19.3 矩形、菱形、正方形 暑假巩固练习2024-2025学年沪科版八年级数学下册

沪科版八年级下册 19.3 矩形、菱形、正方形 暑假巩固 一、根据正方形的性质求线段长 1.如图，将矩形分成2个长方形与2个正方形，其中正方形③的边长是2，正方形④的边长是3，记长方形①的周长为，长方形②的周长为，则与的大小为（    ） A. B. C. D.不确定 2.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边CD上，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AE于点G，若EG＝EC，则DE的长为（　　） A. B. C. D. 3.已知正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，则正方形的周长为（    ） A.2 B.4 C.6 D.8 4.如图所示，在正方形ABCD中，若对角线的长为10cm，P是CD上任意一点，过点P分别作PE⊥BD，PF⊥AC，垂足分别为E，F，则PE+PF＝　   　cm． 5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝4，则GH的长度为 　             　． 6.如图，点E是正方形的对角线上一点，的延长线交于点G，过点E作的垂线交线段于点F，交线段于点H． (1)证明：； (2)若，求的长． 7.如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 二、坐标系中的正方形 1.如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，若点，则点B的坐标为（    ） A. B. C. D. 2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（，1），则点C的坐标为（　　） A.（，1） B.（﹣1，） C.（﹣1，） D.（1，） 3.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　） A.（，1） B.（﹣1，） C.（，1） D.（，﹣1） 4.已知一个边长为4的正方形OABC，按如图所示的方式放在平面直角坐标系中，其中的一个顶点与原点重合，两边分别与x轴、y轴重合．则顶点A的坐标是　        　． 5.如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD边长为1个单位长度，若BC∥x轴，且点A的坐标是（2，2），则点C的坐标为 　        　． 6.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，3），以AB为边向右侧作正方形ABCD．求点C和点D的坐标． 7.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在坐标轴上，求点C的坐标． 三、根据直角三角形的性质求边 1.如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 2.如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　） A.2 B.3 C.3.5 D.4 3.如图，，，B，C，D 在同一条直线上，，则的长为（   ）． A. B. C. D. 4.如图，在中，D、E分别为的中点，点F在上，且，若，则             ． 5.如图，已知中，，，，是的中点，连接，则的值为      ． 6.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，AB≡10，AD＝DE＝4，求BC的长． 7.如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分别是AC，BD的中点． （1）证明：EF⊥BD； （2）若AC＝10，BD＝8，求EF的长． 四、矩形的翻折变换问题 1.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED'等于（　　） A.25° B.40° C.50° D.65° 2.如图，矩形中，点G，E分别在边，上，连接，，，将和分别沿，折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，，则的长度为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 3.如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C′，若∠ADC′＝40°，则∠BDC的度数为（　　） A.25° B.40° C.50° D.65° 4.如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知，． ①当点E恰好落在CD边的中点上时，线段BH的长为       ． ②当折痕GH最长时，线段BH的长为         ．    5.如图，在矩形ABCD中，E为AB边上点，，沿直线DE将△AED翻折得到△FED，且点F在BC边上，那么　   　． 6.如图，将长方形纸片沿折叠，使、两点重合．点落在点处．已知，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求线段的长． 7.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF． （1）求证：△PDE≌△CDF； （2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的长． 五、根据矩形性质求角的度数 1.如图，点E在矩形边的延长线上，连接、，，若，则的度数是（    ）    A. B. C. D. 2.如图，点E在矩形ABCD边BC的延长线上，连接AC，DE，BE＝AC，若∠E＝70°，则∠ACB的度数是（　　） A.40° B.50° C.70° D.30° 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADB＝25°，那么∠AOB的度数为（　　） A.50° B.45° C.40° D.35° 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝2AB，在BC上截取BE＝AB，连接AE，OE，则∠AEO的度数为 　 　． 5.如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作矩形AEFG．若∠BAE＝40°，∠CEF＝10°，则∠D的度数为 　 　． 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAD＝3∠BAE，求∠EAD的度数． 7.如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足．∠DCE＝3∠ECB，求∠ACE的度数． 六、正方形性质的综合运用 1.下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是（　　） A.长度为2的线段 B.边长为2的等边三角形 C.斜边为2的直角三角形 D.面积为4的菱形 2.如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（　　） A.7 B.3 C.8 D.3 3.如图，四边形ABCD为正方形，在AB、AD上分别取一点E和H，其中DHAD，BEAB，分别以BE和DH在正方形ABCD内部作正方形BEFG、正方形DHIJ，记多边形ELIMGB为图形①，多边形DJMFLH为图形②，若要求图形①和②的周长差，则需要知道（　　） A.BE和AB的差 B.MJ和IJ的差 C.AH和AE的差 D.AD和HD的差 4.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC．则图中阴影部分的面积是 　   　． 5.在正方形ABCD中，对角线AC＝2cm，那么正方形ABCD的面积为 　       　． 6.已知：如图，正方形ABCD中，点E，M，N分别在AB，BC，AD边上，CE＝MN，求证：CE⊥MN． 7.如图，在一个边长为am的正方形广场的四个角上分别留出一个边长为bm的正方形花坛（a＞2b），其余的地方种草坪． （1）求种草坪的面积是多少平方米； （2）当a＝84，b＝8，且种每平方米草坪的成本为5元时，种这块草坪共需投资多少元？ 七、坐标系中的菱形问题 1.如图，菱形的顶点A，B的坐标分别为，， 轴，将菱形平移，使点B与原点O重合，则平移后点D的对应点的坐标为（   ）    A. B. C. D. 2.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　） A.（3，1） B.（3，﹣1） C.（1，﹣3） D.（1，3） 3.如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（6，2），点D的坐标是（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标是（　　） A.（3，2） B.（3，3） C.（3，4） D.（2，4） 4.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴上，已知，，则点D的坐标为_______________．    5.如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是，（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的面积是 　  　． 6.如图，四边形ABCD为菱形，A（，0），B（0，1），点C，D在坐标轴上． （Ⅰ）点C的坐标为 　    　；点D的坐标为 　     　；∠BAD＝　   　°． （Ⅱ）求AB，AC的长． 7.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0），点D在y轴上．求点D的坐标和对角线AC的长． 八、添加条件使四边形为菱形 1.关于的叙述，正确的是（    ） A.若，则是菱形 B.若，则是菱形 C.若，则是正方形 D.若，则是矩形 2.若四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，再添加一个下列条件能使其成为菱形的是（　　） A.∠A＝∠B B.AC⊥BD C.∠A＝∠C D.AC＝BD 3.如图，的对角线与交于点O，下列结论不正确的是（    ）    A.当时，是菱形 B.当时，是矩形 C.当时，是菱形 D.当时，是矩形 4.在四边形ABCD中，AC⊥BD，AB＝CD，要使四边形ABCD是菱形，只需添加一个条件，这个条件可以是 　                 　（只要填写一种情况）． 5.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件：　               　使平行四边形ABCD是菱形． 6.已知：如图，在四边形中，与不平行，，，，分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足条件 时，四边形是菱形； 当与满足条件 时，四边形是矩形． 7.数学课上，王老师出示了一道例题：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交BC，AD于E，F两点，连接AE，CF． 求证：四边形AECF是菱形． 全班同学经过分组讨论后认为：四边形AECF一定是平行四边形，要想证明该四边形是菱形还应当添加一个条件．小明认为：应当添加AE＝AF．小刚认为：应当添加EF⊥AC．请你从小明和小刚添加的条件中选一个完成该题的证明． （1）添加的条件是 　              　． （2）证明：　                  　． 九、矩形的性质和判定的综合运用 1.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（　　） A. B. C. D. 2.如图，等边三角形的边长为4，E点为边上的动点，F为中点，则的最小值为（    ）    A. B. C.5 D. 3.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（　　） A.2.4 B.3 C.4.8 D.5 4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论： ①AD和EF互相垂直平分； ②AE=AF； ③当∠BAC=90°时，AD=EF； ④DE是AB的垂直平分线． 其中正确的是                 (填序号)． 5.如图，点是中斜边（不与，重合）上一动点，分别作点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是      ． 6.如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接，已知线段，，，设．    (1)用含x的代数式表示的长； (2)请问点C满足什么条件时，最小？最小为多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值． 7.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）已知∠DAB＝60°，若AD＝3，求DE的长度． 十、根据菱形的性质求线段长 1.如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AC＝8，则OE的长为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　） A.逐渐减小 B.恒等于3 C.先减小再增加 D.恒大于3 3.如图，菱形ABCD中，AB=4，E，F分别是AB、BC的中点，P是AC上一动点，则PF+PE的最小值是（   ）    A.3 B. C.4 D. 4.在菱形中，，若菱形的面积是 ，则=             5.已知菱形ABCD的周长为20，一条对角线AC长为8，另一条对角线BD长为        6.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB＝6cm，∠BAO＝30°，点F为AB的中点． （1）求OF的长度； （2）求AC的长． 7.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若DE=3，CD=4，∠EDC=90°，当四边形DEBF是菱形时，AE的长为多少？ 十一、正方形的判定 1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，给出四个条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③OA=OB；④AC⊥BD．从所给的四个条件中任意选择两个为一组，能判定平行四边形ABCD是正方形的有（    ）组 A.3 B.4 C.5 D.6 2.已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（　　） A.∠D＝90° B.AB＝CD C.AB＝BC D.AC＝BD 3.下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是（　　） A.AB＝AD B.AB⊥BC C.AC⊥BD D.AC平分∠BAD 4.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，当AB:AD=           时，四边形MENF是正方形． 5.如图，四边形ABCD是矩形，则只须补充条件　        　（用字母表示只添加一个条件）就可以判定四边形ABCD是正方形． 6.已知：菱形ABCD中，E、F在BD上，∠ABC＝45°，BE＝DF＝AE，求证：四边形AECF是正方形． 7.在四边形ABCD中如图，∠A＝∠B＝90°，将△AED、△DCF分别沿着DE、DF翻折，点A、C都分别与EF上的点G重合． （1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若AB＝6，点F是BC的中点，求AE的长． 十二、菱形性质和判定的综合 1.下列关于菱形的说法，错误的是（　　） A.菱形的邻边相等 B.菱形的对角线互相平分 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.四条边相等的四边形是菱形 2.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（　　） A.只有甲 B.只有乙 C.甲和乙 D.甲乙都不是 3.两张宽度相同的矩形纸片按如图方式交叉叠放在一起，，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（    ）    A.2 B. C.1 D. 4.如图，矩形的对角线于相交于点，将沿折叠，点落在点处，交于点，连接、．      （1）线段与的位置关系是      ； （2）若，，则四边形的周长为      ． 5.如图，有甲乙两张纸条，甲纸条对折后与乙纸条宽度相等，将这两张纸条随意交叉重叠放在一起，重合的部分构成一个四边形ABCD，那么AB与BC的数量关系是　         　． 6.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是菱形． （2）若∠ACB＝30°，菱形OCED的面积为2，求AC的长． 7.如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC，AD上，AE＝AF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 十三、根据菱形的性质求角的度数 1.如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（　　） A.72° B.90° C.100° D.108° 2.如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠BDC的度数为（　　） A.20° B.30° C.35° D.40° 3.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　） A.20° B.25° C.30° D.35° 4.菱形的两个邻角的度数之比是1：3，则菱形的较小的内角为　  　度． 5.如图，菱形ABCD中，点E是对角线AC上一点，BE的延长线交边CD于点F若∠1+∠2＝75°，则∠3的度数为　 　． 6.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，且E为边AB的中点． （1）求∠A的度数； （2）如果AB＝4，求对角线AC的长． 7.如图所示，等边三角形AEF内接于菱形ABCD，若AE＝AB，求∠C的度数． 十四、根据菱形的性质求面积 1.菱形的周长为32cm，一个内角的度数是120°，则该菱形的面积为（　　） A. B. C.32cm2 D.16cm2 2.已知菱形的周长为20cm，两条对角线的比为3：4，则菱形的面积为（　　） A.48 B.24 C.12 D.384 3.如图，已知菱形ABCD的周长为40，对角线AC、BD交于点O，且AO+BO＝14，则该菱形的面积等于（　　） A.24 B.56 C.96 D.48 4.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，点P是菱形ABCD内一点，连接BP、CP，且∠ABP+∠DCP＝90°，连接AP、DP，则△APD面积的最小值为 　 　． 5.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若，，则菱形ABCD的面积为 　 　． 6.如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点都在正方形网格的格点上． （1）请在下面的网格中作出菱形ABCD（点C，D都在正方形网格的格点上，作出一个符合题意的图形即可）； （2）在（1）中作出的菱形面积是 ． 7.如图，已知四边形ABCD是菱形，延长AD至点E，使AE＝2BC． （1）求证：∠ACE＝90°； （2）若AC＝16，BC＝10，求四边形ABCE的面积． 十五、根据矩形的性质求边长 1.如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB．若PB的最小值为5，则AD的值为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 2.矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为（　　） A.1cm B.2cm C.2.5cm D.4cm 3.点P是矩形内一点，且满足，，，则的值为（    ） A.3 B.5 C. D. 4.如图，矩形的边在y轴上，边在x轴上，C点坐标为，点D是线段上的一个动点，连接，以为边作矩形，使边过点B．连接，当点D与点A重合时，所作矩形的面积为18．在点D的运动过程中，线段最大值为     ．    5.如图，矩形中，，点是线段上的动点，点是线段上的动点，则的最小值是          ．    6.如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作交于点，求的长．    7.如图，已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OF⊥AD于点F，OF＝3cm，AE⊥BD于点E，且BE：ED＝1：3，求AC的长． 十六、根据直角三角形的性质求角 1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠BAD＝35°，E是斜边BC的中点，则∠DAE的度数为（　　） A.15° B.20° C.25° D.30° 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝32°，点D为AB的中点，连接CD，则∠ADC的度数为（　　） A.32° B.64° C.58° D.54° 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD的度数为（　　） A.30° B.45° C.22.5° D.60° 4.如图，∠ACB＝90°，∠A＝20°，点D是AB的中点，则∠DCB的度数是 　 　． 5.在△ABC中，∠BAC＝90°，P是BC的中点，M、N分别是CA、BA延长线上的点，且AM＝ANBC，则∠MPN的度数为 　  　． 6.如图，BE、CF是△ABC的两条高，P是BC边的中点，连接PE、PF、EF． （1）求证：PE＝PF； （2）若∠A＝70°，求∠EPF的度数． 7.如图，在Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EP过点C且平行于AB．若∠BCF＝35°，求∠ACD的度数． 十七、根据正方形的性质求角的度数 1.如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AB＝AE，则∠DBE度数是（　　） A.15° B.32.5° C.22.5° D.30° 2.如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB、ED．延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，则∠AFE的度数为（　　） A.65° B.70° C.60° D.80° 3.如图，正方形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1＝65°，则∠2的度数为（　　） A.65° B.55° C.35° D.25° 4.已知正方形ABCD中，P为直线AD上一点，以PD为边做正方形PDEF，使点E在线段CD的延长线上，连接AC、AF．若，则的度数为        . 5.如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC延长线上的一点，且AC=CE，则∠E=             6.已知正方形ABCD，∠ADE＝∠EAD＝15°，求△BEC各内角度数． 7.如图，正方形ABCD中，点E在正方形ABCD外，△AEB为等边三角形，求∠BED的度数． 沪科版八年级下册 19.3 矩形、菱形、正方形 暑假巩固（参考答案） 一、根据正方形的性质求线段长 1.如图，将矩形分成2个长方形与2个正方形，其中正方形③的边长是2，正方形④的边长是3，记长方形①的周长为，长方形②的周长为，则与的大小为（    ） A. B. C. D.不确定 【答案】B 【解析】解：如图： ∵将矩形分成2个长方形与2个正方形，其中③、④为正方形 ∴，，， ∵正方形③的边长为2，正方形④的边长为3 ∴，，， ∴长方形①的周长为， 长方形②的周长为 ∴ 故选：B． 2.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边CD上，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AE于点G，若EG＝EC，则DE的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由作图得：AD＝AG＝1， 设DE＝x，则EG＝EC＝1﹣x， ∴AE＝AG+EG＝1+1﹣x＝2﹣x， 由勾股定理得：AD2+DE2＝AE2，即12+x2＝（2﹣x）2， 解得：，即DE的长为， 故选：B． 3.已知正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，则正方形的周长为（    ） A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【解析】∵四边形是正方形 ∴ ∵正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根， ∴， ∴ ∴正方形的周长为． 故选：B． 4.如图所示，在正方形ABCD中，若对角线的长为10cm，P是CD上任意一点，过点P分别作PE⊥BD，PF⊥AC，垂足分别为E，F，则PE+PF＝　   　cm． 【答案】5 【解析】连接OP， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC＝BD＝10cm，OB＝OC＝5cm，∠DOC＝90°， ∴S△DOP+S△COP＝S△DOC， ∴5×PE5×PF5×5， ∴PE+PF＝5， 故答案为：5． 5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝4，则GH的长度为 　             　． 【答案】． 【解析】连接CH并延长交AD于P，连接PE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝90°，AD∥BC，A B＝A D＝B C＝4， ∵E，F分别是边AB，BC的中点， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠DPH＝∠FCH， ∵H是DF的中点， ∴DH＝FH， 在△PDH和△CFH中， ， ∴△PDH≌△CFH（AAS）， ∴PD＝CF＝2， ∴AP＝AD﹣PD＝2， ∴， ∵点G，H分别是EC，FD的中点， ∴， 故答案为：． 6.如图，点E是正方形的对角线上一点，的延长线交于点G，过点E作的垂线交线段于点F，交线段于点H． (1)证明：； (2)若，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接． ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 7.如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 【答案】（1）解：∵ 在矩形中，， ，， 设经过后四边形是正方形，则，， 在矩形中，，， 当时，四边形是正方形， ∴，解得， ∴当时，四边形是正方形； （2）解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ， ∵， ，解得， ∴当时； （3）解：∵四边形为平行四边形， ∴ 四边形的面积为，即，解得， ，， ∴四边形的周长， ∴矩形的周长， ∴矩形的周长与四边形的周长的比值为． 二、坐标系中的正方形 1.如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，若点，则点B的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥BD于E，交y轴于F， ∴BD//y轴， ∴CE⊥y轴， ∴四边形ODEF是矩形，EF=OD，OF=DE，∠COF+∠OCF=90°， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠BCE+∠OCF=90°，OC=BC， ∴∠BCE=∠COF， 在△BCE和△COF中， ， ∴△BCE≌△COF， ∴BE=CF，CE=OF， ∵C（-1，2）， ∴CF=1，OF=2， ∴BE=CF=1，CE=OF=2， ∴OD=EF=CE-CF=1，BD=DE+BE=OF+CF=3， ∴B（1，3）． 故选：A． 2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（，1），则点C的坐标为（　　） A.（，1） B.（﹣1，） C.（﹣1，） D.（1，） 【答案】C 【解析】作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，如图所示： 则∠CFO＝∠OEA＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∵四边形OABC是正方形， ∴OC＝OA，∠AOC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠3＝∠2， 在△OCF和△AOE中，， ∴△OCF≌△AOE（AAS）， ∴OF＝AE＝1，CF＝OE， ∴点C的坐标为（﹣1，）； 故选：C． 3.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　） A.（，1） B.（﹣1，） C.（，1） D.（，﹣1） 【答案】C 【解析】作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示： 则∠ADO＝∠OEC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵点A的坐标为（1，）， ∴OD＝1，AD， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠AOC＝90°，OC＝AO， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠3＝∠2， 在△OCE和△AOD中， ， ∴△OCE≌△AOD（AAS）， ∴OE＝AD，CE＝OD＝1， ∴点C的坐标为（，1）； 故选：C． 4.已知一个边长为4的正方形OABC，按如图所示的方式放在平面直角坐标系中，其中的一个顶点与原点重合，两边分别与x轴、y轴重合．则顶点A的坐标是　        　． 【答案】（4，0）． 【解析】∵四边形OABC是正方形，且一个顶点与原点重合，两边分别与x轴、y轴重合， ∴OA＝4， ∴点A坐标为（4，0）， 故答案为：（4，0）． 5.如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD边长为1个单位长度，若BC∥x轴，且点A的坐标是（2，2），则点C的坐标为 　        　． 【答案】（3，1）． 【解析】∵四边形ABCD为正方形，且边长为1， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，AD∥BC， ∵BC∥x轴， ∴AD∥BC∥x轴， 又∵点A的坐标为（2，2）， ∴点B（2，1），点C（3，1）． 故答案为：（3，1）． 6.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，3），以AB为边向右侧作正方形ABCD．求点C和点D的坐标． 【答案】解：CE⊥y轴于E，CF⊥x轴于F，DG⊥x轴于G． ∵四边形AOCB是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠DAB＝∠CDA＝90°． ∵A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，3）， ∴AB ∵∠ABO+∠EBC＝∠ABO+∠BAO＝∠BAO+∠DAG＝∠DAG+∠ADG＝90°， ∴∠EBC＝∠BAO＝∠ADG， 在△BEC和△AOB与△GDA中， ， ∴△BEC≌△AOB≌△GDA（AAS）， ∴EC＝OB＝AG＝3，BE＝AO＝DG＝1， ∴OE＝OB﹣BE＝3﹣1＝2，OG＝AD﹣OA＝3﹣1＝2， ∴C（3，2），D（2，﹣1）． 7.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在坐标轴上，求点C的坐标． 【答案】解：过点C作轴于点H， ∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标是． 三、根据直角三角形的性质求边 1.如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解： ，，， ， ， 为中点， ， ，， 四边形是矩形， 连接，则， ， 当最小时，最小， 垂线段最短， 当时，最小， 此时，即：， ， 的最小值为， 故选：D． 2.如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　） A.2 B.3 C.3.5 D.4 【答案】B 【解析】如图，连接CM、CN， △ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6， ∵DE＝4，点M、N分别是DE、AB的中点， ∴CNAB＝5，CMDE＝2， 当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值， ∴MN的最小值为：5﹣2＝3． 故选：B． 3.如图，，，B，C，D 在同一条直线上，，则的长为（   ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图所示，过点A作 ∵，， ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 4.如图，在中，D、E分别为的中点，点F在上，且，若，则             ． 【答案】 【解析】解：∵D、E分别为的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 5.如图，已知中，，，，是的中点，连接，则的值为      ． 【答案】 【解析】解：在中，，，， ， ， 是直角三角形， 是的中点， ． 故答案为：． 6.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，AB≡10，AD＝DE＝4，求BC的长． 【答案】解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵E是AC的中点，DE＝4， ∴AC＝2DE＝8， 由勾股定理得：CD4， ∵AB＝10，AD＝4， ∴BD＝AB﹣AD＝6， ∴BC2． 7.如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分别是AC，BD的中点． （1）证明：EF⊥BD； （2）若AC＝10，BD＝8，求EF的长． 【答案】（1）证明：连接EB，ED， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点， ∴BEAC，DEAC， ∴EB＝ED，又F是BD的中点， ∴EF⊥BD； （2）解：BEAC＝5，BFBD＝4， 由勾股定理得，EF3． 四、矩形的翻折变换问题 1.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED'等于（　　） A.25° B.40° C.50° D.65° 【答案】C 【解析】由折叠可知，∠DEF＝∠D'EF， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB＝65°， ∴∠AED'＝180°﹣∠DEF﹣∠EFB＝50°， 故选：C． 2.如图，矩形中，点G，E分别在边，上，连接，，，将和分别沿，折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，，则的长度为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】B 【解析】解：设， 由翻折性质得：， ∵， 由翻折性质得：， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，和沿，折叠，点B，C落在上的同一点F， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 3.如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C′，若∠ADC′＝40°，则∠BDC的度数为（　　） A.25° B.40° C.50° D.65° 【答案】D 【解析】由折叠的性质，得∠BDC＝∠BDC′， 则∠ADB＝∠BDC′﹣∠ADC′＝∠BDC﹣40°， ∵∠ADB+∠BDC＝90°， ∴∠BDC﹣40°+∠BDC＝90°， 解得∠BDC＝65°． 故选：D． 4.如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知，． ①当点E恰好落在CD边的中点上时，线段BH的长为       ． ②当折痕GH最长时，线段BH的长为         ．    【答案】 【解析】解：①∵E为CD得中点，, ∴, 由折叠性质得：HE=BH， ∵， ∴， ∵， ∴， 解方程得， ∴, 故线段BH的长为； ②如下图所示，当E点与D点重合时，折痕最长，    ∵，， ∴ 解方程得， ∴， 故当折痕GH最长时，线段BH的长为． 5.如图，在矩形ABCD中，E为AB边上点，，沿直线DE将△AED翻折得到△FED，且点F在BC边上，那么　   　． 【答案】． 【解析】在矩形ABCD中， AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°， 由折叠的性质得：AE＝EF，AD＝DF，∠EFD＝∠A＝90°， ∵， ∴可设BE＝x，AB＝CD＝3x，则AE＝EF＝2x， 在Rt△BEF中，BFx， 在Rt△CDF中，CF2+CD2＝DF2， ∴（AD−x）2+（3x）2＝AD2， 解得：AD＝2x， ∴． 故答案为：． 6.如图，将长方形纸片沿折叠，使、两点重合．点落在点处．已知，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求线段的长． 【答案】（1）证明：由折叠性质可知． ， ． ． 是等腰三角形． （2）解：设，由折叠可知． ， ． 在中，由勾股定理得， ． 解得． 由（1）得， ． 7.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF． （1）求证：△PDE≌△CDF； （2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD， 由折叠得：AB＝PD，∠A＝∠P＝90°，∠B＝∠PDF＝90°， ∴PD＝CD， ∵∠PDF＝∠ADC， ∴∠PDE＝∠CDF， 在△PDE和△CDF中， ， ∴△PDE≌△CDF（ASA）； （2）解：如图，过点E作EG⊥BC于G， ∴∠EGF＝90°，EG＝CD＝4， 在Rt△EGF中，由勾股定理得：FG3， 设CF＝x， 由（1）知：PE＝AE＝BG＝x， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE， 由折叠得：∠BFE＝∠DFE， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴DE＝DF＝x+3， 在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF2＝CD2+CF2， ∴x2+42＝（x+3）2， ∴x， ∴BC＝2x+33（cm）． 五、根据矩形性质求角的度数 1.如图，点E在矩形边的延长线上，连接、，，若，则的度数是（    ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：连接，交于点O，如图所示，    四边形是矩形， ，，， ∴， ， ， ∴， ， ∵， ∴，故正确． 故选：C． 2.如图，点E在矩形ABCD边BC的延长线上，连接AC，DE，BE＝AC，若∠E＝70°，则∠ACB的度数是（　　） A.40° B.50° C.70° D.30° 【答案】A 【解析】连接BD，如图所示， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC． ∵BE＝AC， ∴BD＝BE． ∴△BDE是等腰三角形． ∵∠E＝70°， ∴∠BDE＝70°， ∴∠DBE＝180°﹣70°﹣70°＝40°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OC， ∴∠ACB＝∠DBE＝40°， 故选：A． 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADB＝25°，那么∠AOB的度数为（　　） A.50° B.45° C.40° D.35° 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴OAAC，ODBD，AC＝BD， ∴OA＝OD， ∵∠ADB＝25°， ∴∠OAD＝∠ODA＝25°， ∴∠AOB＝∠OAD+∠ODA＝50°． 故选：A． 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝2AB，在BC上截取BE＝AB，连接AE，OE，则∠AEO的度数为 　 　． 【答案】30°． 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OA＝OB＝OC． 又∵AC＝2AB， ∴∠ACB＝30°， ∴∠OBC＝∠ACB＝30°． ∵BE＝AB，∠ABC＝90°， ∴∠AEB＝45°． ∵AC＝2AB，OA＝OB＝OC， ∴AB＝BO， ∴BE＝BO， ∴∠BEO， ∴∠AEO＝∠BEO﹣∠AEB＝75°﹣45°＝30°． 故答案为：30°． 5.如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作矩形AEFG．若∠BAE＝40°，∠CEF＝10°，则∠D的度数为 　 　． 【答案】60°． 【解析】∵四边形AEFG是矩形AEFG． ∴∠AEF＝90°． ∵∠CEF＝10°． ∴∠AEB＝80°． ∵∠BAE＝40°． ∴∠B＝180°﹣∠BAE﹣∠AEB＝60°． ∵四边形ABCD是▱ABCD． ∴∠D＝∠B＝60°． 故答案为：60°． 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAD＝3∠BAE，求∠EAD的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠EAD＝3∠BAE， ∴∠EAD∠BAD90°＝67.5°． 7.如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足．∠DCE＝3∠ECB，求∠ACE的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB＝90°，OC＝OD， ∵∠DCE＝3∠ECB， ∴∠DCE90°＝67.5°， ∴∠ECB＝22.5° ∴∠EBC＝∠ACB＝90°﹣∠ECB＝67.5° ∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝67.5°﹣22.5°＝45°． 六、正方形性质的综合运用 1.下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是（　　） A.长度为2的线段 B.边长为2的等边三角形 C.斜边为2的直角三角形 D.面积为4的菱形 【答案】D 【解析】∵正方形的边长为2， ∴对角线长为， ∴长度为2的线段能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故A不符合题意； 边长为2的等边三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故B不符合题意； 斜边为2的直角三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故C不符合题意； 而面积为4的菱形对角线最长可以为8，故不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故D符合题意， 故选：D． 2.如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（　　） A.7 B.3 C.8 D.3 【答案】D 【解析】∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为9＝6， ∴空白部分的面积为9﹣6＝3， 由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为3， ∠CBE＝∠DCF， ∵∠DCF+∠BCG＝90°， ∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°， 设BG＝a，CG＝b，则ab， 又∵a2+b2＝32， ∴a2+2ab+b2＝9+6＝15， 即（a+b）2＝15， ∴a+b，即BG+CG， ∴△BCG的周长3， 故选：D． 3.如图，四边形ABCD为正方形，在AB、AD上分别取一点E和H，其中DHAD，BEAB，分别以BE和DH在正方形ABCD内部作正方形BEFG、正方形DHIJ，记多边形ELIMGB为图形①，多边形DJMFLH为图形②，若要求图形①和②的周长差，则需要知道（　　） A.BE和AB的差 B.MJ和IJ的差 C.AH和AE的差 D.AD和HD的差 【答案】C 【解析】∵四边形BEFG和四边形DHIJ都是正方形， ∴图形①的周长为4BE，图形②的周长为4DH， ∴图形①和②的周长差为|4BE﹣4DH|＝4|BE﹣DH|＝4|AB﹣AE﹣AD+AH|， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD， ∴图形①和②的周长差为4|AH﹣AE|， 故选：C． 4.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC．则图中阴影部分的面积是 　   　． 【答案】2． 【解析】过点E作EF⊥BC于点F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝2，AD∥BC， ∴EF＝AB＝2， ∴， ∵， ∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△BCE＝4﹣2＝2， 故答案为：2． 5.在正方形ABCD中，对角线AC＝2cm，那么正方形ABCD的面积为 　       　． 【答案】2cm2 【解析】正方形面积2cm2 故答案为2cm2 6.已知：如图，正方形ABCD中，点E，M，N分别在AB，BC，AD边上，CE＝MN，求证：CE⊥MN． 【答案】证明：作NF⊥BC于F，如图所示： 则∠NFM＝90°，四边形CDNF是矩形， ∴NF＝CD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠ABC＝90°， ∴BC＝NF， 在Rt△BCE和Rt△NFM中，， ∴Rt△BCE≌Rt△NFM（HL）， ∴∠1＝∠2， ∵∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠4＝90°， ∴CE⊥MN． 7.如图，在一个边长为am的正方形广场的四个角上分别留出一个边长为bm的正方形花坛（a＞2b），其余的地方种草坪． （1）求种草坪的面积是多少平方米； （2）当a＝84，b＝8，且种每平方米草坪的成本为5元时，种这块草坪共需投资多少元？ 【答案】解：（1）种草坪的面积是（a2﹣4b2）m2； （2）当a＝84，b＝8时，种草坪的面积是a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（84+2×8）（84﹣2×8）＝100×68＝6800（m2）， 所以种这块草坪共需投资5×6800＝34000（元）． 七、坐标系中的菱形问题 1.如图，菱形的顶点A，B的坐标分别为，， 轴，将菱形平移，使点B与原点O重合，则平移后点D的对应点的坐标为（   ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解∶∵A，B的坐标分别为，， ∴， ∵菱形， ∴，， 又轴， ∴轴， ∴D的坐标为， ∵菱形平移，使点B与原点O重合， ∴菱形向右平移2个单位，向上平移1个单位， ∴平移后点D的对应点的坐标为， 故选∶D． 2.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　） A.（3，1） B.（3，﹣1） C.（1，﹣3） D.（1，3） 【答案】B 【解析】连接AB交OC于点D， ∵四边形OACB是菱形， ∴AB⊥OC，AD＝BD＝1，OD＝CD＝3， ∴点B的坐标是（3，﹣1）． 故选：B． 3.如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（6，2），点D的坐标是（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标是（　　） A.（3，2） B.（3，3） C.（3，4） D.（2，4） 【答案】C 【解析】连接AC，BD相交于点E， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AE＝CE，BE＝DE，AC⊥BD， ∵点A在x轴上，点B的坐标为（6，2），点D的坐标为（0，2）， ∴BD＝6，AE＝2， ∴DEBD＝3，AC＝2AE＝4， ∴点C的坐标为：（3，4）． 故选：C． 4.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴上，已知，，则点D的坐标为_______________．    【答案】 【解析】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∵菱形的顶点A在y轴上， ∴，即， ∵四边形是菱形， ∴， 即， 故答案为：． 5.如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是，（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的面积是 　  　． 【答案】． 【解析】∵A，B两点的坐标分别是，（0，1）， ∴， ∵四边形ABCD是菱形，且点C，D在坐标轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 6.如图，四边形ABCD为菱形，A（，0），B（0，1），点C，D在坐标轴上． （Ⅰ）点C的坐标为 　    　；点D的坐标为 　     　；∠BAD＝　   　°． （Ⅱ）求AB，AC的长． 【答案】解：（Ⅰ）∵A（，0），B（0，1）， ∴OA，OB＝1， ∵四边形ABCD为菱形，点C，D在坐标轴上， ∴AB＝AD，OC＝OA，OD＝OB＝1，AC⊥BD， ∴BD＝2OB＝2，点C的坐标为（，0），点D的坐标为（0，﹣1）， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2， ∴AB＝BC＝BD＝2， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD＝60°， 故答案为：（，0），（0，﹣1），60； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB＝2，AC＝2OA＝2． 7.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0），点D在y轴上．求点D的坐标和对角线AC的长． 【答案】解：∵A（0，4），B（﹣3，0）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB5， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝BC＝AB＝5，BC∥AD， ∴D（0，﹣1），C（﹣3，﹣5）， ∴AC3． 八、添加条件使四边形为菱形 1.关于的叙述，正确的是（    ） A.若，则是菱形 B.若，则是菱形 C.若，则是正方形 D.若，则是矩形 【答案】B 【解析】解：A、若，则是矩形，不正确； B、若，则是菱形，正确； C、若，则是菱形，不正确； D、若，则是菱形，不正确； 故选：B． 2.若四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，再添加一个下列条件能使其成为菱形的是（　　） A.∠A＝∠B B.AC⊥BD C.∠A＝∠C D.AC＝BD 【答案】B 【解析】再添加一个下列条件能使其成为菱形的是AC⊥BD，理由如下： ∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故选：B． 3.如图，的对角线与交于点O，下列结论不正确的是（    ）    A.当时，是菱形 B.当时，是矩形 C.当时，是菱形 D.当时，是矩形 【答案】D 【解析】解：A、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断是菱形，正确，故此选项不符合题意； B、当时，，根据有一个角是的平行四边形是矩形可判断是矩形，正确， 故此选项不符合题意； C、当时，对角线平分，所以是菱形，正确， 故此选项不符合题意； D、当时，不能判定是矩形， 故此选项符合题意；． 故选：D． 4.在四边形ABCD中，AC⊥BD，AB＝CD，要使四边形ABCD是菱形，只需添加一个条件，这个条件可以是 　                 　（只要填写一种情况）． 【答案】AB∥CD（本题答案不唯一）． 【解析】添加条件AB∥CD，理由如下： ：∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝90°， 在Rt△ABO和Rt△ADO中， ， ∴Rt△ABO≌Rt△ADO（HL）， ∴BO＝DO， ∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO， 在△ABO和Rt△CDO中， ， ∴△ABO≌Rt△CDO（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． 故答案为：AB∥CD（本题答案不唯一）． 5.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件：　               　使平行四边形ABCD是菱形． 【答案】AB＝AD（答案不唯一） 【解析】解：添加一个条件为：AB＝AD，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 6.已知：如图，在四边形中，与不平行，，，，分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足条件 时，四边形是菱形； 当与满足条件 时，四边形是矩形． 【答案】（1）证明：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）①∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 当时，， ∴四边形是菱形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， 故答案为： ； ． 7.数学课上，王老师出示了一道例题：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交BC，AD于E，F两点，连接AE，CF． 求证：四边形AECF是菱形． 全班同学经过分组讨论后认为：四边形AECF一定是平行四边形，要想证明该四边形是菱形还应当添加一个条件．小明认为：应当添加AE＝AF．小刚认为：应当添加EF⊥AC．请你从小明和小刚添加的条件中选一个完成该题的证明． （1）添加的条件是 　              　． （2）证明：　                  　． 【答案】解：（1）添加的条件是AE＝AF或EF⊥AC， 故答案为：AE＝AF或EF⊥AC； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠FAO＝∠ECO， 在△AOF与△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝AF或EF⊥AC， ∴▱AECF是菱形， 故答案为：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠FAO＝∠ECO， 在△AOF与△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝AF或EF⊥AC， ∴▱AECF是菱形． 九、矩形的性质和判定的综合运用 1.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设Rt△ABC的斜边BC上的高为h． ∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5， ∴h， ∴AB2+AC2＝BC2， 即∠BAC＝90°． 又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F， ∴四边形AEPF是矩形， ∴EF＝AP． ∵M是EF的中点， ∴AMEFAP． 因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于， ∴AM的最小值是． 故选：D． 2.如图，等边三角形的边长为4，E点为边上的动点，F为中点，则的最小值为（    ）    A. B. C.5 D. 【答案】B 【解析】解：分别取，的中点M，N，作直线， ∴为的中位线，    ∴， 同理可得：， ∴在上， ∴与的交点为F，即点F是直线上的一个动点， 作点B关于的对称点，连接，， 则， ∴， ∴的最小值为的长， ∵等边三角形的边长为4， 如图，作于，交于， ∴，， 同理可得：， ∴， ∵，，而， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 3.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（　　） A.2.4 B.3 C.4.8 D.5 【答案】C 【解析】如图，连接BD． ∵在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10， ∴AB2+BC2＝AC2，即∠ABC＝90°． 又∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F， ∴四边形EDFB是矩形， ∴EF＝BD． ∵BD的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即4.8， ∴EF的最小值为4.8， 故选：C． 4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论： ①AD和EF互相垂直平分； ②AE=AF； ③当∠BAC=90°时，AD=EF； ④DE是AB的垂直平分线． 其中正确的是                 (填序号)． 【答案】②③ 【解析】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，∴DE=DF， 在△AED和△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，又DE=DF，∴AD垂直平分EF，而EF不一定垂直平分AD，故①错误，②正确； ∵∠BAC=90°，∴∠EAF=∠AED=∠AFD=90°，∴四边形AEDF为矩形，∴AD=EF，故③正确； ∵DE⊥AB，而AD与BD不一定相等，∴不能得出DE是AB的垂直平分线，④错误； 故答案为：②③． 5.如图，点是中斜边（不与，重合）上一动点，分别作点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是      ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴四边形MBNP是矩形， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 连接BP，如图所示： ∴， ∴点B、O、P三点共线， 要使的值为最小，则需满足BP的值最小， ∴当BP⊥AC时，BO有最小值，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是； 故答案为． 6.如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接，已知线段，，，设．    (1)用含x的代数式表示的长； (2)请问点C满足什么条件时，最小？最小为多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值． 【答案】（1）解：∵，设． ∴， ∵，， ∴， ， ∴； （2）解：∵两点之间直线最短， ∴当三点为一条直线时，即点为和交点时，最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即：， ，即：， ∴点在上距离点距离为时，最小； （3）解：过点作，过点作，连接交于点，使得，，    ∵， ∴的长即为代数式的最小值， ∴过点作交的延长线于点，得到矩形， ∴，， ∴， ∴即的最小值为25， ∴代数式的最小值为25． 7.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）已知∠DAB＝60°，若AD＝3，求DE的长度． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∵CF＝AE， ∴DF＝BE， 又∵DF∥BE， ∴四边形DFBE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形DFBE是矩形； （2）解：∵∠DAB＝60°，DE⊥AB， ∴∠ADE＝30°， ∴AEAD， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE． 十、根据菱形的性质求线段长 1.如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AC＝8，则OE的长为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝5，AO＝CO＝4，BO＝DO，AC⊥BD， ∴BO3， ∴BD＝6， ∵DE⊥AB，BO＝DO， ∴OE＝3， 故选：A． 2.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　） A.逐渐减小 B.恒等于3 C.先减小再增加 D.恒大于3 【答案】B 【解析】连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠A＝60°， ∴△ABD、△CDB是等边三角形， ∴∠CBD＝∠ADB＝60°，BC＝BD， ∵∠EBF＝60°， ∴∠EBD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝60°， ∴∠CBF＝∠EBD， 在△CBF和△DBE中， ， ∴△CBF≌△DBE（ASA）， ∴CF＝DE， ∴AE+CF＝AE+DE＝AD， ∵AB＝3， ∴AE+CF＝3． 故选：B． 3.如图，菱形ABCD中，AB=4，E，F分别是AB、BC的中点，P是AC上一动点，则PF+PE的最小值是（   ）    A.3 B. C.4 D. 【答案】C 【解析】作点E关于AC的对称点E'，连接E'F，与AC交点为P点，此时EP+PF的值最小； 连接EF，    ∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD， ∵E，F分别是边AB，BC的中点， ∴E'是AD的中点， ∴A E'=AD，BF=BC，E'E⊥EF， ∵菱形ABCD， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴A E'=BF，A E'∥BF， ∴四边形ABF E'是平行四边形， ∴E'F=AB=4， 即PF+PE的最小值是4， 故选C． 4.在菱形中，，若菱形的面积是 ，则=             【答案】 【解析】解：如图， ∵四边形ABCD是菱形 ∴AO＝CO＝6cm，BO＝DO，AC⊥BD ∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝96 ∴BD＝16cm ∴BO＝DO＝8cm ∴AB＝＝10cm 故答案为10cm 5.已知菱形ABCD的周长为20，一条对角线AC长为8，另一条对角线BD长为        【答案】6 【解析】如下图 ∵菱形的周长为20， ∴AB=5， ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴AO=AC=4， ∴BO= ∴BD=2BO=6 故BD的长为6． 6.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB＝6cm，∠BAO＝30°，点F为AB的中点． （1）求OF的长度； （2）求AC的长． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 在Rt△AOB中 OF为斜边AB边上的中线 ∴OFAB＝3（cm）． （2）在Rt△AOB中∠OAB＝30°， ∴OBAB＝3（cm）， 由勾股定理得OA3 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AO＝6． 7.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若DE=3，CD=4，∠EDC=90°，当四边形DEBF是菱形时，AE的长为多少？ 【答案】证明：（1）如图，连接BD，与AC相交于点O ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴OB=OD.OA=OC ∵AE=CF ∴OE=OF ∴四边形DEBF为平行四边形. （2）在RtΔCDE中 ∵四边形DEBF为菱形 ∴BD⊥EF ∴. ∴ ∴ ∴. 十一、正方形的判定 1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，给出四个条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③OA=OB；④AC⊥BD．从所给的四个条件中任意选择两个为一组，能判定平行四边形ABCD是正方形的有（    ）组 A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】解：选择①②：有一个是直角的平行四边形是矩形，邻边相等的矩形是正方形；故选择①②符合题意； 选择①③：∵平行四边形对角线互相平分，∴OA=OC，OB=OD ∵OA=OB， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AB=BC，∴邻边相等的矩形是正方形；故选择①③符合题意； 选择①④：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形也是菱形，故选择①④不符合题意； 选择②③：同理∵OA=OB，∴四边形ABCD是矩形，而有一个是直角的平行四边形也是矩形，故选择②③不符合题意； 选择②④：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形；故选择②④符合题意； 选择③④：同理∵OA=OB，∴四边形ABCD是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形；故选择③④符合题意； 能判定平行四边形ABCD是正方形的有①②、①③、②④、③④，共4组， 故选：B． 2.已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（　　） A.∠D＝90° B.AB＝CD C.AB＝BC D.AC＝BD 【答案】C 【解析】由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定四边形ABCD为矩形， 因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形ABCD为正方形， 故选：C． 3.下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是（　　） A.AB＝AD B.AB⊥BC C.AC⊥BD D.AC平分∠BAD 【答案】B 【解析】要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等． 即∠ABC＝90°或AC＝BD． 故选：B． 4.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，当AB:AD=           时，四边形MENF是正方形． 【答案】1:2 【解析】当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形， 理由是：∵AB：AD＝1：2，AM＝DM，AB＝CD， ∴AB＝AM＝DM＝DC， ∵∠A＝∠D＝90°， ∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°， ∴∠BMC＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴∠MBC＝∠MCB＝45°， ∴BM＝CM， ∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点， ∴BE＝CF，ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM， ∴四边形MENF是平行四边形， ∵ME＝MF，∠BMC＝90°， ∴四边形MENF是正方形， 即当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形， 故答案为1：2． 5.如图，四边形ABCD是矩形，则只须补充条件　        　（用字母表示只添加一个条件）就可以判定四边形ABCD是正方形． 【答案】AB＝AD（答案不唯一） 【解析】因为有一组邻边相等的矩形是正方形， 故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 6.已知：菱形ABCD中，E、F在BD上，∠ABC＝45°，BE＝DF＝AE，求证：四边形AECF是正方形． 【答案】证明：如图，连接AO交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形 ∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AB＝AD，∠ABE∠ABC＝22.5° ∵BE＝DF ∴OE＝OF，且AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥BD ∴四边形AECF是菱形 ∴AE＝AF， ∵AE＝BE， ∴∠ABE＝∠BAE＝22.5° ∴∠AEF＝∠ABE+∠BAE＝45°， ∵AE＝AF ∴∠AEF＝∠AFE＝45° ∴∠EAF＝90° ∴菱形AECF是正方形 7.在四边形ABCD中如图，∠A＝∠B＝90°，将△AED、△DCF分别沿着DE、DF翻折，点A、C都分别与EF上的点G重合． （1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若AB＝6，点F是BC的中点，求AE的长． 【答案】解：（1）证明：由翻折的性质可知：△ADE≌△GDE，△DCF≌△DGF， ∴AD＝DG＝DC，∠A＝∠DGE＝90°，∠C＝∠DGF＝90°， ∵∠B＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∵DA＝DC， ∴四边形ABCD是正方形． （2）设AE＝EG＝x，则BE＝6﹣x，EF＝x+3，BF＝3， 在Rt△BEF中，∵EF2＝BE2+BF2， ∴（x+3）2＝（6﹣x）2+32， ∴x＝2， ∴AE＝2． 十二、菱形性质和判定的综合 1.下列关于菱形的说法，错误的是（　　） A.菱形的邻边相等 B.菱形的对角线互相平分 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.四条边相等的四边形是菱形 【答案】C 【解析】∵菱形的性质有：四边相等，对角线互相垂直平分， 菱形的判定有：四边相等的四边形是平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴C选项不符合题意， 故答案为：C． 2.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（　　） A.只有甲 B.只有乙 C.甲和乙 D.甲乙都不是 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD， ∵BM＝DN， ∴OM＝ON， ∵OA＝OC，MN⊥AC， ∴四边形AMCN是菱形， 故方案甲正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC， ∵AM，AN是∠BAC和∠DAC的平分线， ∴∠MAC＝∠NAC， ∵∠AOM＝∠AON＝90°， 在△AOM和△AON中， ， ∴△AOM≌△AON（ASA）， ∴OM＝ON， ∵OA＝OC， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∵AC⊥MN， ∴四边形AMCN是菱形． 故方案乙正确． 故选：C． 3.两张宽度相同的矩形纸片按如图方式交叉叠放在一起，，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（    ）    A.2 B. C.1 D. 【答案】D 【解析】解：如图， 四边形和四边形是全等的矩形， ，，， 四边形是平行四边形， 在和中， ， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形， 设， 则， 在中，由勾股定理得， 解得， 图中重叠（阴影）部分的面积， 故选：D．    4.如图，矩形的对角线于相交于点，将沿折叠，点落在点处，交于点，连接、．      （1）线段与的位置关系是      ； （2）若，，则四边形的周长为      ． 【答案】 【解析】（1）由折叠知，在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）在矩形中，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 在中，∵，， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的周长为． 5.如图，有甲乙两张纸条，甲纸条对折后与乙纸条宽度相等，将这两张纸条随意交叉重叠放在一起，重合的部分构成一个四边形ABCD，那么AB与BC的数量关系是　         　． 【答案】AB＝2BC 【解析】过A作AE⊥CD于E、作AF⊥GH于F， 根据题意得：甲纸条对折后与乙纸条宽度相等， 则AF＝AE， ∵四边形AGHD是平行四边形， ∴∠AGF＝∠ADE， 在△AGF和△ADE中，， ∴△AGF≌△ADE， ∴AG＝AD， 又∵AGAB＝AG，AD＝BC， ∴AB＝BC， ∴AB＝2BC． 故答案为：AB＝2BC． 6.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是菱形． （2）若∠ACB＝30°，菱形OCED的面积为2，求AC的长． 【答案】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC＝OD， ∴四边形OCED是菱形； （2）解：∵四边形OCED是菱形， ∴S菱形OCED＝2S△OCD， ∵∠ACB＝30°， ∴ABAC，BCAC， ∴S菱形OCEDAC•AC＝2， 解得AC＝4． 7.如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC，AD上，AE＝AF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC， ∵AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线， ∴，， ∴∠DAE＝∠BCF， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BCF＝∠AEB， ∴AE∥FC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝AF， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝EB， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB＝AE＝BE＝4，BE边上的高为， 由（1）知四边形AECF是菱形， ∴AE＝CE＝4， ∴BC＝8， ∴平行四边形ABCD的面积为：． 十三、根据菱形的性质求角的度数 1.如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（　　） A.72° B.90° C.100° D.108° 【答案】A 【解析】连接PA，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADP＝∠CDP∠ADC＝36°，BD所在直线是菱形的对称轴， ∴PA＝PC， ∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P， ∴PA＝PD， ∴PD＝PC， ∴∠PCD＝∠CDP＝36°， ∴∠CPB＝∠PCD+∠CDP＝72°； 故选：A． 2.如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠BDC的度数为（　　） A.20° B.30° C.35° D.40° 【答案】C 【解析】∵∠1＝50°，∠2＝20°， ∴∠BCD＝110°， 在菱形ABCD中， BC＝CD， ∴∠BDC＝35°， 故选：C． 3.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　） A.20° B.25° C.30° D.35° 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AC⊥BD ∴∠OBC＝∠1＝70°， ∵AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠OBC＝20°， 故选：A． 4.菱形的两个邻角的度数之比是1：3，则菱形的较小的内角为　  　度． 【答案】45 【解析】∵菱形的相邻两个内角互补，且其度数比为1：3 ∴设较小的内角为x，则其邻角为3x，x+3x＝180° ∴x＝45° 即较小的内角为45° 45．故答案为 5.如图，菱形ABCD中，点E是对角线AC上一点，BE的延长线交边CD于点F若∠1+∠2＝75°，则∠3的度数为　 　． 【答案】30° 【解析】∵四边形ABCD为菱形， ∴BC＝CD，∠BCA＝∠DCA， ∴△BEC≌△DEC， ∴∠EDC＝∠1， ∵∠1+∠2＝75°， ∴∠EDC+∠2＝75°， ∴∠AED＝∠EDC+∠2＝75°， ∴∠BED＝2∠AED＝150°， ∴∠3＝30°． 故答案为：30°． 6.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，且E为边AB的中点． （1）求∠A的度数； （2）如果AB＝4，求对角线AC的长． 【答案】解：连接AC，BD （1）∵四边形ABCD是菱形 ∴AD＝AB ∵E是AB中点，DE⊥AB ∴AD＝DB ∴AD＝DB＝AB ∴△ADB是等边三角形 ∴∠A＝60° （2）∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，∠DAC∠DAB＝30°，AO＝CO，DO＝BO ∵AD＝BA＝4 ∴DO＝2，AODO＝2 ∴AC＝4 7.如图所示，等边三角形AEF内接于菱形ABCD，若AE＝AB，求∠C的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD， 设∠B＝∠D＝x，BC∥AD， ∵AE＝AF＝AB＝AD， ∴∠B＝∠AEB＝∠D＝∠AFD， ∴∠BAE＝∠DAF＝180°﹣2x， ∵BC∥AD， ∴∠B+∠BAD＝180°， ∴x+2（180°﹣2x）+60°＝180°， ∴x＝80°， ∴∠C＝∠BAD＝100°． 十四、根据菱形的性质求面积 1.菱形的周长为32cm，一个内角的度数是120°，则该菱形的面积为（　　） A. B. C.32cm2 D.16cm2 【答案】A 【解析】 如图，菱形ABCD中，∠ADC＝120°， 连接BD，过D作DH⊥AB于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DC∥AB，AD＝AB， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∵∠ADC﹣120°， ∴∠A＝60°， ∴△ADB是等边三角形， ∵DH⊥AB， ∴AHAB， ∵菱形的周长是32cm， ∴AB32＝8（cm）， ∴AH＝4cm， ∴DH4cm， ∴菱形的面积＝AB•DH＝32cm2． 故选：A． 2.已知菱形的周长为20cm，两条对角线的比为3：4，则菱形的面积为（　　） A.48 B.24 C.12 D.384 【答案】B 【解析】 如图所示： 设菱形的对角线分别为AC＝3a，BD＝4a， 则OAa，OB＝2a，AC⊥BD， ∵菱形的周长为20， ∴AB＝5， ∴（a）2+（2a）2＝52， ∴a2＝4， ∴菱形的面积3a×4a＝6a2＝24． 故选：B． 3.如图，已知菱形ABCD的周长为40，对角线AC、BD交于点O，且AO+BO＝14，则该菱形的面积等于（　　） A.24 B.56 C.96 D.48 【答案】C 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA， ∵菱形ABCD的周长为20， ∴AD＝AB＝10， ∵AO+BO＝14， ∴AO2+BO2+2AO•BO＝142， ∵AO2+BO2＝AB2， ∴102+2AO•BO＝142， ∴AO•BO＝48， ∴菱形的面积＝4×S△AOD＝4AO•BO＝2×48＝96， 故选：C． 4.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，点P是菱形ABCD内一点，连接BP、CP，且∠ABP+∠DCP＝90°，连接AP、DP，则△APD面积的最小值为 　 　． 【答案】 ． 【解析】 在菱形ABCD中，∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABP+∠DCP＝90°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°， ∴BP⊥PC， ∴当△APD面积的最小时，P到AD的距离最小，即P到BC的距离最大， ∴当Rt△BPC是等腰直角三角形时，即P到BC的距离最大， 过C作CF⊥AD于F，PE⊥BC于E， 在菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴CFCD，PEAB＝1， ∴P到AD的距离1， ∴△APD面积的最小值为， 故答案为：． 5.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若，，则菱形ABCD的面积为 　 　． 【答案】 4． 【解析】 ∵E、F分别是AB，BC边上的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴AC＝2EF＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OCAC，OB＝OD，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴OB2， ∴BD＝2OB＝4， ∴菱形ABCD的面积AC•BD24＝4， 故答案为：4． 6.如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点都在正方形网格的格点上． （1）请在下面的网格中作出菱形ABCD（点C，D都在正方形网格的格点上，作出一个符合题意的图形即可）； （2）在（1）中作出的菱形面积是 ． 【答案】解：（1）如图所示菱形ABCD即为所求， ； （2）S菱形ABCD＝5×4＝20， 故答案为：20． 7.如图，已知四边形ABCD是菱形，延长AD至点E，使AE＝2BC． （1）求证：∠ACE＝90°； （2）若AC＝16，BC＝10，求四边形ABCE的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝DC＝BC， ∵AE＝2BC， ∴AD＝DE＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA，∠DCE＝∠E， ∵∠DAC+∠DCA+∠DCE+∠E＝180°， ∴∠DCA+∠DCE＝90°， ∴∠ACE＝90°； （2）解：连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD， ∵AC＝16，BC＝10， ∴OC＝8，BC＝10， ∴OB， ∴BD＝12， ∴四边形ABCE的面积144． 十五、根据矩形的性质求边长 1.如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB．若PB的最小值为5，则AD的值为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】A 【解析】解：分别取CD、DE的中点H、G， 当F运动时，P点轨迹为GH，如图， ∵AB：AD=2：1， ∴AD=AE=EB=BC， ∴∠ADE=∠DEA=∠CEB=∠ECB=45°， ∴∠DEC=90°， BP的最短距离为BP⊥GH时，此时P点与H点重合，F点与C点重合． ∵H为CD中点， ∴CH=CB，∠GHB=90°， 在Rt△HCB中，BH=5， ∴CH=CB=5， 故选：A． 2.矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为（　　） A.1cm B.2cm C.2.5cm D.4cm 【答案】D 【解析】矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°， 根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO，则OA＝OD，∠DAO＝45°， 所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝2AB，由矩形ABCD的周长为24cm得到，24＝2AB+2×2AB， 解得AB＝4cm．故选D． 3.点P是矩形内一点，且满足，，，则的值为（    ） A.3 B.5 C. D. 【答案】D 【解析】过点向矩形的四边分别作垂线，垂直分别为，如图， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 设， 则， ， ，，， ． 故选：D． 4.如图，矩形的边在y轴上，边在x轴上，C点坐标为，点D是线段上的一个动点，连接，以为边作矩形，使边过点B．连接，当点D与点A重合时，所作矩形的面积为18．在点D的运动过程中，线段最大值为     ．    【答案】/ 【解析】解：当点D与点A重合时，如图：    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，C、B均为定点， ∴F可以看作是在以为直径的圆上，取的中点M， 则，， ∴当O、M、F三点共线时，有最大值，最大值． 故答案为：． 5.如图，矩形中，，点是线段上的动点，点是线段上的动点，则的最小值是          ．    【答案】 【解析】解：以直线为轴，将往上翻转，如图，    过点A作于点，交于点． 当与点重合，与点重合时． 最短（直线外一点到这条近线中垂线段最短）． 矩形中，， 又 为等边三角形，且， 故答案为． 6.如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作交于点，求的长．    【答案】解：如图，连接，    ∵四边形是矩形，且，， ∴，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， 设，， 在中，， 即， 解得，即， ∴． 7.如图，已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OF⊥AD于点F，OF＝3cm，AE⊥BD于点E，且BE：ED＝1：3，求AC的长． 【答案】解：由矩形的性质可知OA＝OB， ∵BE：ED＝1：3， ∴E是OB的中点． 又∵CD⊥AD， ∴OC＝CD， ∴OC＝CD＝OD， 由矩形是轴对称图形得CD＝2OF＝6cm， 所以，AC＝2OC＝2CD＝12cm．即AC＝12cm． 十六、根据直角三角形的性质求角 1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠BAD＝35°，E是斜边BC的中点，则∠DAE的度数为（　　） A.15° B.20° C.25° D.30° 【答案】B 【解析】∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝35°， ∴∠B＝90°﹣∠BAD＝55°， ∵∠BAC＝90°，E是斜边BC的中点， ∴AE＝BEBC， ∴∠B＝∠BAE＝55°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝20°， 故选：B． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝32°，点D为AB的中点，连接CD，则∠ADC的度数为（　　） A.32° B.64° C.58° D.54° 【答案】B 【解析】∵点D为AB的中点，∠ACB＝90°， ∴CD＝DB， ∴∠DCB＝∠B＝32°， ∴∠ADC＝∠DCB+∠B＝32°+32°＝64°， 故选：B． 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD的度数为（　　） A.30° B.45° C.22.5° D.60° 【答案】B 【解析】∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD， ∴∠BCD＝22.5°，∠ACD＝67.5°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A＝90°﹣67.5°＝22.5°， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是斜边AB的中点， ∴CEAB＝AE， ∴∠ECA＝∠A＝22.5°， ∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ECA＝67.5°﹣22.5°＝45°， 故选：B． 4.如图，∠ACB＝90°，∠A＝20°，点D是AB的中点，则∠DCB的度数是 　 　． 【答案】70°． 【解析】∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴CDAB＝AD， ∴∠ACD＝∠A＝20°， ∴∠DCB＝90°﹣20°＝70°， 故答案为：70． 5.在△ABC中，∠BAC＝90°，P是BC的中点，M、N分别是CA、BA延长线上的点，且AM＝ANBC，则∠MPN的度数为 　  　． 【答案】45°． 【解析】连接PA并延长到点D， ∵∠BAC＝90°，P是BC的中点， ∴APBC， ∵AM＝ANBC， ∴AM＝AP，AN＝AP， ∴∠M＝∠APM，∠N＝∠APN， ∵∠DAM＝∠M+∠APM，∠DAN＝∠N+∠APN， ∴∠DAM＝2∠APM，∠DAN＝2∠APN， ∴∠MAN＝∠DAM+∠DAN ＝2∠APM+2∠APN ＝2（∠APM+∠APN） ＝2∠MPN， ∵∠MAN＝∠BAC＝90°， ∴∠MPN∠MAN＝45°， 故答案为：45°． 6.如图，BE、CF是△ABC的两条高，P是BC边的中点，连接PE、PF、EF． （1）求证：PE＝PF； （2）若∠A＝70°，求∠EPF的度数． 【答案】（1）证明：∵BE、CF是△ABC的两条高， ∴∠BFC＝∠BEC＝90°， ∵P是BC边的中点， ∴BP＝FPBC，CP＝EPBC， ∴PE＝PF； （2）解：∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°， 由（1）得： PE＝PF，EP＝CP， ∴∠ABC＝∠BFP，∠ACB＝∠CEP， ∴∠BFP+∠CEP＝∠ABC+∠ACB＝110°， ∴∠FPB+∠EPC＝360°﹣（∠ABC+∠ACB+∠BFP+∠CEP）＝140°， ∴∠EPF＝180°﹣（∠FPB+∠EPC）＝40°， ∴∠EPF的度数为40°． 7.如图，在Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EP过点C且平行于AB．若∠BCF＝35°，求∠ACD的度数． 【答案】解：∵AB∥EF， ∴∠B＝∠BCF＝35°， ∵DC是斜边AB上的中线， ∴DC＝DB， ∴∠DCB＝∠B＝35°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°． 十七、根据正方形的性质求角的度数 1.如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AB＝AE，则∠DBE度数是（　　） A.15° B.32.5° C.22.5° D.30° 【答案】C 【解析】∵AC、BD是正方形ABCD对角线， ∴∠BAE＝∠ABD＝45°， 又AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°， ∴∠DBE＝67.5°﹣45°＝22.5°， 故选：C． 2.如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB、ED．延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，则∠AFE的度数为（　　） A.65° B.70° C.60° D.80° 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA， 在△BEC和△DEC中， ， ∴△BEC≌△DEC（SAS）． ∵∠DEB＝140°， ∴∠DEC＝∠BEC＝70°， ∴∠AEF＝∠BEC＝70°， ∵∠DAB＝90°， ∴∠DAC＝∠BAC＝45°， ∴∠AFE＝180°﹣70°﹣45°＝65°， 故选：A． 3.如图，正方形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1＝65°，则∠2的度数为（　　） A.65° B.55° C.35° D.25° 【答案】D 【解析】如图，过点D作DE∥a， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°， ∵a∥b， ∴DE∥a∥b， ∴∠3＝∠1＝65°， ∴∠4＝90°﹣∠3＝25°， ∴∠2＝∠4＝25°， 故选D． 4.已知正方形ABCD中，P为直线AD上一点，以PD为边做正方形PDEF，使点E在线段CD的延长线上，连接AC、AF．若，则的度数为        . 【答案】或 【解析】解：（1）当点P在DA的延长线上时，AD<PD，不符合，故这种情况不成立； （2）当点P在线段DA上时，如图： 连接FD，∵正方形PDEF中，FD=PD, ，∠ADF=45°， ∴FD=AD，∠DAF=∠AFD=（180°-45°）÷2=67.5°， ∴=∠CAD+∠DAF=45°+67.5°=； （3））当点P在AD的延长线上时，如图： 连接FD，∵正方形PDEF中，FD=PD, ，∠PDF=45°=∠FAD+∠DFA， ∴AD=DF，∠FAD=∠DFA =45°÷2=22.5°， ∴=∠CAD+∠DAF=45°+22.5°=67.5°； 故答案为或 5.如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC延长线上的一点，且AC=CE，则∠E=             【答案】22.5° 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB=45°，， ∵AC=EC， ∴∠E=∠CAE， ∵∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E， 故答案为：22.5° 6.已知正方形ABCD，∠ADE＝∠EAD＝15°，求△BEC各内角度数． 【答案】解：如图，过点E作EF⊥AD于点F；作∠ADM＝60°， 则∠MDE＝75°；而∠ADE＝∠EAD＝15°， ∴AE＝DE，EF平分∠AED，AF＝DF； ∴∠DEM75°， ∴∠M＝180°﹣2×75°＝30°，∠MED＝∠MDE＝75° ∴DM＝2DF，MD＝ME；而DC＝AD＝2DF， ∴MD＝CD；在△MDE与△CDE中， ， ∴△MDE≌△CDE（SAS）， ∴ME＝EC；同理可证ME＝BE； ∴BE＝CE＝MD＝DC＝BC， ∴△BEC为等边三角形， ∴△BEC各内角度数为60°． 7.如图，正方形ABCD中，点E在正方形ABCD外，△AEB为等边三角形，求∠BED的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，△AEB为等边三角形， ∴AD＝AB＝AE，∠DAB＝90°，∠BAE＝∠AEB＝60°， ∴∠DAE＝90°+60°＝150°， ∴∠AED＝∠ADE15°， ∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°． 即∠BED的度数45°． 学科网（北京）股份有限公司 $$