2.2平方根与立方根（第4课时）（教学课件）数学北师大版2024八年级上册

北师大版2024·八年级上册 2.2 平方根与立方根 （第4课时） 第二章 实数 章节导读 实数 2.1 认识实数 2.2 平方根与立方根 无理数 平方根 立方根 二次根式 算术平方根 平方根 立方根 无限不循环小数 实数 2.3 二次根数 二次根式的乘除 最简二次根式 二次根式的混合运算 无理数数的估算与比较 2.2.4学 习 目 标（P36-P37） 1 2 3 掌握无理数估算的基本方法，学会比较无理数与有理数、无理数与无理数的大小； 经历平方运算估算无理数范围的过程，体会转化思想在数学中的作用．在 “夹逼法” 缩小无理数范围的过程中，培养数感和近似计算能力； 结合生活实例，感受无理数估算在建筑安全、测量等实际场景中的应用，体会 “数学源于生活、用于生活 ” . 情景引入 ➤学校准备在教学楼前修建一个正方形环保主题花坛，用于种植绿植和宣传环保知识。 ➤已知花坛的规划面积为 30 m²，施工队需要确定花坛的边长，才能购买合适的瓷砖和划分施工区域？ 正方形花坛的面积是30 m²，边长是整数吗？该如何将它转化为小数，以便购买材料❓ 解决问题的核心方法💡：无理数转化为近似数 本节课将解决这一难题，接下来让我们一起进入本节课的学习吧！ 温故知新 ❓(1)立方根的概念是什么？ ★通过以上问题，猜测一下：怎样估算无理数？无理数如何与其他数进行比较？ ✅一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x就叫作a的立方根． ❓(2) 回想一下什么是无理数？结合所学的立方根，你能举例说明吗？ ✅无理数是无限不循环小数，如就是一个无理数，因为没有任何一个有理数满足=2.. ❓(3)回想一下我们是如何得出“无限不循环小数”这一概念的？ ✅通过平方运算不断确无限不循环小数的小数部分，最终发现这样的小数不仅小数部分没有规律，更是无法完全计算出来. ※问题1 如何估算出无理数的近似数? 新知探究 探究1 无理数的估算技巧 1.某块地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000 m²。 🤔（1）公园的宽大约是多少？它有1000 m吗？ 🧠解： 设公园的宽为，则长为2，根据面积公式得：2x⋅x=400000 ，则 因为，而， 所以，公园的宽没有1000 m。 ※问题1 如何估算出无理数的近似数? 新知探究 探究1 无理数的估算技巧 🤔（2）如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流. 计算10的倍数的平方： 🧠解： （与200000差6400） （与200000差2500） 因为202500更接近200000，所以 🤔（3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m²，你能估计它的半径吗？（结果精确到1 m）. 🧠解： 圆形面积公式，得 ​​ 代入，： ​ 因为，，所以 验证，所以半径大约是16 m. 新知探究 探究1 无理数的估算技巧 ※问题1 如何估算出无理数的近似数? 💎在例题中，每一小问都涉及都无理数的估算，我们发现估算无理数时，总是通过找到临近的数字在平方，并取更加逼近无理数的那个数，你们总结该过程吗？ ‼️ ①确定 “夹逼” 方向，锁定整数范围： 🔓先找两个邻近的整数，使它们的平方（立方，对应开平方、开立方）分别小于、大于被开方数； ‼️ ②细化精度，缩小范围： 🔓若需要更精确的估算，则在第一步的整数区间内，找一位小数的平方继续 “夹逼”； ‼️ ③确定近似值（结合需求取整或截断）： 🔓根据题目要求的精度（如 “精确到 1”“精确到 0.1” ），从夹逼出的范围中取更接近无理数的近似值 ✨“夹逼法” ：用已知有理数的幂（平方、立方等），逼近未知无理数的范围，通过“大范围→小范围”， 逐步缩小边界，最终根据需求确定近似值。 即使训练 探究1 无理数的估算技巧 🧠请你用夹逼法估算，结果精确到小数点后一位. 解：①首先，寻找两个整数，使得它们的平方分别小于和大于11： （） （） 因此，​的整数部分是3，即： ②接下来，在到之间，寻找一位小数，使得它们的平方分别小于和大于11： 试：（） 试：（） 此时，​在3和之间： ③ 由于，因此 “夹逼法”是极限思想的体现，在前期的计算中，由于计算量较大，使用会较为困难，但在多次尝试中，提升自己的数感，这将会是一个得心应手的工具 ✨ ✨ ✨ 新知探究 探究2 无理数的大小比较 ※问题2 如何将无理数与其他数进行比较？ 👥（1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流。 📢≈0.066：错误. 🧠解： 理由：=0.004356 ，远小于0.43 ，因此应大于0.066 ； ≈96：错误. 理由：=884736，远大于900，因此应远小于96； ≈60.4：错误. 理由：=3648.16，远大于2536，因此应小于60.4。 👥（2）你能估计的大小吗（结果精确到1）？ 🧠解： 寻找整数和，使得： ，，因此。 计算中间值的立方，缩小范围： ，. 比较差值： ， 由于更接近900，故≈10 探究2 无理数的大小比较 ※问题2 如何将无理数与其他数进行比较？ 👥（3）宽与长之比为的长方形称为“黄金矩形”.你能比较与的大小吗？你是怎么想的？ 解：结论： 理由如下： 代数推理：，因此 两边除以2： ‼️平方法 ✨将两个数都平方 ✨将他们化为有理数进行比较 ✨适用于有理数与无理数或无理数与无理数之间的比较. 新知探究 典例分析 💡例 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定。如图，现有一架长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗？ 解：设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为x m，此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的。 根据勾股定理，有 x² + (6×)² = 6²， 即x²=32，x= 因为5.6²=31.36＜32，所以＞5.6; 因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头。 探究3 用计算器进行开方运算 ※问题3 如何借助计算器进行开方运算？ 新知探究 👩‍🎓（1）观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键？利用计算器求下列各式的值（结果精确到0.0001）：①；② 提示💡：常用按键：平方根用“√”（或“sqrt”）键，立方根用“​（任意根）键或专门的“³√”键。 ①：按“√”→输入“5.89”→按“=” 结果精确到0.0001为2.4269 ②：按“”→输入“-1285”→按“”→输入“3”→按“=”； 或计算后加负号，结果精确到0.0001为-10.8700 熟练的使用计算器，能帮助我们解决实际问题中的大数运算或者运算难度的很高的问题 新知探究 探究3 用计算器进行开方运算 ※问题3 如何借助计算器进行开方运算？ 👩‍🎓（2）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开平方次数的增加，你发现了什么？改另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的规律。 解：💡很大的正数（如10000）： 反复开平方→100→10→3.162→1.772→1.331→…→ 趋近于1 💡小于1的正数（如0.0001）： 反复开平方→0.01→0.1→0.316→0.562→0.750→…→ 趋近于1 ⇒结论： 无论初始是很大的正数还是小于1的正数，反复开平方后结果均趋近于1 新知探究 探究3 用计算器进行开方运算 ※问题3 如何借助计算器进行开方运算？ ❗使用计算机开方的操作总结 ✨①平方根： ①按“√”键； ② 输入被开方数； ③按“=”键 ✨ ②立方根： ① 按“​”键； ②输入被开方数； ③按“​”键； ④输入根指数“3”； ⑤按“=” 拓展提升 📌物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度，它的计算公式为 ，其中 ，，求第一宇宙速度（结果精确到100 m/s）。 解： =62.426 要计算，先寻找接近624260000的平方数： 62410000，由于结果精确到100m/s. 因此第一宇宙速度约为7900 m/s 在计算百万级的大数时，通常可将其先用科学计数法表示，避免单位或数量级错误 无理数估算的一般方法：夹逼法 已知有理数的幂（平方、立方等），逼近未知无理数的范围，通过“大范围→小范围”， 逐步缩小边界，最终根据需求确定近似值。 新知探究 归纳总结 无理数与其他数比较的一般方法：平方法（立方法） 将两个无理数平方（或立方）转化为有理数，比较平方（或立方）后的结果. 应用新知 1.估计下列各数的大小： （1）（结果精确到0.1）； （2）（结果精确到1）. 解：寻找相邻的一位小数，使其平方接近13.6： ，. ， 更接近13.6 结论： 应用新知 2.比较与2.5的大小。你是怎么做的？ 解:寻找相邻的整数，使其立方接近800： ， 计算中间值的立方：， 比较差值：，， 更接近800 结论：≈9 3.利用计算器比较和的大小. 解：用计算器计算：≈1.442，≈1.414. 比较数值：. 结论： 题型总结 类型一：估算无理数的近似值 1.估算 的值，精确到 0.1. 解：确定整数范围： ，精确到 0.1： 计算一位小数的平方： ， ， 更接近 ，因此的近似值时3.2 类型二：无理数与有理数的大小比较 2.比较 与 2.7 的大小; 3.比较 与 3.1416 的大小. 2.解： → 3. 解： → 题型总结 类型三：两个无理数的大小比较 4.比较  与 的大小; 5.比较 与的大小. 4.解： → 5.解：统一为 6 次方（2 和 3 的最小公倍数）： 因为36>27，所以 <. 类型四：利用估算解决实际问题 解：=50； =51.84 因为51.84>50所以<7.2 因此这个物体能够放入这个盒子。 6、 某物体的长度为 厘米，已知一个盒子的内部长度为 7.2 厘米，这个物体能否放入盒子？ 真题感知 1.（2024・天津）估算的值在（ ）  A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 2.（2024·重庆） 题目：已知m=，则实数m的范围是（ ） A. 2<m<3 B. 3<m<4 C. 4<m<5 D. 5<m<6 3.（2024・四川）比较 与 的大小. 4.（2024・全国模拟）：比较大小：−1 _____ 2（填>、<或=） C D 解：， ∵ ∴ < 1. 基础必做题：随堂练习第1、2、3题； 2. 开放探究题：习题2.2 第15题； 作业布置 课堂小结 本节课学习内容梳理： 感谢聆听! $$