18.2 平行四边形的判定 暑假巩固练习 2024--2025学年人教版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 18.2 平行四边形的判定 暑假巩固 一、根据定义判定平行四边形 1.如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. B. C. D. 2.如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 3.如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点C到点E的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.在四边形ABCD中，已知∠A+∠B＝180°，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是　       　．（只需填写一种情况） 5.如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠DAC＝∠BCA，当AB 　  　CD时，四边形ABCD是平行四边形． 6.如图，在四边形ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形． 7.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，已知DE∥BC，∠ADE＝∠EFC．求证：四边形BDEF是平行四边形． 二、对角线互相平分的四边形是平行四边形 1.如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（　　） A.△ABD≌△ECD B.连接BE，四边形ABEC为平行四边形 C.DA＝DE D.CE＝CD 2.要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（    ） A. B. C. D. 3.嘉嘉和琪琪都在结合下面的图形证明四边形是平行四边形， 嘉嘉给出的条件是：，； 琪琪给出的条件是：； 则（     ） A.嘉嘉可以，琪琪不可以 B.嘉嘉不可以，琪琪可以 C.两人都可以 D.两人都不可以 4.如图，在四边形ABCD中，AO＝OC，BD＝12厘米，则当OB＝　    　厘米时，四边形ABCD是平行四边形． 5.如图，四边形ABCD，如果AC＝6，BD＝10，那么AO＝　  　，BO＝　  　时，四边形ABCD是平行四边形． 6.如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点． (1)求证：OD=OC． (2)求证：四边形AFBE平行四边形． 7.在四边形中，对角线交于点O， ，，点E是中点，点F是中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长分别交边于点H、G，连接并延长交于点M，连接并延长交于点N，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中所有的平行四边形． 三、动点中的平行四边形判定问题 1.如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l1、l2上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成▱ABCD，则对角线AC长度的最小值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形. A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝18，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A. 3 s B. 6 s C. 3 s或5 s D. 4 s或6 s 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝6 cm，AD＝12 cm，BC＝15 cm．点P从A点出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动，规定其t＝　　s时，PQ∥CD且PQ＝CD． 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4 cm，BC＝9 cm．动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1 cm/s的速度向终点A运动，点Q以2 cm/s的速度向终点C运动，　   　秒时四边形CDPQ是平行四边形. 6.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝27 cm，BC＝36 cm，点P从A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2 cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ 7.如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线EF∥BC，设EF交∠BCA的平分线于点E．交∠BCA的外角平分线于点F． （1）探究线段OE与OF的数量关系，并加以证明； （2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由． 四、综合运用平行线的性质与判定进行求解 1.如图，将面积为5的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边长的两倍，则图中的四边形的面积为（    ） A.5 B.10 C.15 D.20 2.如图，，，，，的面积为，则四边形的面积为（   ） A.6 B.10 C.20 D.40 3.如图，在中，，，将沿向右平移得到，若平移距离为2，则四边形的面积等于（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 4.如图，在四边形中，，，，．则四边形的面积是      ． 5.如图，在四边形中，，对角线 AC，BD互相垂直，，，则 的值是          . 6.如图，将沿平移，得到，连接，已知， ． (1)求证：； (2)若，求的度数． 7.如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 五、综合运用平行线的性质与判定进行证明 1.如图，中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　） 甲：只需要满足 乙：只需要满足 丙：只需要满足 A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、丙才是 C.只有甲、乙才是 D.只有乙、丙才是 2.如图，平行四边形的对角线交于点过点且分别交于点，在上找点（点在点下方），使以点为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（    ） A.甲、乙、丙 B.只有甲、乙 C.只有甲、丙 D.只有乙、丙 3.如图，在四边形中，，对角线与交于点，于点，于点，连接，若，则下列结论： 四边形是平行四边形 图中共有四对全等三角形． 其中正确的是（　　） A. ①③④ B. ①②④ C. D. 4.如图，在中，，为的中点，，交于点，，连接．以下结论：①四边形是平行四边形；②；③．其中正确的结论是      ．（写出所有正确结论的序号） 5.如图，在直角三角形中，，将三角形沿直线向右平移得到三角形，连接，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有          ． 6.如图，线段、相交于点O，，．线段上的两点E、F关于点O对称．求证：． 7.如图，①四边形是平行四边形，线段分别交于点E、O、F，②，③． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）爱动脑筋的小明发现： 在本题①、②、③三个已知条件中，有一个多余条件，去掉这个条件，四边形是平行四边形的结论依然成立，可以去掉的这个条件是__________（直接写出这个条件的序号），并证明四边形是平行四边形． 六、判定能否构成平行四边形 1.下面各项不能判断是平行四边形的是（    ） A.， B.， C.， D.， 2.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 3.下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A.， B.， C.， D.， 4.在四边形中，对角线、相交于点，在下列条件中，①，，②，；③，；④，；⑤，，能够判定四边形是平行四边形有           （填序号）． 5.如图，在四边形中，对角线，相交于点O，有以下条件：①，；②，；③，；④，．其中能判定四边形是平行四边形的是        ．（填序号） 6.图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形： (1)在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形． (2)在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形． 7.在四边形中，对角线与相交于点． ①如果，，那么四边形是平行四边形； ②如果，，那么四边形是平行四边形； ③如果，，那么四边形是平行四边形； ④如果，，那么四边形是平行四边形． （1）判断上述四个命题的真假； （2）证明上述四个命题的真假． （提示：证明一个命题是假命题，只要举个反例．） 七、平行四边形的个数问题 1.如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个. A.4 B.5 C.3 D.6 2.由两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形，在这些拼成的四边形中是平行四边形的个数是（  ）． A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（    ） A. B. C. D. 4.如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有     个平行四边形． 5.如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有      个. 6.已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 7.如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 八、添加一个条件成为平行四边形 1.如图，四边形的对角线相交于点O，且，若要证明四边形为平行四边形，不能添加的条件是（    ） A. B. C. D. 2.如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（    ） A. B. C. D. 3.如图，在正六边形中，，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是（    ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③④ D. ①④ 4.如图，在四边形中，，对角线，交于点，现有三个条件①；②；③．其中可以判定四边形是平行四边形的有      (只写序号即可)． 5.如图，在四边形中，，垂足分别为．请你只添加一个条件            （不另加辅助线），使得四边形为平行四边形． 6.如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程． 7.如图，在平行四边形中，点，是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，、为垂足；②；③；④．符合条件的选项有：_____________． (2)选择其中一个条件，写出证明过程： 我选择________， 证明过程如下：_____________________________. 华东师大版八年级下册 18.2 平行四边形的判定 暑假巩固（参考答案） 一、根据定义判定平行四边形 1.如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B.， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C.， ，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D.， ， 又∵， 四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 2.如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； B中由可得，，不能判定四边形是平行四边形，故符合要求； C中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； ∵， ∴， D中由可得，，即，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； 故选：B． 3.如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点C到点E的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】由平移的性质可知，，故①正确； 由平移的性质可知，，因此，故②正确； 平移的方向是点C到点F的方向，故③错误； 由平移的性质可知，，，， 因此四边形为平行四边形，故④正确； 综上可知，正确的有①②④，共3个． 故选C． 4.在四边形ABCD中，已知∠A+∠B＝180°，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是　       　．（只需填写一种情况） 【答案】AB∥CD 【解析】添加条件AB∥CD， ∵∠A+∠B＝180°， ∴AD∥CB， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， 故答案为：AB∥CD． 5.如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠DAC＝∠BCA，当AB 　  　CD时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】∥ 【解析】当AB∥CD时，四边形ABCD是平行四边形，理由如下： ∵∠DAC＝∠BCA， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：∥． 6.如图，在四边形ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠DCB＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠D+∠DCB＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 7.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，已知DE∥BC，∠ADE＝∠EFC．求证：四边形BDEF是平行四边形． 【答案】证明：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B， ∵∠ADE＝∠EFC， ∴∠EFC＝∠B， ∴EF∥AB， ∴四边形BDEF是平行四边形． 二、对角线互相平分的四边形是平行四边形 1.如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（　　） A.△ABD≌△ECD B.连接BE，四边形ABEC为平行四边形 C.DA＝DE D.CE＝CD 【答案】D 【解析】∵CE∥AB， ∴∠B=∠DCE，∠BAD=∠E， 在△ABD和△ECD中， , ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴DA=DE，AB=CE， ∵AD=DE，BD=CD， ∴四边形ABEC为平行四边形， 故选：D． 2.要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵,, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是平行四边形， 故选：B． 3.嘉嘉和琪琪都在结合下面的图形证明四边形是平行四边形， 嘉嘉给出的条件是：，； 琪琪给出的条件是：； 则（     ） A.嘉嘉可以，琪琪不可以 B.嘉嘉不可以，琪琪可以 C.两人都可以 D.两人都不可以 【答案】C 【解析】嘉嘉给出的条件是：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，嘉嘉可以； 琪琪给出的条件是：， ∴，， ∴四边形是平行四边形，琪琪也可以； 故选：C． 4.如图，在四边形ABCD中，AO＝OC，BD＝12厘米，则当OB＝　    　厘米时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】6 【解析】∵AO＝OC， ∴当OB＝OD时，四边形ABCD是平行四边形， ∵BD＝12厘米， ∴OBBD12＝6（厘米）， 故答案为：6． 5.如图，四边形ABCD，如果AC＝6，BD＝10，那么AO＝　  　，BO＝　  　时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】3；5 【解析】∵AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝10， ∴当AO＝3，BO＝5时，则AO＝CO＝3，BO＝DO＝5， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：3，5． 6.如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点． (1)求证：OD=OC． (2)求证：四边形AFBE平行四边形． 【答案】证明：（1）∵AC∥DB， ∴∠CAO=∠DBO， ∵∠AOC=∠BOD，OA=OB， ∴△AOC≌△BOD， ∴OC=OD； （2）∵E是OC中点，F是OD中点， ∴OE=OC，OF=OD， ∵OC=OD， ∴OE=OF， 又∵OA=OB， ∴四边形AFBE是平行四边形． 7.在四边形中，对角线交于点O， ，，点E是中点，点F是中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长分别交边于点H、G，连接并延长交于点M，连接并延长交于点N，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中所有的平行四边形． 【答案】（1）证明：∵，点E是中点，点F是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：图中的平行四边形有：，，，，理由如下， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 由（1）可得， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵DM∥BN， ∴四边形是平行四边， ∵DG∥BH， ∴四边形是平行四边形， 综上所述，图中的平行四边形有：，，，． 三、动点中的平行四边形判定问题 1.如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l1、l2上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成▱ABCD，则对角线AC长度的最小值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】如图，连接AB，AD，BD，取BD中点O，连接AO，延长AO作OC＝AO，连接CD，CB， 如图做三角形OAN，使∠ANO＝90°， 此时四边形ABCD是平行四边形， ∵直线l1∥l2，它们间的距离为2， ∴O到l1l2的距离均为1， ∵点A到l1的距离为1， ∴ON＝2， 由图可知AO≥ON， ∴AOmin＝ON＝2， ∴ACmin＝2AO＝4， 故选：B． 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形. A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2 【答案】C 【解析】∵E是BC的中点， ∴BE＝CEBC＝8， 由题意可知：AP＝t，则DP＝6﹣t，CQ＝3t， ①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t， ∴3t﹣8＝6﹣t， 解得：t＝3.5； ②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t， ∴8﹣3t＝6﹣t， 解得：t＝1， ∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故选：C． 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝18，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A. 3 s B. 6 s C. 3 s或5 s D. 4 s或6 s 【答案】C 【解析】由已知梯形，当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得： 2t6﹣t， 解得：t＝5， 当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：2t＝6﹣t， 解得：t＝3， 故当运动时间t为3或5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝6 cm，AD＝12 cm，BC＝15 cm．点P从A点出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动，规定其t＝　　s时，PQ∥CD且PQ＝CD． 【答案】4 【解析】根据题意得：PA＝t，CQ＝2t，则PD＝AD﹣PA＝12﹣t． ∵PQ∥CD且PQ＝CD， ∴四边形PQCD为平行四边形， 即12﹣t＝2t， 解得：t＝4， 即当t＝4时，PQ∥CD且PQ＝CD． 故答案为：4． 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4 cm，BC＝9 cm．动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1 cm/s的速度向终点A运动，点Q以2 cm/s的速度向终点C运动，　   　秒时四边形CDPQ是平行四边形. 【答案】3 【解析】设t秒后，四边形CDPQ是平行四边形， ∴PD＝t cm，CQ＝（9﹣2t）cm， ∵AD∥BC， ∴当PD＝CQ时，四边形CDPQ是平行四边形， ∴t＝9﹣2t， ∴t＝3， ∴3秒时四边形CDPQ是平行四边形． 故答案为：3． 6.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝27 cm，BC＝36 cm，点P从A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2 cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ 【答案】解：设当P，Q两点同时出发，t秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形， 根据题意可得：AP＝t cm，PD＝（27﹣t）cm，CQ＝2t cm，BQ＝（36﹣2t）cm， ①若四边形ABQP是平行四边形， 则AP＝BQ， ∴t＝36﹣2t， 解得：t＝12， ∴12s后四边形ABQP是平行四边形； ②若四边形PQCD是平行四边形， 则PD＝CQ， ∴27﹣t＝2t， 解得：t＝9， ∴9s后四边形PQCD是平行四边形； 综上所述：当P，Q两点同时出发，12秒或9秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形． 7.如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线EF∥BC，设EF交∠BCA的平分线于点E．交∠BCA的外角平分线于点F． （1）探究线段OE与OF的数量关系，并加以证明； （2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由． 【答案】（1）证明：∵EF∥BC， ∴∠OFC＝∠FCD， 又∵CF平分∠ACD， ∴∠OCF＝∠FCD， ∴∠OFC＝∠OCF， ∴OF＝OC， 同理：OE＝OC， ∴OE＝OF． （2）解：当点O运动到OCBC时，四边形BCFE是平行四边形． 理由：当点O运动到OCBC时，BC＝2OC， 由（1）知，OE＝OF＝OC， ∴EF＝2OC， ∴EF＝BC， ∵EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 四、综合运用平行线的性质与判定进行求解 1.如图，将面积为5的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边长的两倍，则图中的四边形的面积为（    ） A.5 B.10 C.15 D.20 【答案】D 【解析】设点A到的距离为h， 则， ∴， ∵沿方向平移的距离是边长的两倍， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积． 故选：D． 2.如图，，，，，的面积为，则四边形的面积为（   ） A.6 B.10 C.20 D.40 【答案】C 【解析】， 四边形为平行四边形， ， ， ， 点和点到直线的距离相等， 设点到的距离为， 的面积为， ， 解得， 四边形的面积． 故选：C． 3.如图，在中，，，将沿向右平移得到，若平移距离为2，则四边形的面积等于（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】D 【解析】由平移的性质得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4.如图，在四边形中，，，，．则四边形的面积是      ． 【答案】 【解析】, , 又，, , , , , , 四边形是平行四边形, , 四边形的面积：, 故答案为：． 5.如图，在四边形中，，对角线 AC，BD互相垂直，，，则 的值是          . 【答案】 【解析】如图，过点作交延长线于，作于， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，， ， ∴， 故答案为：． 6.如图，将沿平移，得到，连接，已知， ． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】解：（1）∵沿平移，得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵沿平移，得到， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴为等腰三角形，， ∵， ∴． 7.如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 【答案】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F分别是边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 五、综合运用平行线的性质与判定进行证明 1.如图，中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　） 甲：只需要满足 乙：只需要满足 丙：只需要满足 A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、丙才是 C.只有甲、乙才是 D.只有乙、丙才是 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 甲：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故甲正确； 乙：由，不能证明，不能判定四边形为平行四边形，故乙不正确； 丙：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故丙正确； 故选：B． 2.如图，平行四边形的对角线交于点过点且分别交于点，在上找点（点在点下方），使以点为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（    ） A.甲、乙、丙 B.只有甲、乙 C.只有甲、丙 D.只有乙、丙 【答案】A 【解析】甲方案：如图所示： 在平行四边形中，，， ， 在和中， , ， ， ， ， 在四边形中，由对角线相互平分可知，四边形为平行四边形； 乙方案：如图所示： 在平行四边形中，，， ， 在和中， , ， ， ， ，则， 在和中， , ， ， 在四边形中，由一组对边平行且相等可知，四边形为平行四边形； 丙方案：如图所示： 在平行四边形中，，， ，， 在和中， , ， ， 平分；平分； ， 在和中， , ， ， 在四边形中，由对角线相互平分可知，，四边形为平行四边形； 综上所述，甲、乙、丙三种方案均可使以点为顶点的四边形为平行四边形， 故选：A． 3.如图，在四边形中，，对角线与交于点，于点，于点，连接，若，则下列结论： 四边形是平行四边形 图中共有四对全等三角形． 其中正确的是（　　） A. ①③④ B. ①②④ C. D. 【答案】C 【解析】① ，， ， ， 在和中， ()， ， 四边形是平行四边形， ， 故正确 ②四边形是平行四边形， ， 故正确 ③， 即， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， 故正确 ④由题意可得 ，，, ，，， ，，， ，，， 共对全等三角形， 故错误． 正确的结论是， 故选C． 4.如图，在中，，为的中点，，交于点，，连接．以下结论：①四边形是平行四边形；②；③．其中正确的结论是      ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【解析】∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ∴，故②正确； , 即，故③正确； 综上，①②③正确， 故答案为：①②③． 5.如图，在直角三角形中，，将三角形沿直线向右平移得到三角形，连接，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有          ． 【答案】①②③④ 【解析】∵三角形沿直线向右平移得到三角形， ，，故①④正确， ，， ∴四边形是平行四边形， ，故②正确， ， ， ， ， ，故③正确， 正确的有①②③④． 6.如图，线段、相交于点O，，．线段上的两点E、F关于点O对称．求证：． 【答案】证明：如图，连接、， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点E、F关于点O中心对称， ∴， ∴， ∴． 7.如图，①四边形是平行四边形，线段分别交于点E、O、F，②，③． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）爱动脑筋的小明发现： 在本题①、②、③三个已知条件中，有一个多余条件，去掉这个条件，四边形是平行四边形的结论依然成立，可以去掉的这个条件是__________（直接写出这个条件的序号），并证明四边形是平行四边形． 【答案】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）在本题①、②、③三个已知条件中，去掉②条件，四边形是平行四边形的结论依然成立，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 六、判定能否构成平行四边形 1.下面各项不能判断是平行四边形的是（    ） A.， B.， C.， D.， 【答案】C 【解析】，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ，，不可以判定四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， 故选：C. 2.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A．∵，， ∴一组对边平行，另一组对边不平行， ∴图中的四边形不可能是平行四边形，故A不符合题意； B．由图中数据只能得到一组对边平行，不能判断四边形是平行四边形，故B不符合题意； C．由图中数据可得两组对边分别相等，能判断四边形是平行四边形，故C符合题意； D．由图中数据只能得到一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故D不符合题意． 故选：C． 3.下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A.， B.， C.， D.， 【答案】D 【解析】A.能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B.能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意； C.能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D.对边平行且相等，能判断四边形是平行四边形，本选项符合题意； 故选：D. 4.在四边形中，对角线、相交于点，在下列条件中，①，，②，；③，；④，；⑤，，能够判定四边形是平行四边形有           （填序号）． 【答案】①②④⑤ 【解析】①添加，条件， 则根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故①可以； ②添加，；条件， 则根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故②可以； ③添加，条件， 即一组对边平行，另一组对边相等，该情况不能判定平行四边形；故③不可以； ④添加，条件， 则根据对角线互相平分的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故④可以； ⑤添加，条件， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 则根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故⑤可以； 故答案为：①②④⑤． 5.如图，在四边形中，对角线，相交于点O，有以下条件：①，；②，；③，；④，．其中能判定四边形是平行四边形的是        ．（填序号） 【答案】①④ 【解析】∵，， ∴根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得：四边形是平行四边形，故①符合题意； ∵，， ∴根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不能判定四边形是平行四边形；故②不符合题意； ∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形，此时四边形可以是等腰梯形；故③不符合题意； ∵，， ∴则根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判定四边形是平行四边形；故④符合题意； 故答案为：①④. 6.图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形： (1)在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形． (2)在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】解：（1）如图①，四边形是轴对称图形． （2）先将点向左平移2格，再向上平移1个可得到点， 则将点按照同样的平移方式可得到点， 如图②，四边形平行四边形． 7.在四边形中，对角线与相交于点． ①如果，，那么四边形是平行四边形； ②如果，，那么四边形是平行四边形； ③如果，，那么四边形是平行四边形； ④如果，，那么四边形是平行四边形． （1）判断上述四个命题的真假； （2）证明上述四个命题的真假． （提示：证明一个命题是假命题，只要举个反例．） 【答案】解：（1）①如果，，那么四边形是平行四边形是真命题； ②如果，，那么四边形是平行四边形是真命题； ③如果，，那么四边形是平行四边形是假命题； ④如果，，那么四边形是平行四边形是假命题． （2）①， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； ②， ， ， ， 四边形是平行四边形； ③如图1，当，时，则四边形不是平行四边形； ④如图2，当，时，则四边形不是平行四边形． 七、平行四边形的个数问题 1.如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个. A.4 B.5 C.3 D.6 【答案】B 【解析】如图， 图中的平行四边形有：▱ABED，▱ABGF，▱BCFE，▱ACFD，▱PBQF， 故选B． 2.由两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形，在这些拼成的四边形中是平行四边形的个数是（  ）． A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】B 【解析】把三角形相等的一边重合，得到平行四边形，有3种情况． 如图所示： 则有平行四边形有四边形ABCD、四边形BDCF、四边形BDEC共计3个． 故选：B. 3.平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形，从3条平行线中任选2条直线的方法有3种，从5条平行线中任选2条直线的方法有10种，故平行四边形的个数为， 故选：C. 4.如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有     个平行四边形． 【答案】4 【解析】∵在▱ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点， ∴DF=CD=AE=EB，AB∥CD， ∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上▱ABCD本身，共有4个平行四边形4． 故答案为4． 5.如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有      个. 【答案】2 【解析】∵、、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：2． 6.已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】解：（1）如图所示； （2）由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 7.如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 【答案】解：如图所示： 八、添加一个条件成为平行四边形 1.如图，四边形的对角线相交于点O，且，若要证明四边形为平行四边形，不能添加的条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.∵，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意； B.∵， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故不符合题意； C.，，无法判断四边形是平行四边形，故符合题意； D.∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意； 故选：C． 2.如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意； 添加后可得，，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意； 添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意； 添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意； 故选B． 3.如图，在正六边形中，，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是（    ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③④ D. ①④ 【答案】A 【解析】① 如图，连接，交于点， ∵正六边形中，， ∴和是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，故①符合题意； ②在正六边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故② 符合题意； ③∵，，， ∴与不一定全等，不能得出四边形是平行四边形，故③不符合题意； ④在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④符合题意． 故选：A．   4.如图，在四边形中，，对角线，交于点，现有三个条件①；②；③．其中可以判定四边形是平行四边形的有      (只写序号即可)． 【答案】①② 【解析】① ，， 四边形是平行四边形，故① 符合题意； ② ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，故② 符合题意； ③由，，不能判定四边形是平行四边形，故③不符合题意； 故答案为：①②． 5.如图，在四边形中，，垂足分别为．请你只添加一个条件            （不另加辅助线），使得四边形为平行四边形． 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】添加条件为：或或， ①添加， 理由：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． ②添加， 理由：∵， ∴是直角三角形，且， 在中， ， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． ③添加， 理由：∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． 综上所示，添加的条件有或或， 故答案为：或或（答案不唯一）． 6.如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程． 【答案】解：添加的条件为：． ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 7.如图，在平行四边形中，点，是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，、为垂足；②；③；④．符合条件的选项有：_____________． (2)选择其中一个条件，写出证明过程： 我选择________， 证明过程如下：_____________________________. 【答案】解：（1）填①②④的任意一个都正确； 故答案为：①②④； （2）选择①，，、为垂足； ∵，， ∴， 四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 选择②， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 选择④， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∵， ∴， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$