棱C1D1的中点，则| eq \o(AE,\s\up17(→))|＝________________； eq \o(AE,\s\up17(→))在 eq \o(AB,\s\up17(→))上的投影向量是________________． 答案： eq \r(29)　 eq \f(7,8) eq \o(AB,\s\up17(→))　 由题图可知 eq \o(AE,\s\up17(→))＝AA1＋ eq \o(AD,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up17(→))， 所以| eq \o(AE,\s\up17(→))|＝|AA1＋ eq \o(AD,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up17(→))|＝ ＝ eq \r(29)， eq \o(AB,\s\up17(→))· eq \o(AE,\s\up17(→))＝ eq \o(AB,\s\up17(→))· eq \o(AA1,\s\up17(→))＋ eq \o(AB,\s\up17(→))· eq \o(AD,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up17(→))2＝4×3×cos 60°＋0＋ eq \f(1,2)×42＝14. 故 eq \o(AE,\s\up17(→))在 eq \o(AB,\s\up17(→))上的投影向量的模长是 eq \f(\o(AB,\s\up17(→))·\o(AE,\s\up17(→)),|\o(AB,\s\up17(→))|)＝ eq \f(14,4)＝ eq \f(7,2)， eq \o(AE,\s\up17(→))在 eq \o(AB,\s\up17(→))上的投影向量是 eq \f(\o(AB,\s\up17(→))·\o(AE,\s\up17(→)),|\o(AB,\s\up17(→))|)· eq \f(\o(AB,\s\up17(→)),|\o(AB,\s\up17(→))|)＝ eq \f(7,8) eq \o(AB,\s\up17(→)). 投影向量的求法 (1)a在b上的投影向量：用公式|a|cos 〈a，b〉 eq \f(b,|b|)来求． (2)a在直线或平面上的投影向量转化为向量a在另一向量上的投影向量． [练3] (多选)(2025·沈阳高二期中)已知几何体ABCD­A1B1C1D1为长方体，则(　　) A． eq \o(A1C,\s\up17(→))在 eq \o(A1B,\s\up17(→))上的投影向量为 eq \o(A1B,\s\up17(→)) B． eq \o(A1B,\s\up17(→))在 eq \o(A1C,\s\up17(→))上的投影向量为 eq \o(A1C,\s\up17(→)) C． eq \o(B1D1,\s\up17(→))在 eq \o(BC,\s\up17(→))上的投影向量为 eq \o(BC,\s\up17(→)) D． eq \o(BC,\s\up17(→))在 eq \o(B1D1,\s\up17(→))上的投影向量为 eq \o(B1D1,\s\up17(→)) 如图， 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，因为BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥A1B，所以 eq \o(A1C,\s\up17(→))在 eq \o(A1B,\s\up17(→))上的投影向量为 eq \o(A1B,\s\up17(→))，即A正确； 因为在Rt△A1BC中，∠A1BC＝90°，所以BC与A1C不垂直，所以 eq \o(A1B,\s\up17(→))在 eq \o(A1C,\s\up17(→))上的投影向量不是 eq \o(A1C,\s\up17(→))，即B错误； 因为B1B⊥BC，D1C⊥BC，所以 eq \o(B1D1,\s\up17(→))在 eq \o(BC,\s\up17(→))上的投影向量为 eq \o(BC,\s\up17(→))，即C正确； 虽然B1B⊥B1D1，但CD1与B1D1不垂直，所以 eq \o(BC,\s\up17(→))在 eq \o(B1D1,\s\up17(→))上的投影向量不是 eq \o(B1D1,\s\up17(→))，即D错误．故选AC． 1．知识清单 (1)空间向量的夹角、空间向量的数量积． (2)空间向量的性质及运算律． (3)空间向量的投影向量． 2．方法归纳：化归转化． 3．常见误区 (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定． (2)空间向量数量积运算不满足结合律． (3)注意投影向量与投影的区别． ◎随堂演练 1．已知空间向量a，b，c满足|a|＝2，|b|＝3，|c|＝ eq \r(7)且a＋b＋c＝0，则a与b的夹角为(　　) A．30° B． 60° C．120° D．150° 由题设c＝－(a＋b)，因为c2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×2×3×cos 〈a，b〉＋9＝7，所以cos 〈a，b〉＝－ eq \f(1,2).又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝ eq \f(2π,3)，即〈a，b〉＝120°.故选C． 2．已知空间向量|a|＝ eq \r(13)，|b|＝5，且a与b夹角的余弦值为－ eq \f(9\r(13),65)，则a在b上的投影向量为(　　) A．－ eq \f(9\r(13),13)b B． eq \f(9\r(13),13)b C． eq \f(9,25)b D．－ eq \f(9,25)b 因为|a|＝ eq \r(13)，|b|＝5，a与b夹角的余弦值为－ eq \f(9\r(13),65)，所以a在b上的投影向量为 eq \f(a·b,|b|)· eq \f(b,|b|)＝ eq \f(\r(13)×5×（－\f(9\r(13),65)）,5)· eq \f(b,5)＝－ eq \f(9,5)· eq \f(b,5)＝－ eq \f(9,25)b. 3．在空间四边形ABCD中， eq \o(AB,\s\up17(→))· eq \o(CD,\s\up17(→))＋ eq \o(BC,\s\up17(→))· eq \o(AD,\s\up17(→))＋ eq \o(CA,\s\up17(→))· eq \o(BD,\s\up17(→))＝________． 答案：0　 原式＝ eq \o(AB,\s\up17(→))· eq \o(CD,\s\up17(→))＋ eq \o(BC,\s\up17(→))· eq \o(AD,\s\up17(→))＋ eq \o(CA,\s\up17(→))·( eq \o(AD,\s\up17(→))－ eq \o(AB,\s\up17(→)))＝ eq \o(AB,\s\up17(→))·( eq \o(CD,\s\up17(→))－ eq \o(CA,\s\up17(→)))＋ eq \o(AD,\s\up17(→))·( eq \o(BC,\s\up17(→))＋ eq \o(CA,\s\up17(→)))＝ eq \o(AB,\s\up17(→))· eq \o(AD,\s\up17(→))＋ eq \o(AD,\s\up17(→))· eq \o(BA,\s\up17(→))＝0. $$