13专题强化3　“斜面”模型　动力学的临界和极值问题-【优化指导】2026年物理一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

专题强化❸　斜面模型　动力学的临界和极值问题 [对应学生用书P48] 热点一 “斜面”模型 突破 巧用“等时圆”模型解决问题 物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦从顶端由静止下滑，到达圆周上各点所用时间相等，且t＝2或t＝2，即物体的下滑时间与斜面的倾角θ无关。 【典例1】 有两部直滑梯AB和AC，A、B、C在竖直平面内的同一圆周上，且A为圆周的最高点，示意图如图所示，已知圆周半径为R。在圆周所在的竖直平面内有一位置P，距离A点为 R且与A等高。各滑梯的摩擦均不计，已知重力加速度为g。 (1)如果小朋友由静止开始分别沿AB和AC滑下，试通过计算说明两次沿滑梯运动的时间关系； (2)若设计一部上端在P点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是多少？ 答案：(1)tAB＝tAC　(2) 解析：(1)设AB与水平方向的夹角为θ，则小朋友沿AB下滑时的加速度a＝g sin θ，且AB间的距离为xAB＝2R sin θ 又因为xAB＝at 解得tAB＝，与角度无关， 同理可知tAC＝， 故tAB＝tAC。 (2)根据第(1)问的结论，画出以P点为最高点的半径为r的等时圆，如图所示。 当两圆相切时，运动的时间最短，由几何关系知 (R＋r)2＝(R－r)2＋(R)2 解得r＝R，因此最短时间t＝＝。 突破 解答粗糙斜面情景的问题 1.图甲中，物体的加速度大小为a＝g sin θ＋μg cos θ，方向为沿斜面向下。 2．图乙中，物体的加速度大小为a＝g sin θ－μg cos θ； (1)当μ＜tan θ时，加速度方向沿斜面向下； (2)当μ＝tan θ时，a＝0； (3)当μ＞tan θ时，加速度方向沿斜面向上。 【典例2】 如图所示，物块以初速度v0＝12.4 m/s沿一固定斜面从底端向上运动。已知：斜面倾角θ＝37°且足够长，物块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： (1)物块向上运动过程中的加速度大小a； (2)物块向上运动的最大距离x和所需时间t； (3)物块能否滑回底端？请说明理由。 (1)由物块向上运动的受力情况求出加速度； (2)物块减速上滑，由运动学公式求出物块向上运动的最大距离x和所需时间t； (3)由动摩擦因数分析物块能否下滑。 答案：(1)12.4 m/s2　(2)6.2 m　1 s (3)不能，理由见解析 解析：(1)设物块质量为m，在物块向上运动过程中应用牛顿第二定律有 mg sin θ＋μmg cos θ＝ma 解得a＝12.4 m/s2 。 (2)物块向上运动到最高点的速度为0，由位移和速度的关系有2ax＝v 解得x＝6.2 m 物块向上运动的时间：t＝＝ s＝1 s。 (3)物块重力沿斜面向下的分力为 F1＝mg sin θ＝6m (N) 物块与斜面间的最大静摩擦力至少为 Ffmax＝μmg cos θ＝6.4m (N) 因为F1<Ffmax，所以物块向上运动到最高点后静止不动，不能滑回底端。 热点二 动力学中的临界和极值问题 1．出现临界或极值条件的标志 (1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点。 (2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态。 (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点往往是临界点。 (4)若题目要求“最终加速度”“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。 2．解答临界或极值问题的思维方法 物理法 根据题中给出的临界、极值条件或标志，应用临界条件的动力学特征，直接列方程求解 极限法 把物理问题(或过程)推向极端，使临界现象(或状态)暴露出来，从而达到解决问题的目的 假设法 临界问题存在多种可能，或变化过程中可能出现临界条件、也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题 数学法 将物理过程转化为数学表达式，再运用不等式、三角函数、二次方程的判别式、二次函数的极值等数学方法解出临界条件。 突破 利用临界条件分析 1.接触与脱离的临界条件：弹力FN＝0。 2．绳子松弛的临界条件：FT＝0。 3．绳子断裂的临界条件：绳中张力等于它所能承受的最大张力。 4．相对滑动的临界条件：运动学条件是两物体的速度相同或加速度相同，力学条件是两物体间的静摩擦力达到最大值。 5．最终速度的临界条件：物体所受合力为零。 【典例3】 (多选)(2025·云南丽江模拟)如图所示，质量mB＝2 kg的水平托盘B与一竖直放置的轻弹簧焊接，托盘上放一个质量mA＝1 kg的小物块A，整个装置静止。现对小物块A施加一个竖直向上的变力F，使其从静止开始以加速度a＝2 m/s2做匀加速直线运动，已知弹簧的劲度系数k＝600 N/m，g取10 m/s2。以下结论正确的是 (　　) A．变力F的最小值为2 N B．变力F的最小值为6 N C．小物块A与托盘B分离瞬间的速度为0.2 m/s D．小物块A与托盘B分离瞬间的速度为 m/s BC　解析：设A、B整体受力产生加速度a，则有F＋F弹－(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a，可得F＝(mA＋mB)a＋(mA＋mB)g－F弹，当F弹最大时，F最小，即刚开始施力时，F弹最大且等于A和B的重力之和，则Fmin＝(mA＋mB)a＝6 N，A错误，B正确；刚开始，弹簧的压缩量为x1＝＝0.05 m，A、B分离时，其间恰好无作用力，对托盘B，由牛顿第二定律可知kx2－mBg＝mBa，得x2＝0.04 m，物块A在这一过程的位移为Δx＝x1－x2＝0.01 m，由运动学公式可知v2＝2aΔx，代入数据得v＝0.2 m/s，C正确，D错误。 突破 利用数学方法分析 【典例4】 如图所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑。若让该小木块从木板的底端以大小恒定的初速率v0沿木板向上运动，随着θ的改变，小木块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度为g。 (1)求小木块与木板间的动摩擦因数； (2)当θ角为何值时，小木块沿木板向上滑行的距离最小？求出此最小值。 答案：(1)　(2)60°　 解析：(1)当θ＝30°时，木块处于平衡状态，对木块受力分析，则有mg sin θ＝μFN FN－mg cos θ＝0 解得μ＝tan θ＝tan 30°＝。 (2)当θ变化时，设沿斜面向上为正方向，木块的加速度为a，则 －mg sin θ－μmg cos θ＝ma 由0－v＝2ax得 x＝＝ 其中tan α＝μ，故α＝30° 当α＋θ＝90°时x最小，此时θ＝60° 所以x的最小值为 xmin＝＝。 解决临界(极值)问题的思路 (1)认真审题，详尽分析问题中各物理量变化的过程(包括分析整体过程中有几个阶段)； (2)寻找过程中变化的物理量； (3)探索物理量的变化规律； (4)确定临界(极值)状态，分析临界(极值)条件，找出临界(极值)关系。 [对应学生用书P50] 1．如图所示，竖直墙与水平地面交点为O，从竖直墙上的A、B两点分别搭两条光滑轨道到M点，∠AMO＝60°、∠BMO＝45°，M点正上方与B等高处有一C点。现同时将a、b、c球分别从A、B、C三点由静止开始释放。则 (　　) A．a球最先到达M点 B．b球最先到达M点 C．c球最先到达M点 D．b球和c球都可能最先到达M点 C　解析：以C为圆心，BC为半径作圆，如图所示，根据“等时圆”模型可知，从圆上各点沿弦到最低点经过的时间相等，都等于2，而tc＝，则ta>tb>tc，C正确。 2．如图所示，竖直平面内半径R1＝10 m的圆弧AO与半径R2＝2.5 m的圆弧BO在最低点O相切。两段光滑的直轨道的一端在O点平滑连接，另一端分别在两圆弧上且等高。一个小球从左侧直轨道的最高点A由静止开始沿直轨道下滑，经过O点后沿右侧直轨道上滑至最高点B，不考虑小球在O点的机械能损失，重力加速度g取10 m/s2。则在此过程中小球运动的时间为 (　　) A．1.5 s B．2.0 s C．3.0 s D．3.5 s C　解析：设左侧轨道倾角为θ1，小球在左侧轨道上下滑的加速度大小为a1＝g sin θ1，左侧轨道长x1＝2R1sin θ1，小球在左侧轨道上运动时间为t1＝＝2，同理，小球在右侧轨道上上滑的时间为t2＝2，故小球在此过程中运动的时间为t＝t1＋t2＝2(＋)＝3 s，C正确。 3．(多选)如图甲所示，一个质量不计的弹簧测力计，劲度系数为30 N/m，下面悬挂一个物块A，此时弹簧测力计示数为4 N。现将一个质量为0.5 kg的木板B放在A下面，在外力作用下托住木板B使物块A向上运动一段距离，如图乙所示，当系统静止后，若突然撤去木板B的瞬间物块A向下的加速度为2.5 m/s2。若不撤去木板B，用外力控制木板B使二者一起以加速度1 m/s2向下做匀加速直线运动至二者分离，弹簧测力计始终未超量程，重力加速度g取10 m/s2，以下说法正确的是 (　　) A．撤去木板B的瞬间，弹簧测力计的示数为3.0 N B．匀加速运动阶段起始时刻外力大小为8.1 N C．匀加速运动阶段二者分离时外力的大小为4.5 N D．A、B分离时弹簧测力计示数为零 AC　解析：对A，初始时刻弹簧测力计示数为4 N，有mAg＝F弹1，突然撤去木板B的瞬间物块A向下的加速度为2.5 m/s2，则有mAg－F弹2＝mAa，联立代入数值解得mA＝0.4 kg，F弹2＝3.0 N，A正确；若不撤去木板B，用外力控制木板B使二者一起以加速度1 m/s2向下做匀加速直线运动，对A、B整体分析有(mA＋mB)g－F弹2－F＝(mA＋mB)a′，解得F＝5.1 N，B错误；A、B分离时，A、B间的弹力刚好为零，根据牛顿第二定律，对B有mBg－F′＝mBa′，对A有mAg－F弹′＝mAa′，解得F′＝4.5 N，F弹′＝3.6 N，C正确，D错误。 4．如图所示，一辆卡车的平板车厢上放置一个木箱，木箱与接触面间的动摩擦因数为μ＝0.5，卡车运行在一条平直的公路上，重力加速度g取10 m/s2。(已知木箱所受最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等) (1)当卡车以a＝2 m/s2的加速度启动时，请分析说明木箱是否会发生滑动； (2)当卡车遇到紧急情况刹车停止后，司机下车发现木箱已经撞在驾驶室后边缘，已知木箱在车上滑行的距离d＝4 m，刹车前卡车的车速为v＝72 km/h，求卡车刹车时加速度a1的最小值。 答案：(1)木箱不会发生滑动　(2)5.6 m/s2 解析：(1)当卡车的加速度为a＝2 m/s2时，假设木箱与卡车一起运动， 则对于木箱由牛顿第二定律得Ff＝ma 木箱所受的最大静摩擦力为Fm＝μmg 代入数据可知Ff＜Fm，假设成立，木箱不会发生滑动。 (2)刹车过程中，汽车向前运动的距离为x1＝ 如不撞击，木箱向前运动的距离为x2＝ 其中a2＝＝μg 根据题意有x2－x1≥d 代入数据解得a1≥5.6 m/s2 故a1的最小值为5.6 m/s2。 [课时跟踪练13见P364] 学科网（北京）股份有限公司 $$