人教版八年级数学上册2025-2026学年第一次数学月考测试卷（范围：第十三章～第十五章）

第 1页，共 6页 2025-2026 学年第一次数学月考测试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共 4 页，满分为 150分，考试时间为 100分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸 一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用 0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题 纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共 10小题，每小题 3分，共 30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．． 是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．） 1.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.已知点� 2,3 和� 2, � 关于�轴对称，则�的值为( ) A. 2 B. −2 C. 3 D. −3 3.如图，∠1 = ∠2，再添加一个条件不一定能使▵��� ≌ ▵���的是( ) A. �� = �� B. ∠��� = ∠��� C. �� = �� D. ∠� = ∠� 第 3题 第 4题 第 5题 第 6题 4.如图，∠��� = ∠��� = 15°，��/ ​ /��，�� ⊥ ��，若�� = 8，则��等于( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5.如图，在△ ���中，�� = ��，且�为��上一点，�� = ��，�� = ��，则∠�的度数为( ) A. 30° B. 36° C. 40° D. 45° 第 2页，共 6页 6.如图，把△ ���纸片沿��折叠，当点�落在四边形����内部时，∠�与∠1 + ∠2 之间有一种数量关系始终 保持不变.则下列关系成立的是( ) A. ∠� = ∠1 + ∠2 B. 2∠� = ∠1 + ∠2 C. 3∠� = ∠1 + ∠2 D. 3∠� = ∠1 + 2∠2 7.如图，在△ ���中，��是△ ���的中线，��是��边的中垂线，且��与��相交于点�，连结��，��，若 四边形����与四边形����的面积分别为 8 和 13，则△ ���的面积为( ) A. 18 B. 20 C. 22 D. 36 第 7题 第 8题 第 9题 8.如图，点�是△ ���内部的一点，点�到三边��，��，��的距离�� = �� = ��，∠��� = 130°，则∠��� 的度数为( ) A. 65° B. 80° C. 100° D. 70° 9.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形���的顶点�，�的坐标分别为(2,0)，(6,0)，点�从�点出发沿�� 向�点运动，连接��交��于点�.当�恰好为��中点时，则��长为( ) A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 10.如图，△ ���中，∠���、∠���的角平分线��、��交于点�，延长��、��，�� ⊥ ��，�� ⊥ ��.则下 列结论中正确的个数( ) ①��平分∠���；②∠��� + 2∠��� = 180°；③∠��� = 2∠���；④�△��� = �△��� + �△���． A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 第 10 题 第 14 题 第 15 题 二、填空题（本题共 8小题，第 11~12题每小题 3分，第 13~18题每小题 4分，共 30分，不 需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上）． 第 3页，共 6页 11.如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是______． 12.一个等腰三角形的两边长分别是 3��和 7��，则它的周长是 ��． 13.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40°，则这个等腰三角形的底角度数是______． 14.如图，�� △ ���≌�� △ ���，�� = 3，�� = 5，则�� = ______． 15.如图，点�坐标为( − 3, − 3)，点�(0, �)在�轴负半轴上，点�(�, 0)在�轴的正半轴上，且�� ⊥ ��，则�+ � = ______． 16.如图，点�为△ ���的三个内角的角平分线的交点，�� = 4，�� = 3，�� = 2，将∠���平移使其顶点与 �重合，则图中阴影部分的周长为______． 17.如图，△ ���的面积为 15��2，��平分∠���，过点�作�� ⊥ ��于点�.则△ ���的面积为______��2． 18.如图，在四边形����中，��//��，�� = 6，△���面积为 21，��的垂直平分线��分别交��，�� 于点�，�，若点�和点�分别是线段��和��边上的动点，则�� + ��的最小值为______． 第 16 题 第 17 题 第 18 题 三、解答题（本题共 8 小题，共 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤）. 19.(本小题 10 分) 如图，在平面直角坐标系中，已知△ ���，点�(2,2)． (1)画出△ ���关于�轴的对称图形△ �1�1�1，则点�1的坐标为______； (2)点�为�轴上一点，当�△��� = 5 时，求点�的坐标． 第 4页，共 6页 20.(本小题 10 分) 如图，已知点�是线段��上一点，∠��� = ∠� = ∠�，�� = ��． (1)求证：△ ���≌△���； (2)求证：�� = �� + ��． 21.(本小题 10 分) 如图，△ ���中，�� = ��，��平分∠���，交��于点�，连接��，��． (1)求证：△���是等腰三角形； (2)若∠��� = 50°，∠��� = 130°，求∠���的度数． 22.(本小题 12 分) 如图，已知�是△ ���内一点，�� = ��，∠��� = ∠���.求证：∠��� = ∠���.小红的解答如下： 证明：在△ ���和△���中， ∵ �� = ��，∠��� = ∠���，�� = ��， ∴△ ���≌△���.……第一步 ∴ ∠��� = ∠���.……第二步 (1)小红的证明过程从第______步开始出现错误； (2)请写出你认为正确的证明过程． 第 5页，共 6页 23.(本小题 12 分) 如图，△ ���中，��、��分别是��、��上的高，��与��交于点�，�� = ��． (1)求证：△ ABC 为等腰三角形． (2)问点�在∠�的平分线上吗？为什么？ 24.(本小题 12 分) 如图，点�是等边△ ���内一点，�是△ ���外的一点，∠��� = 110°，∠��� = �，△���≌△ ���，∠��� = 60°，连接��． (1)当� = 150°时，试判断△ ���的形状，并说明理由； (2)探究：当�为多少度时，△ ���是等腰三角形，请说明理由． 第 6页，共 6页 25.(本小题 10 分) 如图，∠���的平分线与��的垂直平分线��相交于点�，�� ⊥ ��，�� ⊥ ��，垂足分别为�、�.若�� = 15， �� = 9，求��的长． 26.(本小题 14 分) 在八年级上册“轴对称图形”一章 69 页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动.折纸，常能为证明一个命 题提供思路和方法.请用你所学知识解决下列问题． 【感悟】(1)如图 1，��是△ ���的高线，∠� = 2∠�，若�� = 2，�� = 5，求��的长． 小明同学的解法是：将△ ���沿��折叠，则点�刚好落在��边上的点�处.请你画出图形并直接写出答案： �� = ______． 【探究】(2)如图 2，∠��� = 2∠�，��为△ ���的外角∠���的平分线，交��的延长线于点�，则线段��、 ��、��又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【拓展】(3)如图 3，在四边形����中，��平分∠���，�� = 8，�� = �� = 10． ①求证：∠� + ∠� = 180°； ②若∠� = 2∠�，则��的长为______． 2025-2026学年第一次数学月考测试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共4页，满分为150分，考试时间为100分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．） 1.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.已知点和关于轴对称，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.如图，，再添加一个条件不一定能使的是(    ) A. B. C. D. 第3题 第4题 第5题 第6题 4.如图，，，，若，则等于(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，且为上一点，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变则下列关系成立的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连结，，若四边形与四边形的面积分别为和，则的面积为(    ) A. B. C. D. 第7题 第8题 第9题 8.如图，点是内部的一点，点到三边，，的距离，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，的坐标分别为，，点从点出发沿向点运动，连接交于点当恰好为中点时，则长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，则下列结论中正确的个数(    ) 平分；；；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第10题 第14题 第15题 二、填空题（本题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分，不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上）． 11.如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是______． 12.一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是          ． 13.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是______． 14.如图，≌，，，则 ______． 15.如图，点坐标为，点在轴负半轴上，点在轴的正半轴上，且，则 ______． 16.如图，点为的三个内角的角平分线的交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______． 17.如图，的面积为，平分，过点作于点则的面积为______． 18.如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为______． 第16题 第17题 第18题 三、解答题（本题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 19.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，已知，点． 画出关于轴的对称图形，则点的坐标为______； 点为轴上一点，当时，求点的坐标． 20.本小题分 如图，已知点是线段上一点，，． 求证：≌； 求证：． 21.本小题分 如图，中，，平分，交于点，连接，． 求证：是等腰三角形； 若，，求的度数． 22.本小题分 如图，已知是内一点，，求证：小红的解答如下： 证明：在和中， ，，， ≌第一步 第二步 小红的证明过程从第______步开始出现错误； 请写出你认为正确的证明过程． 23.本小题分 如图，中，、分别是上的高，与交于点，． 求证：为等腰三角形． 问点在的平分线上吗？为什么？ 24.本小题分 如图，点是等边内一点，是外的一点，，，≌，，连接． 当时，试判断的形状，并说明理由； 探究：当为多少度时，是等腰三角形，请说明理由． 25.本小题分 如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、若，，求的长． 26.本小题分 在八年级上册“轴对称图形”一章页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动折纸，常能为证明一个命题提供思路和方法请用你所学知识解决下列问题． 【感悟】如图，是的高线，，若，，求的长． 小明同学的解法是：将沿折叠，则点刚好落在边上的点处请你画出图形并直接写出答案： ______． 【探究】如图，，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【拓展】如图，在四边形中，平分，，． 求证：； 若，则的长为______． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案和解析 1.【答案】  解：、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：． 2.【答案】  解：点和关于轴对称， ， 故选：． 3.【答案】  解：，为公共边，若，不符合全等三角形判定定理，不能判定，故该选项符合题意； B.，为公共边，若，则，故该选项不符合题意； C.，为公共边，若，则，故该选项不符合题意； D.，为公共边，若，则，故该选项不符合题意． 故选：． 4.【答案】  解：如图，过作于， ， ， ， 则， ， ， ， ，， ． 故选：． 5.【答案】  【解析】， ， ， ， ， ， ， ， 故选B． 6.【答案】  【解析】解：把纸片沿着折叠，点落在四边形内部， ． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：四边形与四边形的面积分别为和， ， 是的中线， ， ， 是边的中垂线， 是的中点， ， ， ， 故选：． 根据三角形的面积公式计算，得到答案． 本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 8.【答案】  【解析】解：点到三边，，的距离， 、是、的角平分线， ，， ， ， ， ． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：如图，过点作交于点， ，的坐标分别为，， ，， ， 点是的中点，， 点是的中点， ， 是的中位线， ， ， ， ， 是的中点， 是的中位线， ， ， 又是等边三角形，边长， ， ， ， 即：． 故选：． 10.【答案】  【解析】解：过作于， 、的角平分线、交于点，，， ，， ， 在的角平分线上，即平分，故正确； ，，， ，， 在和中， ， ≌， ， 同理≌， ， ， ， ，故正确； 平分，平分， ， 又， ， ，故正确； ≌，≌， ，故正确； 即正确的个数是， 故选：． 11.【答案】  【解析】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】等腰三角形两边的长为和，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【详解】解：当腰是，底边是时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． 当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长． 故答案为：． 13.【答案】或  【解析】解：在等腰中，，为腰上的高，， 当在内部时，如图， 为高， ， ， ， ； 当在外部时，如图， 为高， ， ， ， ， 而， ， 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或． 故答案为：或． 14.【答案】  【解析】解：≌，，， ，， ， 故答案为：． 利用全等三角形性质求出，，即可求出结论． 本题考查的是全等三角形的性质，牢记全等三角形对应角相等，对应边相等是解题关键． 15.【答案】  【解析】解：过点作轴交于，作轴交于， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中 ， ≌， ， ， ； 故答案为：． 过点作轴交于，作轴交于，可得，，可证≌，从而可得，即可求解． 本题考查了全等三角形的判定及性质，点到坐标轴的距离，构建全等三角形，掌握判定方法及性质是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：连接、， 点为的三个内角的角平分线的交点， 平分， ， 由平移得：， ， ， ， 同理可得：， 的周长， 即图中阴影部分的周长为， 故答案为：． 17.【答案】  【解析】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， 故答案为：． 根据已知条件证得≌，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，代入求出即可． 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，能够根据已知条件证得≌得到，进而得到，是解决问题的关键． 18.【答案】  【解析】解：连接，过点作于． 面积为，， ， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， 的值最小值为， 故答案为：． 19.【答案】如图所示，即为所求，； 设，则，边上的高为， ， ， ，解得：或， 点的坐标为或．  【解析】解：如图所示，即为所求． 的坐标为， 故答案为：； 设，则，边上的高为， ， ， ，解得：或， 点的坐标为或． 依据轴对称的性质，即可得到关于轴对称的；并写出点的坐标； 利用三角形面积求法得出符合题意的答案． 此题主要考查了三角形面积求法以及关于轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键． 20.【答案】证明：， ， ， 在和中， ， ≌； ≌， ，， ， ．  21.【答案】解：证明：平分， ， 在和中， ≌， ， 是等腰三角形； ，， ， ．  22.【答案】一 证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ．  23.【答案】【小题】 证明：、为的高， ， 在和中 ， ， ， 是等腰三角形； 【小题】 证明：连接，    ， ， ， 在和中 ， ， 点在的平分线上．   24.【答案】【小题】 证明：是直角三角形，理由如下： ≌， ， ， 是等边三角形， ， ≌，， ， ， 是直角三角形； 【小题】 解：≌， ． 是等边三角形， ，， ； 当时，， ． 当时，， ． 当时，， ． 当或或时，是等腰三角形．   25.【答案】解：如图，连接，， 是的平分线，，， ，，， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ≌， ， ， ，， ．  26.【答案】解：；如图， ， 解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， ， 平分， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 证明：如图，在上截取，连接， ， 平分， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ； ．  【解析】解：如图，将沿折叠，则点刚好落在边上的点处， ， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， ， 平分， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 证明：如图，在上截取，连接， ， 平分， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ； 解：由得，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$