15.3.2等边三角形(第1课时)（大单元教学课件）数学人教版2024八年级上册

人教版 八年级上册 15.3.2（第1课时) 第十五章 轴对称 等边三角形 情境引入 QING JING YIN RU 下面的交通标志是什么图形？什么是等腰三角形？ 思考 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 等腰三角形有哪些特征？ 等腰三角形是轴对称图形,底边上的高在对称轴上 等腰三角形两腰相等 等腰三角形两底角相等 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 按照下面的方法剪裁，你会得到一个什么三角形？ 把正方形纸对折成两个相同的小长方形，压出折痕展开 取正方形的一角翻折，使角的顶点与折痕重合于一点 连接各点并剪开，得到一个等边三角形 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 等腰三角形 等边三角形 一般三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 等边三角形三个内角之间有何关系？ 已知：△ABC 中，AB = AC = BC. 求证：∠A =∠B =∠C = 60°. 证明：∵ AB = AC， ∴∠B =∠C (等边对等角). 同理，∠A =∠C. ∴∠A =∠B =∠C. ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°. A B C 归纳总结 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 等边三角形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 等边三角形一定是锐角三角形吗？ 等边三角形仍然满足“三线合一”吗？ （1）等边三角形是轴对称图形,它有3条对称轴. （2）等边三角形三个角都相等,都是60°. （3）等边三角形三条边都相等. （4）等边三角形一定是锐角三角形. （5）等边三角形每条边上的中线，高和所对角的 平分线都“三线合一”. A B C 三条对称轴 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 图形 等腰三角形 等边三角形 性质 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 3 条对称轴 1 条对称轴 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 且都是 60° 两条边相等 三条边都相等 三个角都相等， 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三条边相等，三角六十度， 个个都相同，你要记清楚。 思考等边三角形的定义. 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 分类讨论 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 求证：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 证明： 情况一： 若顶角∠A=60°， 由三角形的内角和得∠B=∠C= （180°-60°）=60° ∴∠A=∠B=∠C ∴△ABC为等边三角形 A B C 情况二： 若底角∠B=∠C=60°， 由三角形的内角和得 ∠A=（180°-60°-60°）=60° ∴∠A=∠B=∠C ∴△ABC为等边三角形 综上所示，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三条边都相等的三角形是等边三角形 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 01 02 03 等边三角形的判定方法 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 根据条件判断下列三角形是否为等边三角形. 不 是 是 是 是 是 不一定 是 （1） 5 5 4 （2） 5 5 5 （3） 60° 60° （4） 60° （5） 5 5 60° （6） 5 5 60° 能否找到全等三角形？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 如图，△ABC 为等边三角形，AE = CD,AD,BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3,PE=1.求证：AD=BE. 图中是否有全等三角形？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 证明：∵ △ABC 为等边三角形，且 AD = BE = CF， ∴ AF = BD = CE，∠A =∠B =∠C = 60°. ∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）. ∴ DF = ED = FE. ∴△DEF 是等边三角形. 如图，等边△ABC 中，D、E、F 分别是各边上的点，且 AD = BE = CF． 求证：△DEF 是等边三角形． A C B D E F 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 【问题背景】如图①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG =∠CDH,根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH为正方形. 【类比探究】如图②，在正三角形ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF, AD,BE,CF,两两相交于D,E,F三点（D,E,F,三点不重合）. (1)△ABD，△BCE，△CAF是否是全等三角形？如果是请选择其中一组进行证明. 请同学们参照例4自行完成证明. 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 (2)△DEF是否是正三角形？请说明理由. (2)△DEF是正三角形，理由如下. ∵△ABD≌△BCE≌△CAF， ∴∠ADB=∠BEC=∠CFA， ∴∠FDE=∠DEF=∠EFD， ∴△DEF是正三角形. 思考等边三角形有哪些性质？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 证明：∵△ABD 是等边三角形，∴∠DAB＝60°. ∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠EBC＝180°－90°－30°＝60°． ∴∠FAE＝∠EBC． ∵ E 为 AB 的中点，∴ AE＝BE． 又∵∠AEF＝∠BEC， ∴△AEF≌△BEC (ASA)． 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠CAB = 30°，以 AB 为边在△ABC 外作等边△ABD，E 是 AB 的中点，连接 CE 并延长交 AD 于 F． 求证：△AEF≌△BEC． B C D A F E 课堂小结 QING JING YIN RU 边 角 三线 等边三角形 性质 三条边相等 类比 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 三个角都相等，且都是60º 边 角 边角 判定 三条边相等 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 三个角都相等 等腰三角形 只有顶角和底角相等时，才能成立 当堂练习 QING JING YIN RU C D 当堂练习 QING JING YIN RU ②③④ D △ADE也是正三角形. 等边三角形也叫正三角形. 当堂练习 QING JING YIN RU C 5. 如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，已知△ABC 的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是 cm. A C B D E 12 当堂练习 QING JING YIN RU 6.如图，△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC，延长 BC 到 E，使得 CE = CD．求证：BD = DE. 证明：∵△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC， ∴∠ABC =∠ACB = 60°，∠DBC = 30°． 又∵ CE = CD， ∴∠CDE =∠CED． 又∵∠BCD =∠CDE +∠CED = 60°， ∴∠CDE =∠CED = 30°． ∴∠DBC =∠DEC． ∴ BD = DE (等角对等边)． A B C E D 当堂练习 QING JING YIN RU 7.△ABC 为正三角形，点 M 是 BC 边上任意一点，点 N 是 CA 边上任意一点，且 BM＝CN，BN 与 AM 相交于 Q 点，∠BQM 等于多少度？ 解：∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC. 又∵ BM＝CN， ∴△AMB≌△BNC (SAS). ∴∠BAM＝∠CBN. ∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM ＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°. A C B M N Q 当堂练习 QING JING YIN RU 8.等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论． 解：△APQ 为等边三角形．证明如下： ∵△ABC 为等边三角形，∴ AB＝AC，∠BAC＝60°. ∵ BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ (SAS). ∴ AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ. ∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°. ∴△APQ 是等边三角形. B C Q A P $$