第一章 三角形（举一反三单元测试·培优卷）数学苏科版2024八年级上册

第一章 三角形·培优卷 【苏科版2024】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·上海静安·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．2，2，3 D．10，5，5 2．（3分）（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 3．（3分）（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，在中，是的中点，．若添加一个条件可以证明是等边三角形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D．以上都可以 4．（3分）（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在中，是边上的中线，是的中点，若的面积为，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 5．（3分）（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 6．（3分）（2025·河北沧州·模拟预测）下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（   ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是 7．（3分）（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．若，，则的长可能是（） A．1 B．3 C．5 D．7 8．（3分）（2025·山西·一模）墙面上贴有规格相同的矩形瓷砖．如图，矩形瓷砖与矩形瓷砖之间用三角形瓷砖与三角形瓷砖拼接，点B，C，E与点B，D，G分别在同一直线上．小雅发现与全等，她的依据是（    ） A． B． C． D． 9．（3分）（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（3分）（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且B，C，D在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（   ） ①；②为的平分线；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，，要使，还需要添加一个条件是 （添加一个即可） 12．（3分）（24-25八年级下·四川达州·期末）若的两条边分别长和，第三边的长是一个奇数，则第三边长 ． 13．（3分）（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为 ． 14．（3分）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 15．（3分）（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在一个房间内，一把长米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为），此时梯子与地面夹角为，那么D、E两点间的距离是 米． 16．（3分）（2025·浙江金华·二模）如图，在锐角中，，将绕点逆时针旋转度，得到，点和点的对应点分别为点和点，当点落在上时，恰有，则 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点E，F在上，，，且． (1)与全等吗？请说明理由： (2)与平行吗？为什么？ 18．（6分）（24-25八年级下·四川成都·期末）如图所示，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求． 19．（8分）（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线交于点，连接，交于点． (1)求证：平分； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 20．（8分）（24-25八年级下·上海青浦·期中）如图，在中，，点E、F分别在边上，且，连接和相交于点G． (1)求证：； (2)求的度数． 21．（10分）（23-24八年级上·河北石家庄·期中）作图题： 如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图中画，使； (2)在图中画，使； (3)在图中画，使． 22．（10分）（23-24八年级下·河南郑州·期末）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 23．（12分）（2024·黑龙江佳木斯·一模）是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 24．（12分）（2025·安徽淮北·三模）如图1，点在的平分线上． (1)若，求证：． (2)如图2，若． ①已知，求的度数． ②点在上，若，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形·培优卷 【苏科版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·上海静安·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．2，2，3 D．10，5，5 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定需要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：A中，三条线段不能构成三角形，故不符合题意； B中，三条线段不能构成三角形，故不符合题意； C中，三条线段能构成三角形，故符合题意； D中，三条线段不能构成三角形，故不符合题意； 故选：C． 2．（3分）（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，根据题意可得，，然后证明出，即可得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， 由折叠得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴一定是等腰三角形． 故选：B． 3．（3分）（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，在中，是的中点，．若添加一个条件可以证明是等边三角形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D．以上都可以 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定．先证明是线段的垂直平分线，推出，，再根据等边三角形的判定定理即可判断． 【详解】解：∵是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， 当添加时， ∴是等边三角形； 当添加时，则， ∴是等边三角形； 当添加时，则， ∴是等边三角形； 故选：D． 4．（3分）（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在中，是边上的中线，是的中点，若的面积为，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：． 5．（3分）（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 【详解】在上截取连接,    ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 6．（3分）（2025·河北沧州·模拟预测）下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（   ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是 【答案】B 【分析】本题为关于全等三角形判定定理，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，是否满足三角形的判定定理是解答本题的关键．根据“”可判断Ⅰ，根据“” 可判断Ⅱ． 【详解】解：Ⅰ可以根据“”来作出完全相同的三角形，Ⅱ可以根据“”来作出完全相同的三角形． 故选：B． 7．（3分）（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．若，，则的长可能是（） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形的构成条件，解题的关键是熟练掌握全等三角形中倍长中线模型的应用．由，得，由是边的中点，得，从而可得，即得，，，在中，，即得即，，即可求解． 【详解】解：， ， 是边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，，即， ， ， 只有选项B符合要求， 故选：B. 8．（3分）（2025·山西·一模）墙面上贴有规格相同的矩形瓷砖．如图，矩形瓷砖与矩形瓷砖之间用三角形瓷砖与三角形瓷砖拼接，点B，C，E与点B，D，G分别在同一直线上．小雅发现与全等，她的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据矩形的性质得到，，即可由证明全等． 【详解】解：∵矩形瓷砖与矩形瓷砖，且规格相同， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9．（3分）（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据旋转的性质，得，，得证；结合，得到，根据，选择即可． 【详解】解：根据旋转的性质，得，， ∴； ∵， ∴， ∵， 故选：B． 10．（3分）（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且B，C，D在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（   ） ①；②为的平分线；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据四边形内角和等于可判断结论①正确；过E点作的延长线于F点，作于G点，根据证明，则可得，根据角平分线的判定可得结论②正确；根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，根据 线段垂直平分线的判定可得结论③正确；由可得，可得结论④不正确． 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，线段垂直平分线的判定和性质．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ， ∵， ， ∵四边形中，， ． 故结论①正确； 如图，过E点作的延长线于F点，作于G点． 则， ，， ， 又， ， ， ∴为的平分线． 故结论②正确； ， 平分， ∴垂直平分， ∴． 故结论③正确； ， 而， ， ． 故结论④不正确； 综上，正确的结论有3个． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，，要使，还需要添加一个条件是 （添加一个即可） 【答案】或或（添加一个即可） 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理，结合已知的相等关系，求解即可． 【详解】在和中，，， 添加，用边角边证； 添加，用角边角证； 添加，用角角边证； 故答案为：或或． 12．（3分）（24-25八年级下·四川达州·期末）若的两条边分别长和，第三边的长是一个奇数，则第三边长 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三边长的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵的两条边分别长和， ∴第三边长， ∵第三边的长是一个奇数， ∴第三边长， 故答案为：3． 13．（3分）（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/26度 【分析】本题考查了角的平分线，三角形外角性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．设的交点为M，延长交于点N，根据，得，代入解答即可． 【详解】解：设的交点为M，延长交于点N， ∵，的角平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（3分）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可． 【详解】解：过点作交延长线于点， 则∠DMC=90°=∠ABC， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故填． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键． 15．（3分）（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在一个房间内，一把长米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为），此时梯子与地面夹角为，那么D、E两点间的距离是 米． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，解题关键是通过角度计算和梯子长度不变，判定为等边三角形． 连接，先计算出，结合梯子长度不变得到，判定是等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质，得出米，从而求出、两点间距离． 【详解】解：连接， ∵，， ∵． ∵梯子长度不变， ∴米， ∴是等边三角形， ∴米． 故答案为． 16．（3分）（2025·浙江金华·二模）如图，在锐角中，，将绕点逆时针旋转度，得到，点和点的对应点分别为点和点，当点落在上时，恰有，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，根据旋转得到，等边对等角求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：30． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点E，F在上，，，且． (1)与全等吗？请说明理由： (2)与平行吗？为什么？ 【答案】(1)全等，见解析 (2)平行，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）先由得到，然后平行导角得到，再由，即可利用证明； （2）由，得到，即可证明平行． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 18．（6分）（24-25八年级下·四川成都·期末）如图所示，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明得到，据此可证明； （2）证明得到；再由全等三角形的性质得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解；∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（8分）（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线交于点，连接，交于点． (1)求证：平分； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，见解析 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明，得出，根据等腰三角形三线合一的性质即可求解． （2）根据，得出，结合，得出，结合，即可证明． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分， 即平分． （2）解：是等边三角形，理由： ， ， ， ， ， ， ， E是等边三角形． 20．（8分）（24-25八年级下·上海青浦·期中）如图，在中，，点E、F分别在边上，且，连接和相交于点G． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据可得，，然后即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质结合即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 则在中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 21．（10分）（23-24八年级上·河北石家庄·期中）作图题： 如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图中画，使； (2)在图中画，使； (3)在图中画，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（）根据网格线的特点及轴对称的性质作图； （）根据网格线的特点及旋转的性质作图； （）根据网格线的特点及平移的性质作图； 此题考查了作图的应用，掌握网格线的特点及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）如图： ∴即为所求； （2）如图： ∴即为所求； （3）如图： ∴即为所求． 22．（10分）（23-24八年级下·河南郑州·期末）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． （1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可． 【详解】（1）解：乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． 故答案为：，； （2）解：答案不唯一． 选甲：在和中， ， ∴， ； 选乙：，， ， 在和中， ， ∴， ； 选丙： 在和中， ， ∴， ． 23．（12分）（2024·黑龙江佳木斯·一模）是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 【答案】(1)图①的猜想：，证明见解析 (2)图②：，图③： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）如图，作交于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；如图，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； 【详解】（1）， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）如图，作交于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即； 如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 24．（12分）（2025·安徽淮北·三模）如图1，点在的平分线上． (1)若，求证：． (2)如图2，若． ①已知，求的度数． ②点在上，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的意义，解题关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）先利用证明，再根据全等三角形的性质得出结论成立； （2）①先利用证明，再根据全等三角形的性质得出，从而可证得，再根据等边对等角证得，进而求得； ②先利用证明，再根据全等三角形的性质得出，根据，得出，从而可得结论成立． 【详解】解：（1）证明：， ． 平分， ． 又， ， ． （2）①如图，在上截取，连接． 平分， ， ∵， ， ． ， ∴， ， ， ． ． ②证明：如图，连接， 在和中， ， ． ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$