第十四章 全等三角形（举一反三单元测试·培优卷）数学人教版2024八年级上册

第十四章 全等三角形·培优卷 【人教版2024】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 2．（3分）（2025·贵州铜仁·三模）木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（   ） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点C是的角平分线上的一点，于点D，，，动点P在射线OB上运动，它到点C的最小距离为（   ） A．2 B．5 C．3 D．无法确定 4．（3分）（24-25七年级下·山西晋中·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 6．（3分）（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（3分）（2025·四川成都·模拟预测）如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，添加下列条件后不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，在中，于点，为边上中线，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为（ ） A．30 B．15 C． D． 9．（3分）（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分， ，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 10．（3分）（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，E是的中点，平分．有下列结论：其中正确的是（  ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在同一直线上，，且，已知，，则的长为 ． 12．（3分）（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的 块带去，就能配一块大小和形状与原来都一样的三角形． 13．（3分）已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形． 14．（3分）（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ．    15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．    16．（3分）（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级上·北京·期中）如图，点在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 18．（6分）（24-25七年级下·四川成都·期末）如图所示，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求． 19．（8分）（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【主题】：军事训练中的距离测量问题： 【素材】：在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点）与对岸目标（点）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野外环境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法来解决这一难题． 【实践操作】：如图所示： 步骤：面向点竖直站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点； 步骤：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点； 步骤：步测得米，已知小王身高为，帽顶到眼睛的垂直距离为． 【问题解决】： (1)由上面实践操作可以知道距离是______米； (2)请用你所学数学知识，说明（1）中所填结论的正确性． 20．（8分）（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，在中，，是过点的直线，点、在的两侧，于，于点，且． (1)求证：； (2)若，，请求出的长． 21．（10分）（24-25八年级上·吉林·期末）如图，已知中，点在上，连接，并延长至点，使． (1)画图：作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 22．（10分）（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，的面积为64，求的长． 23．（12分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，延长到点，连接，过点作，过点作，连接，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于点． (1)请说明线段与线段平行吗？并说明理由． (2)请说明与全等吗？并说明理由． (3)请说明线段与线段的关系？并说明理由． 24．（12分）（24-25七年级下·广东深圳·期末）定义：两个不全等的三角形，若有一组公共边和一个公共角，且公共角所对的边相等，我们就称这两个三角形为“双赢三角形”．例如，在图1中，与有公共边和公共角，且，则与是双赢三角形．如图2，在中，是边上任意一点． (1)若和是“双赢三角形”，，则 ； (2)如图3，延长到点，连接和，，，． ①试说明：与是“双赢三角形”； ②若，，求的长； ③若，，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 全等三角形·培优卷 【人教版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的定义等知识点，掌握全等三角形的概念是解题的关键． 根据全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，原说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、能够完全重合的两个三角形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； D、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 2．（3分）（2025·贵州铜仁·三模）木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得，，结合即可证明，即可得证． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（3分）（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点C是的角平分线上的一点，于点D，，，动点P在射线OB上运动，它到点C的最小距离为（   ） A．2 B．5 C．3 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等、垂线段最短的性质．熟记全等三角形的判定是解题的关键．当时，根据三角形全等可得，再根据全等的性质解答即可． 【详解】解：根据垂线段最短可知：当时距离最小， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．（3分）（24-25七年级下·山西晋中·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：, , 在和中， ， ． 故选B． 5．（3分）（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．证明，得到，，即可求解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故选：A． 6．（3分）（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．利用“”证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 7．（3分）（2025·四川成都·模拟预测）如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，添加下列条件后不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：是等边三角形， ，， A、由，得到，由SAS判定≌，故A不符合题意； B、由，得到，由AAS判定≌，故B不符合题意； C、由ASA判定≌，故C不符合题意； D、和分别是CD和AE的对角，不能判定≌，故D符合题意． 故选：D． 8．（3分）（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，在中，于点，为边上中线，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为（ ） A．30 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．作于点，根据三角形的角平分线的性质定理求得，利用三角形的面积公式得到，再根据三角形的中线性质即可求解． 【详解】解：作于点， ∵，平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为边上中线， ∴， 故选：C． 9．（3分）（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分， ，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，证明，得，再证明得，进而得，由此即可得出的长． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，线段中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图， ∵点为的中点，，， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10．（3分）（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，E是的中点，平分．有下列结论：其中正确的是（  ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】过E作于F，易证得，得到；而点E是BC的中点，得到，则可证得，得到，也可得到，，即可判断出正确的结论． 【详解】解：过E作于F，如图， ∵，平分， ∴，， ∴，， ∴； 而点E是的中点， ∴，所以①错误； ∵， ∴， ∴， ∴，所以④正确；∴，所以③正确， ∴， ∴，所以②正确． 综上：②③④正确． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在同一直线上，，且，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，线段的和与差．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．根据平行线的性质结合题意易证明，得出，从而可证，结合，，即可求出，从而可求出． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即 ∵，， ∴， ∴． 故答案为：8.5． 12．（3分）（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的 块带去，就能配一块大小和形状与原来都一样的三角形． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故答案为：2． 13．（3分）已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形． 【答案】3 【分析】由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻时要由易到难，逐个验证． 【详解】解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB， ∴△ADB≌△ACB； ∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO， ∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB ∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO． ∴图中共有3对全等三角形． 故答案为3． 14．（3分）（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ．    【答案】/100度 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理的运用，利用条件判定是解题的关键．由条件可证明，再结合外角的性质可求得，再利用三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：在和中， ， ， ． ， ， ． 故答案为：． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．    【答案】3 【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论． 【详解】解：如图，连接AD．    在Rt△ADF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL）， ∴DF＝DC， ∵BD＝5，BC＝4， ∴CD＝DF＝5﹣4＝1， ∵EF＝BC＝4， ∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 16．（3分）（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．分两种情况：当点P在上时，若；当点P在上时，若，结合全等三角形的判定解答即可． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 综上所述，当t的值为1或秒时，和全等． 故答案为：1或． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级上·北京·期中）如图，点在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形全等的性质与判定，掌握全等知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明； （）由全等三角形的性质得，再通过三角形外角性质求出即可； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 18．（6分）（24-25七年级下·四川成都·期末）如图所示，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明得到，据此可证明； （2）证明得到；再由全等三角形的性质得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解；∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（8分）（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【主题】：军事训练中的距离测量问题： 【素材】：在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点）与对岸目标（点）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野外环境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法来解决这一难题． 【实践操作】：如图所示： 步骤：面向点竖直站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点； 步骤：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点； 步骤：步测得米，已知小王身高为，帽顶到眼睛的垂直距离为． 【问题解决】： (1)由上面实践操作可以知道距离是______米； (2)请用你所学数学知识，说明（1）中所填结论的正确性． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】根据全等三角形的性质求解； 根据全等三角形的性质求解． 本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由上面实践操作可以知道距离是米； 故答案为：； （2）解：在和中， ， ≌， 米． 20．（8分）（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，在中，，是过点的直线，点、在的两侧，于，于点，且． (1)求证：； (2)若，，请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定得出，结合其性质及等量代换确定，即可证明； （2）根据全等三角形的性质结合图形即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ． ，， ， ，即， ． （2）解：由（1）得，， ， ． 而，，， ， 答：的长为3． 21．（10分）（24-25八年级上·吉林·期末）如图，已知中，点在上，连接，并延长至点，使． (1)画图：作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了基本作图—角平分线，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作出的平分线即可； （2）证明得出，进而即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求： ； （2）证明：，， ，， 由（1）知：平分， ， 在和中， ， ， ， ． 22．（10分）（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，的面积为64，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、角平分线的性质、中线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得，再根据角平分线的定义即可解答； （2）由三角形中线的性质可得的面积为32，再根据角平分线的性质可得，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴． （2）解：∵为的中线，的面积为64， ∴的面积为32， ∵为的角平分线，，为的高， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，解得：． 23．（12分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，延长到点，连接，过点作，过点作，连接，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于点． (1)请说明线段与线段平行吗？并说明理由． (2)请说明与全等吗？并说明理由． (3)请说明线段与线段的关系？并说明理由． 【答案】(1)线段与线段平行，理由见解解析 (2)与全等，理由见解解析 (3)，理由见解解析 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，点D在的延长线上即可得出答案； （2）根据得，根据点F是的中点得，由此可判定； （3）根据得，由等腰直角三角形性质得，进而得，证明，则可依据“”判定得，再由（2）的结论得，由此得． 【详解】（1）线段与线段平行，理由： ∵，点D在的延长线上， ∴； （2）与全等，理由： ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， 在与中， ， ∴； （3）线段与线段的关系是：，理由： ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， 综上可知，线段与线段的关系是：． 24．（12分）（24-25七年级下·广东深圳·期末）定义：两个不全等的三角形，若有一组公共边和一个公共角，且公共角所对的边相等，我们就称这两个三角形为“双赢三角形”．例如，在图1中，与有公共边和公共角，且，则与是双赢三角形．如图2，在中，是边上任意一点． (1)若和是“双赢三角形”，，则 ； (2)如图3，延长到点，连接和，，，． ①试说明：与是“双赢三角形”； ②若，，求的长； ③若，，求的度数． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②；③ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和与外角性质，熟练掌握相关的知识和方法并读懂新定义概念是解题的关键． （1）利用新定义可得，根据等边对等角求解； （2）①根据证明可得，据此证明即可； ②由得，再利用线段和差求解即可； ③根据等腰三角形的性质，结合外角性质求，再利用等腰三角形的性质求，最后利用角的和差求解即可． 【详解】（1）∵和是“双赢三角形”， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴与是“双赢三角形”； ②由①得， ∴， 又∵， ∴； ③由①得， ∴， ∵， ∴， 由②得， ∴， 由由①得， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$