1.1.1 空间向量及其线性运算(课件PPT)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量与立体几何 1．1　空间向量及其运算 1．1．1　空间向量及其线性运算 第一章 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 大小 方向 大小 模 有向线段 a，b，c，… |a| 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 0 1 相等 相反 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 平行 重合 平行 相同 相等 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 BC 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 A 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 b＋a (λμ)a λa＋μa λa＋λb 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 a＝λb 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 向量a平行 其上一点 方向向量 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 证 明 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 证 明 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 同一个平面 唯一 xa＋yb 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 证 明 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 C 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 A 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 BD 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 课时梯级训练(1) 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 学习目标 1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，理解空间向量的概念． 2．经历由平面向量的运算及法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算． 3．掌握共线向量定理、共面向量定理的应用． 知识点一　空间向量的有关概念 小明从学校回家，需要先从学校门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶800 m，最后乘电梯上升10 m到4楼的住处．在这个过程中，小明从学校门口回到家所发生的位移就是三个位移的合成． (1)以上三个位移是同一个平面内的向量吗？ (2)如何刻画小明同学这种位移？ 1．空间向量 (1)定义：在空间，把具有____和____的量叫做空间向量． (2)长度：空间向量的____叫做空间向量的长度或__． 2．空间向量的表示 (1)几何表示法：空间向量用________表示． (2)字母表示法：用字母___________________表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作____，其模记为_____或______． eq \o(AB,\s\up17(→)) | eq \o(AB,\s\up17(→))| 3．几类特殊向量 特殊向量 定义 零向量 长度为__的向量，记为0 单位向量 模为__的向量 相反向量 与向量a长度____而方向____的向量，记为－a 特殊向量 定义 共线向量 或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相____或____． 规定：零向量与任意向量____ 相等向量 方向____且模____的向量 [例1] (多选)下列命题中正确的是(　　) A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B．在三棱柱ABC­A′B′C′中， eq \o(AB,\s\up16(→))与 eq \o(B′A′,\s\up16(→))是相反向量 C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D．空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c A错误，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B正确， eq \o(AB,\s\up17(→))与 eq \o(B′A′,\s\up17(→))的方向相反，模相等，故 eq \o(AB,\s\up17(→))与 eq \o(B′A′,\s\up17(→))是相反向量；C正确，向量的相等满足传递性；D错误，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行． 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性． [练1] (2025·日照高二月考)下列命题中为真命题的是(　　) A．向量 eq \o(AB,\s\up17(→))与 eq \o(BA,\s\up17(→))的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 选项A，因为空间向量 eq \o(AB,\s\up17(→))与 eq \o(BA,\s\up17(→))互为相反向量，所以空间向量 eq \o(AB,\s\up17(→))与 eq \o(BA,\s\up17(→))的长度相等，所以A正确；选项B，将空间中所有的单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误；选项C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误；选项D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量 eq \o(AB,\s\up17(→))与 eq \o(BA,\s\up17(→))的模相等，所以D错误．故选A． 知识点二　空间向量的线性运算 在学习完平面向量的相关概念后，我们研究了平面向量的线性运算，你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？ 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ eq \o(OA,\s\up17(→))＋ eq \o(AB,\s\up17(→))＝__ 减法 a－b＝ eq \o(OA,\s\up17(→))－ eq \o(OC,\s\up17(→))＝__ 数乘 当λ>0时，λa＝λ eq \o(OA,\s\up17(→))＝ eq \o(PQ,\s\up17(→))； 当λ<0时，λa＝λ eq \o(OA,\s\up17(→))＝ eq \o(MN,\s\up17(→))； 当λ＝0时，λa＝0 eq \o(OB,\s\up17(→)) eq \o(CA,\s\up17(→)) 运算律 交换律：a＋b＝________； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝__________； 分配律：(λ＋μ)a＝__________，λ(a＋b)＝__________ [例2] 已知平行六面体ABCD­A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1) eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(AD,\s\up17(→))＋ eq \o(AA′,\s\up17(→))； (2) eq \o(DD′,\s\up17(→))－ eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(BC,\s\up17(→))； (3) eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(AD,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2)( eq \o(DD′,\s\up17(→))－ eq \o(BC,\s\up17(→))). (1) eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(AD,\s\up17(→))＋ eq \o(AA′,\s\up17(→))＝ eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(BC,\s\up17(→))＋ eq \o(CC′,\s\up17(→))＝ eq \o(AC′,\s\up17(→)). (2) eq \o(DD′,\s\up17(→))－ eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(BC,\s\up17(→))＝ eq \o(DD′,\s\up17(→))－( eq \o(AB,\s\up17(→))－ eq \o(AD,\s\up17(→)))＝ eq \o(DD′,\s\up17(→))－ eq \o(DB,\s\up17(→))＝ eq \o(BD′,\s\up17(→)). (3) eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(AD,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2)( eq \o(DD′,\s\up17(→))－ eq \o(BC,\s\up17(→)))＝ eq \o(AC,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2)( eq \o(CC′,\s\up17(→))＋ eq \o(CB,\s\up17(→)))＝ eq \o(AC,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(CB′,\s\up17(→)). 设点M是线段CB′的中点，则 eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(AD,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2)( eq \o(DD′,\s\up17(→))－ eq \o(BC,\s\up17(→)))＝ eq \o(AC,\s\up17(→))＋ eq \o(CM,\s\up17(→))＝ eq \o(AM,\s\up17(→))，向量 eq \o(AC′,\s\up17(→))， eq \o(BD′,\s\up17(→))， eq \o(AM,\s\up17(→))如图所示． 运用法则进行向量的线性运算的关键 (1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”； (2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”； (3)平行四边形法则：“起点重合，指向对角线终点”； (4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”． [练2] (2025·厦门高二段考)如图，已知正方体ABCD­A′B′C′ D′，E，F分别是上底面A′B′C′D′和侧面CDD′C′的中心，求下列各式中x，y的值： (1) eq \o(AC′,\s\up17(→))＝x( eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(BC,\s\up17(→))＋ eq \o(CC′,\s\up17(→)))； (2) eq \o(AE,\s\up17(→))＝ eq \o(AA′,\s\up17(→))＋x eq \o(AB,\s\up17(→))＋y eq \o(AD,\s\up17(→))； (3) eq \o(AF,\s\up17(→))＝ eq \o(AD,\s\up17(→))＋x eq \o(AB,\s\up17(→))＋y eq \o(AA′,\s\up17(→)). 如图所示，连接A′C′，C′D. (1)在正方体ABCD­A′B′C′D′中， eq \o(AC′,\s\up17(→))＝ eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(BC,\s\up17(→))＋ eq \o(CC′,\s\up17(→))，所以x＝1. (2) eq \o(AE,\s\up17(→))＝ eq \o(AA′,\s\up17(→))＋ eq \o(A′E,\s\up17(→))＝ eq \o(AA′,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(A′C′,\s\up17(→))＝ eq \o(AA′,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2)( eq \o(A′B′,\s\up17(→))＋ eq \o(A′D′,\s\up17(→)))＝ eq \o(AA′,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up17(→))， 所以x＝ eq \f(1,2)，y＝ eq \f(1,2). (3) eq \o(AF,\s\up17(→))＝ eq \o(AD,\s\up17(→))＋ eq \o(DF,\s\up17(→))＝ eq \o(AD,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(DC′,\s\up17(→))＝ eq \o(AD,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2)( eq \o(DC,\s\up17(→))＋ eq \o(DD′,\s\up17(→)))＝ eq \o(AD,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AA′,\s\up17(→))， 所以x＝ eq \f(1,2)，y＝ eq \f(1,2). 知识点三　共线向量 平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 1．空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使___________． 2．直线的方向向量 (1)如图，点O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，存在实数λ，使得 eq \o(OP,\s\up17(→))＝λa，把与__________的非零向量称为直线l的方向向量． (2)直线可以由________和它的________确定． 向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上． [例3] 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且 eq \o(A1E,\s\up17(→))＝2 eq \o(ED1,\s\up17(→))，F在对角线A1C上，且 eq \o(A1F,\s\up17(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(FC,\s\up17(→))，求证：E，F，B三点共线． 设 eq \o(AB,\s\up17(→))＝a， eq \o(AD,\s\up17(→))＝b， eq \o(AA1,\s\up17(→))＝c. ∵ eq \o(A1E,\s\up17(→))＝2ED1， eq \o(A1F,\s\up17(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(FC,\s\up17(→))， ∴A1E＝ eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up17(→))＝ eq \f(2,3)b，A1F＝ eq \f(2,5)( eq \o(AC,\s\up17(→))－ eq \o(AA1,\s\up17(→)))＝ eq \f(2,5)( eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(AD,\s\up17(→))－ eq \o(AA1,\s\up17(→)))＝ eq \f(2,5)a＋ eq \f(2,5)b－ eq \f(2,5)c. ∴ eq \o(EF,\s\up17(→))＝ eq \o(A1F,\s\up17(→))－ eq \o(A1E,\s\up17(→))＝ eq \f(2,5)a－ eq \f(4,15)b－ eq \f(2,5)c＝ eq \f(2,5)(a－ eq \f(2,3)b－c). 又 eq \o(EB,\s\up17(→))＝ eq \o(EA1,\s\up17(→))＋ eq \o(A1A,\s\up17(→))＋ eq \o(AB,\s\up17(→))＝－ eq \f(2,3)b－c＋a＝a－ eq \f(2,3)b－c， ∴ eq \o(EF,\s\up17(→))＝ eq \f(2,5) eq \o(EB,\s\up17(→))，且有公共点E，∴E，F，B三点共线． 1．判定向量a，b共线的两种方法 (1)定义法，即证明a，b所在直线平行或重合． (2)利用“a＝λb⇒a∥b”判定． 2．证明A，B，C三点共线的方法 只需证明存在实数λ(或μ)，使 eq \o(AB,\s\up17(→))＝λ eq \o(BC,\s\up17(→))(或 eq \o(AB,\s\up17(→))＝μ eq \o(AC,\s\up17(→)))即可，也可用“对空间任意一点O，有 eq \o(OB,\s\up17(→))＝t eq \o(OA,\s\up17(→))＋(1－t) eq \o(OC,\s\up17(→))，t∈R”来证明． [练3] 如图所示，已知四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断 eq \o(CE,\s\up17(→))与 eq \o(MN,\s\up17(→))是否共线． 因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以 eq \o(MN,\s\up17(→))＝ eq \o(MA,\s\up17(→))＋ eq \o(AF,\s\up17(→))＋ eq \o(FN,\s\up17(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up17(→))＋ eq \o(AF,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(FB,\s\up17(→)). 又 eq \o(MN,\s\up17(→))＝ eq \o(MC,\s\up17(→))＋ eq \o(CE,\s\up17(→))＋ eq \o(EB,\s\up17(→))＋ eq \o(BN,\s\up17(→))＝－ eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up17(→))＋ eq \o(CE,\s\up17(→))－ eq \o(AF,\s\up17(→))－ eq \f(1,2) eq \o(FB,\s\up17(→))， 以上两式相加，得 eq \o(CE,\s\up17(→))＝2 eq \o(MN,\s\up17(→))，所以 eq \o(CE,\s\up17(→))∥ eq \o(MN,\s\up17(→))，即 eq \o(CE,\s\up17(→))与 eq \o(MN,\s\up17(→))共线． 知识点四　共面向量 空间任意两个向量是共面向量，空间任意三个向量是否共面？ 空间向量共面的充要条件 (1)平行于__________的向量，叫做共面向量． (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在____的有序实数对(x，y)，使p＝__________． [例4] 如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面． 设 eq \o(AA1,\s\up17(→))＝a， eq \o(AB,\s\up17(→))＝b， eq \o(AD,\s\up17(→))＝c，则 eq \o(A1B,\s\up17(→))＝b－a. ∵M为线段DD1的中点，∴ eq \o(A1M,\s\up17(→))＝c－ eq \f(1,2)a. ∵AN∶NC＝2∶1，∴ eq \o(AN,\s\up17(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up17(→))＝ eq \f(2,3)(b＋c)， ∴ eq \o(A1N,\s\up17(→))＝ eq \o(AN,\s\up17(→))－ eq \o(AA1,\s\up17(→))＝ eq \f(2,3)(b＋c)－a＝ eq \f(2,3)(b－a)＋ eq \f(2,3)(c－ eq \f(1,2)a)＝ eq \f(2,3) eq \o(A1B,\s\up17(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(A1M,\s\up17(→))， ∴ eq \o(A1N,\s\up17(→))， eq \o(A1B,\s\up17(→))， eq \o(A1M,\s\up17(→))为共面向量． ∵三向量有相同的起点A1，∴A1，B，N，M四点共面． 证明空间三个向量或四点共面的方法 (1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面． (2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有 eq \o(OP,\s\up17(→))＝x eq \o(OA,\s\up17(→))＋y eq \o(OB,\s\up17(→))＋z eq \o(OC,\s\up17(→))，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面． [练4] 已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点．若 eq \o(OP,\s\up17(→))＝ eq \f(1,3)( eq \o(OA,\s\up17(→))＋ eq \o(OB,\s\up17(→))＋ eq \o(OC,\s\up17(→)))，试判断向量 eq \o(PA,\s\up17(→))， eq \o(PB,\s\up17(→))， eq \o(PC,\s\up17(→))是否共面，并判断点P是否在平面ABC内． 向量 eq \o(PA,\s\up17(→))， eq \o(PB,\s\up17(→))， eq \o(PC,\s\up17(→))共面且点P在平面ABC内．理由如下： 因为 eq \o(OA,\s\up17(→))＋ eq \o(OB,\s\up17(→))＋ eq \o(OC,\s\up17(→))＝3 eq \o(OP,\s\up17(→))，所以 eq \o(OA,\s\up17(→))－ eq \o(OP,\s\up17(→))＝( eq \o(OP,\s\up17(→))－ eq \o(OB,\s\up17(→)))＋( eq \o(OP,\s\up17(→))－ eq \o(OC,\s\up17(→)))＝ eq \o(BP,\s\up17(→))＋ eq \o(CP,\s\up17(→)).即 eq \o(PA,\s\up17(→))＝ eq \o(BP,\s\up17(→))＋ eq \o(CP,\s\up17(→))＝－ eq \o(PB,\s\up17(→))－ eq \o(PC,\s\up17(→)).所以向量 eq \o(PA,\s\up17(→))， eq \o(PB,\s\up17(→))， eq \o(PC,\s\up17(→))共面． 因为 eq \o(PA,\s\up17(→))， eq \o(PB,\s\up17(→))， eq \o(PC,\s\up17(→))有共同的起点P，且A，B，C三点不共线， 所以P，A，B，C共面，即点P在平面ABC内． 1．知识清单 (1)空间向量的概念． (2)空间向量的线性运算(加法、减法和数乘). (3)空间向量的线性运算的运算律． (4)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量． (5)空间向量共面的充要条件． 2．方法归纳：三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想、转化化归思想． 3．常见误区 (1)对空间向量的理解应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数． (2)混淆向量共线与线段共线、点共线的概念． ◎随堂演练 1．已知 eq \o(MA,\s\up17(→))， eq \o(MB,\s\up17(→))是空间两个不共线的向量， eq \o(MC,\s\up17(→))＝5 eq \o(MA,\s\up17(→))－3 eq \o(MB,\s\up17(→))，那么必有(　　) A． eq \o(MA,\s\up17(→))， eq \o(MC,\s\up17(→))共线 B． eq \o(MB,\s\up17(→))， eq \o(MC,\s\up17(→))共线 C． eq \o(MA,\s\up17(→))， eq \o(MB,\s\up17(→))， eq \o(MC,\s\up17(→))共面 D． eq \o(MA,\s\up17(→))， eq \o(MB,\s\up17(→))， eq \o(MC,\s\up17(→))不共面 若 eq \o(MA,\s\up17(→))， eq \o(MC,\s\up17(→))共线，则 eq \o(MC,\s\up17(→))＝λ eq \o(MA,\s\up17(→))(λ∈R)，因为 eq \o(MC,\s\up17(→))＝5 eq \o(MA,\s\up17(→))－3 eq \o(MB,\s\up17(→))，λ eq \o(MA,\s\up17(→))＝5 eq \o(MA,\s\up17(→))－3 eq \o(MB,\s\up17(→))，可得 eq \f(（5－λ）,3) eq \o(MA,\s\up17(→))＝ eq \o(MB,\s\up17(→))，所以 eq \o(MA,\s\up17(→))， eq \o(MB,\s\up17(→))共线，与条件相矛盾，故A错误；同理若 eq \o(MB,\s\up17(→))， eq \o(MC,\s\up17(→))共线，则 eq \o(MC,\s\up17(→))＝λ eq \o(MB,\s\up17(→))(λ∈R)，因为 eq \o(MC,\s\up17(→))＝5 eq \o(MA,\s\up17(→))－3 eq \o(MB,\s\up17(→))，λ eq \o(MB,\s\up17(→))＝5 eq \o(MA,\s\up17(→))－3 eq \o(MB,\s\up17(→))，可得 eq \f(（λ＋3）,5) eq \o(MB,\s\up17(→))＝ eq \o(MA,\s\up17(→))，所以 eq \o(MA,\s\up17(→))， eq \o(MB,\s\up17(→))共线，与条件相矛盾，故B错误；根据空间向量的共面定理可知 eq \o(MA,\s\up17(→))， eq \o(MB,\s\up17(→))， eq \o(MC,\s\up17(→))共面，即C正确，D错误．故选C． 2．已知空间向量a，b，且 eq \o(AB,\s\up17(→))＝a＋2b， eq \o(BC,\s\up17(→))＝－5a＋6b， eq \o(CD,\s\up17(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 由题意可得 eq \o(BD,\s\up17(→))＝ eq \o(BC,\s\up17(→))＋ eq \o(CD,\s\up17(→))＝2a＋4b，则 eq \o(BD,\s\up17(→))＝2 eq \o(AB,\s\up17(→))，则A，B，D三点共线； eq \o(AC,\s\up17(→))＝ eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(BC,\s\up17(→))＝－4a＋8b，不存在实数λ满足 eq \o(AB,\s\up17(→))＝λ eq \o(AC,\s\up17(→))，则A，B，C三点不共线；不存在实数λ满足 eq \o(BC,\s\up17(→))＝λ eq \o(CD,\s\up17(→))，则B，C，D三点不共线；不存在实数λ满足 eq \o(CD,\s\up17(→))＝λ eq \o(AC,\s\up17(→))，则A，C，D三点不共线． 3．(多选)下列说法正确的是(　　) A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段可以表示同一向量 对于A，零向量的方向是任意的，A错误；对于B，空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B正确；对于C，D，大小相等、方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为不同向量，C错误；D符合定义，正确．故选BD． 4．化简：2 eq \o(AB,\s\up17(→))＋2 eq \o(BC,\s\up17(→))＋3 eq \o(CD,\s\up17(→))＋3 eq \o(DA,\s\up17(→))＋ eq \o(AC,\s\up17(→))＝____________． 答案：0　 2 eq \o(AB,\s\up17(→))＋2 eq \o(BC,\s\up17(→))＋3 eq \o(CD,\s\up17(→))＋3 eq \o(DA,\s\up17(→))＋ eq \o(AC,\s\up17(→))＝2 eq \o(AB,\s\up17(→))＋2 eq \o(BC,\s\up17(→))＋2 eq \o(CD,\s\up17(→))＋2 eq \o(DA,\s\up17(→))＋ eq \o(CD,\s\up17(→))＋ eq \o(DA,\s\up17(→))＋ eq \o(AC,\s\up17(→))＝0. $$