第2章 常用逻辑用语（复习课件）数学苏教版2019高一必修第一册

单元复习课件 第二章常用逻辑用语 苏教版2019必修第一册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 2 1.掌握命题、定理、定义的本质，能判断语句是否为命题并分析其真假性。（2.1） 3.识别全称量词（∀）与存在量词（∃），理解含量词命题的结构与含义及其否定。核心掌握全称量词命题和存在量词命题的综合问题及其参数问题求解。（2.3） 2.准确区分充分条件、必要条件、充要条件，能用定义及集合关系解释条件逻辑。核心掌握四种类型的条件判断及其参数问题求解。 （2.2） 单元学习目标 3 单元知识图谱 4 1．命题的定义 可供 的 叫做命题 真假判断 陈述句 2．命题的一般形式 在数学中，许多命题可表示为“若则”，其中叫作命题的 ，叫作命题的 . 3．真命题与假命题 判断为真的语句称为 ，判断为假的语句称为 . 条件 结论 真命题 假命题 考点串讲 5 4．推出关系 （1）命题“若，则”是真命题，是指 满足条件的对象都满足结论，用集合的语言描述即 ．所以，要确定这类命题是真命题，就必须给出其证明； （2）命题“若，则”是假命题，是指 满足条件的对象，它不满足结论．所以，要确定这类命题是假命题，可以举一个满足条件而不满足结论的例子就可以了； （3）如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作 ． 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则 ． 说明：“若，则”是真命题与是同一种逻辑关系，前者是用文字语言表达，后者是用符号语言表达，不同的表述而已． 所有 满足满足 存在 （或 考点串讲 6 5．定理 在数学中，有些已经被证明为真的 可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理. 6．定义 在数学中，我们常常遇到定义，定义是对某些对象标明 、指明 ，或者揭示所研究问题中对象的 ． 命题 符号 称谓 内涵 考点串讲 7   “若p，则q”成立 “若p，则q”不成立 推出关系 p q 条件关系 p叫作q的 条件 q叫作p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 7．充分条件与必要条件 充分 必要 充分 必要 考点串讲 8 8．充分条件、必要条件的四种类型 一般地，如果既有，又有，就记作.此时，我们说，是的 条件，简称 条件. 概括地说， （1）若如果，那么与 条件. （2）若，但，则称是的充分不必要条件. （3）若，但，则称是的必要不充分条件. （4）若，且，则称是的既不充分也不必要条件. 充分必要 充要 互为充要 考点串讲 9 9．集合角度中的条件判断（小充分大必要） 设命题对应集合, 命题对应集合 若, 即是的充分条件（充分性成立） 若, 即是的必要条件（必要性成立） 若, 即是的充分不必要条件 若, 即是的必要不充分条件 若, 即是的充要条件 考点串讲 10 10．全称量词和全称量词命题 全称量词 、 、 、 、 符号 全称量词命题 含有 的命题 形式 “对中任意一个，有成立”，可用符号简记为 11．存在量词和存在量词命题 存在量词 、 、 、 、 符号表示 存在量词命题 含有 的命题 形式 “存在中的元素，使成立”，可用符号简记为 所有的 任意 每一个 全部 全称量词 存在一个 至少有一个 有一个 某个 有些 存在量词 考点串讲 11 12．命题的否定及其的真假判断 如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p的 ，记作 ，读作“ ”． 因为命题p与命题互为否定，所以它们的真假一定 ．其真假情况如下： （1）若p真，则假； （2）若p假，则真． 13．全称量词命题的否定 一般地，命题“，”的否定是“ ”．也就是说， 命题的否定是存在量词命题． 14．存在量词命题的否定 一般地，命题“，”的否定是“ ”．也就是说，存在量词命题的否定 是 命题． 否定 非p 不同 ， 全称量词 ， 全称量词 考点串讲 12 题型一、命题的一般形式及判断真假 例1：将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)当a＞b时，有ac2＞bc2； (2)实数的平方是非负实数； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除． 【答案】(1)若a＞b，则ac2＞bc2，是假命题 (2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题 (3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，是真命题 【详解】（1）若a＞b，则ac2＞bc2，当，则该命题不成立，故为假命题； （2）若，则，该命题为真命题； （3）若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除， 若一个数能被6整除，即6为该数的一个因数，由， 则也为该数的因数，故该命题正确. 题型剖析 13 变式1-1：把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【答案】(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． (2)若，则，是真命题 (3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题． 【详解】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除， 根据奇数的定义可知，奇数不能被2整除，为真命题； （2）若，则， 要想满足，则，解得，是真命题； （3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形， 两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题. 题型一、命题的一般形式及判断真假 针对训练 14 题型二、已知命题的真假求参数 例2：已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设分别表示的集合为， 由，得，则， 因为，且“若p，则q”为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 题型剖析 15 变式2-1：已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. （2）当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 题型二、已知命题的真假求参数 针对训练 16 变式2-2：命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. 题型二、已知命题的真假求参数 针对训练 17 （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 题型二、已知命题的真假求参数 针对训练 18 题型三、充分条件的判断 例3：下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形. (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似. (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. (4) (5)若，则. (6)若x，y为无理数，则xy为无理数. 【答案】(1)是(2)是(3)是(4)不是(5)是(6)不是 【详解】（1）这是平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （3）这是一条菱形的性质定理， ，所以p是q的充分条件. （4）由于，但是，，所以p不是q的充分条件. （5）由等式的性质知， ，所以p是q的充分条件. （6）为无理数但是有理数，，所以p不是q的充分条件. 题型剖析 19 题型四、必要条件的判断 例4：判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc． 【答案】(1)是(2)不是(3)是(4)不是 【详解】（1）∵两个三角形全等⇒两个三角形相似，即q⇒p． ∴p是q的必要条件． （2）四边形的对角线相等，这个四边形不一定是矩形，如，等腰梯形，即qp． ∴p不是q的必要条件． （3）∵A∩B＝A⇒A⊆B，即q⇒p， ∴p是q的必要条件． （4）∵c的正负不确定，∴不能由ac＞bc推出a>b，即qp， ∴p不是q的必要条件． 题型剖析 20 题型五、求充分条件及参数 例5：使不等式成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，即， 因为， 所以使不等式成立的一个充分条件是， 而其他选项皆不满足. 故选：A. 题型剖析 21 变式5-1：已知，那么p的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为推不出，故不是的充分条件，A错误； 因为推不出，故不是的充分条件，B错误； 因为一定能推出，故是的充分条件，C正确； 因为推不出，故不是的充分条件，D错误； 故选：C 题型五、求充分条件及参数 针对训练 22 变式5:2：若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 所以且，解得， 故选：C 题型五、求充分条件及参数 针对训练 23 题型六、求必要条件及参数 例6：使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ， 因此只有B是其必要条件． 故选：B． 题型剖析 24 变式6-1：设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由q是p的必要条件，得， 所以. 故选：A 题型六、求必要条件及参数 针对训练 25 题型七、充要条件的判定及参数求解 例7-1：设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【答案】A 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 题型剖析 26 题型七、充要条件的判定及参数求解 例7-2：集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 题型剖析 27 变式7-1：设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 题型七、充要条件的判定及参数求解 针对训练 28 变式7-2：已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 【答案】 【详解】由，可得，解得， 所以， 又命题“”是命题“”的充要条件且， 则，所以. 故答案为： 题型七、充要条件的判定及参数求解 针对训练 29 题型八、命题的等价证明 例8-1：已知，求证：的充要条件是． 注：． 【答案】证明见解析. 【详解】证明：先证必要性： ∵，∴ ∴ 再证充分性： ∵ ∴ 即： ∵， ∴，即. 综上所述：的充要条件是. 题型剖析 30 题型八、命题的等价证明 例8-2：求证：是是等边三角形的充要条件. （这里，，是的三边边长）. 【答案】证明见解析 【详解】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 题型剖析 31 变式8-1：已知，求证：成立的充要条件是 ．提示： 【答案】证明见解析. 【详解】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 题型八、命题的等价证明 针对训练 32 变式8-2：证明：，，，是等式恒成立的充要条件． 【详解】证明：充分性： 若，，，， 则等式自然恒成立． 必要性： 由于等式恒成立，分别令、1、、，并代入上式， 得 由此，可得，，，． 故，，，是等式恒成立的充要条件. 题型八、命题的等价证明 针对训练 33 题型九、四种类型条件的判断 例9-1：（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则“a，b都是偶数”是“是偶数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】a，b都是偶数，则是偶数，充分性成立， 但是偶数，a，b都是奇数或都是偶数，必要性不成立， 故“a，b都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件. 故选：A 题型剖析 34 题型九、四种类型条件的判断 例9-2： （24-25高一上·江苏南通·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，即，解得， 所以由推不出，故充分性不成立； 由推得出，故必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 题型剖析 35 题型九、四种类型条件的判断 例9-3： （24-25高一上·江苏盐城·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，则无意义；当时，或， ∴则“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 题型剖析 36 变式9-1：（24-25高一上·江苏·期中）已知 ，“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由“且”可得到“”， 由“”可得同正或同负，不能得到“且”， 故“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 题型九、四种类型条件的判断 针对训练 37 变式9-2：（24-25高一上·江苏无锡·期中）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】“”不能推出“”，故充分性不成立； “”能推出“”，故必要性成立. 综上可知，“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 题型九、四种类型条件的判断 针对训练 38 变式9-3：（23-24高一上·江苏连云港·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【详解】设，此时满足，但不满足，充分性不成立， 设，此时满足，但不满足，必要性不成立， 故是的既不充分也不必要条件. 故选：D 题型九、四种类型条件的判断 针对训练 39 题型十、古诗词及古文中的条件判断 例10：王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”， 但是并没有表明“攻破楼兰”后就会“返回家乡”， 所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件. 故选：B. 题型剖析 40 变式10-1：“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件； 又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件， 综合知“身正”是“令行”的充要条件， 故选：C． 题型十、古诗词及古文中的条件判断 针对训练 41 变式10-2：杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛. 因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件. 故选：C 题型十、古诗词及古文中的条件判断 针对训练 42 题型十一、集合角度中的条件判断 及参数范围求解 例11：（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知：关于的方程有实数根， ． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题， 即关于的方程无实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，若命题是真命题，则， 因为命题是命题的必要不充分条件，:则是的真子集， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 题型剖析 43 变式11-1：（24-25高一上·江苏宿迁·期中）设为实数，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；或 (2) 【详解】（1）若，则，且， 可得，， 所以或. （2）若“”是“”的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集， 显然集合B不是空集，则，解得， 所以实数的取值范围为. 题型十一、集合角度中的条件判断 及参数范围求解 针对训练 44 变式11-2：（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知集合，全集． (1)当时，求(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）当时，，或， 又，故或 ； （2）“”是“”的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解集为， 若，则或， 解得，综上，实数的取值范围是 题型十一、集合角度中的条件判断 及参数范围求解 针对训练 45 变式11-3：（24-25高一上·江苏徐州·期中）设全集为实数集，集合，. (1)当时，求，； (2)若命题：，命题：，且是的充分且不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或(2) 【详解】（1）由，得， 解得，所以， 当时，，所以， 因为或，所以或， （2）由（1）知，， 因为是的充分不必要条件，所以，且，解得. 题型十一、集合角度中的条件判断 及参数范围求解 针对训练 46 题型十二、判断命题是全称量词命题还是存在量词命题及其真假 例12：指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【答案】(1)全称量词命题，真命题；:(2)存在量词命题，真命题； (3)全称量词命题，假命题；(4)存在量词命题，假命题. 【详解】（1）全称量词命题，所有的等边三角形都有三边对应成比例，该命题是真命题． （2）存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，该命题是真命题． （3）全称量词命题，存在 ，但，该命题是假命题． （4）存在量词命题，由于，则，因此使得 的实数x不存在，该命题是假命题． 题型剖析 47 变式12-1：判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除； (2)，； (3)，使为29的约数； (4)，． 【答案】(1)存在量词命题，真命题:(2)全称量词命题，真命题 (3)存在量词命题，真命题(4)全称量词命题，假命题 【详解】（1）命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题， 既能被整除，又能被整除，故该命题为真命题． （2）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题， 因为，所以恒成立，故该命题为真命题． （3）命题中含有存在量词“”，故是存在量词命题，当时，为的约数，所以该命题为真命题． （4）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题，当时，，所以该命题为假命题． 题型十二、判断命题是全称量词命题还是存在量词命题及其真假 针对训练 48 题型十三、全称量词命题及存在量词命题的否定 例13-1：（24-25高一上·江苏南京·期中）命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：B 题型剖析 49 题型十三、全称量词命题及存在量词命题的否定 例13-2：（24-25高一上·江苏徐州·期中）命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】“，”的否定为，. 故选：A 题型剖析 50 变式13-1（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知命题：，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为命题， 所以命题的否定为：. 故选：A. 题型十三、全称量词命题及存在量词命题的否定 针对训练 51 变式13-2：（24-25高一上·江苏南通·期中）命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是，. 故选：D 题型十三、全称量词命题及存在量词命题的否定 针对训练 52 题型十四、全称量词命题和存在量词命题的综合问题及参数求解 例14：（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知命题； 命题. (1)若，试判断命题的真假； (2)若中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)都是真命题 (2)或 【详解】（1）当，可得：，真命题； ，满足，真命题， 题型剖析 53 题型十四、全称量词命题和存在量词命题的综合问题及参数求解 （2）当为真时， 可得：时，满足， 或解得：， 综上：， 若为真， 可得：在上有解，因为， 所以. 因为中恰有一个为真命题， 若真，则，假，则或，取交集可得：， 若假，则则或，真，则，取交集可得：， 综上所述：中恰有一个为真命题，实数的取值范围或. 题型剖析 54 变式14-1：（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知命题为假命题. (1)求实数的取值集合； (2)已知集合，若“”是“”的必要且不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为命题为假命题， 所以命题为真命题， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上可得实数的取值集合； 题型十四、全称量词命题和存在量词命题的综合问题及参数求解 针对训练 55 （2）因为“”是“”的必要且不充分条件， 所以真包含于； 又， 当，即时，符合题意； 当，则，解得； 综上可得实数的取值范围. 题型十四、全称量词命题和存在量词命题的综合问题及参数求解 针对训练 56 变式14-2：已知命题，，命题，. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）若命题p为真命题，则对恒成立，因此，解得. 因此，实数m的取值范围是. （2）若命题q为真命题，则，即，解得或. 因此，实数m的取值范围是或； 若命题p，q至少有一个为真命题， 可得 或或. 所以实数的取值范围或. 题型十四、全称量词命题和存在量词命题的综合问题及参数求解 针对训练 57 题型十五、单元压轴题 例15-1：已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】充分性：若，则2≤x≤3， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若ab≤0，则， ∴， 所以“成立”是“成立”的充要条件， 故选：C． 题型剖析 58 题型十五、单元压轴题 例15-2：已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】由“”是“”的必要条件，即， 由A中元素为整数，故A只可能为，，， 由点不在第一、三象限，得：或，即①或②， 当时，①无解，由②得， 此时，故，有； 当时，由①②得， 此时，因，只须，有； 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 题型剖析 59 题型十五、单元压轴题 例15-3：记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（    ） A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 题型剖析 60 题型十五、单元压轴题 【答案】D 【详解】令三个命题A，B，C对应三个数集，全集为， 对于A，命题“A是B的充分不必要条件”等价于命题：⫋， 命题“B是A的必要条件”，等价于命题：， 因此，但，所以是的充分不必要条件，故A错误； 对于B，命题“是的必要不充分条件”等价于命题：⫋， 命题“A是的充分不必要条件”等价于命题：⫋，因此，但， 所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，命题“是的充要条件”等价于命题，即， 也即；命题“是的充分不必要条件”等价于命题⫋， 因此，但，所以是的既不充分不必要条件，故C错误； 对于D，命题“是的既不充分也不必要条件”等价于命题：与互不包含， 命题“是的充要条件”等价于命题，即， 因此，但，所以是的必要不充分条件，故D正确.，故选：D. 题型剖析 61 题型十五、单元压轴题 例15-4：已知集合 (1)分别判断、、是否属于集合； (2)写出所有满足集合的不超过的正偶数； (3)已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件. 题型剖析 62 题型十五、单元压轴题 【答案】(1)、、都属于集合，理由见解析 (2)、、 (3)证明见解析 【详解】（1）解：因为，，，所以，、、都属于集合. （2）解：集合，， ①若、同奇或同偶时，、均为偶数，为的倍数； ②当、一奇一偶时，、均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合的偶数为． 因此，满足集合的不超过的正偶数有、、. （3）证明：集合，则恒有， 所以，，即一切奇数都属于， 又，而， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 题型剖析 63 题型十五、单元压轴题 例15-5：已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. (1)若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 题型剖析 64 题型十五、单元压轴题 【详解】（1）集合不具有性质，理由如下： 若取，为奇数，不满足条件③； 若取，或或， 均有，不满足条件②， 所以不具有性质； （2）由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即， 因为不是偶数，所以不合题意. 当时，由，得，即，或， 因为是偶数，不是偶数，所以不合题意. 所以集合，令， 解得， 显然，所以集合是集合的“期待子集”； 题型剖析 65 题型十五、单元压轴题 （3）先证充分性：当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的， 使得均属于，不妨设，令，，， 则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性：当集合具有性质，则中存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得，由条件③得均为整数， 因为，所以，且均为整数，所以，因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”， 综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质. 题型剖析 66 例15-1：命题P：的是命题Q：的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【详解】命题Q：可变形为，即， 即，即或. ()当时，有和两种情况，此时不一定成立，故是的不必要条件； ()当时，有和两种情况，此时不一定成立，故是的不必要条件； 综上两种情况可知，是的不必要条件； 命题P：,去掉绝对值符号，有以下四种情况： 题型十五、单元压轴题 针对训练 67 ()当，即时，，，即，故是的不充分条件； ()当，即时，，，即，故是的充分条件； ()当，即时，，，即，故是的充分条件； ()当，即时，，，即，故是的不充分条件； 综上四种情况可知，是的不充分条件；所以是的即不充分也不必要条件.故选：D 题型十五、单元压轴题 针对训练 68 变式15-2：已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得，:此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则.故答案为： 题型十五、单元压轴题 针对训练 69 变式15-3：已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 【答案】(1) (2) 【详解】（1）化简得，所以或， 所以， 因为，所以且， 所以，即，所以或， 当时，解得或，即不符合题意，舍去； 经检验，当时，满足题意； 故. 题型十五、单元压轴题 针对训练 70 （2）若是的必要条件，则且， 所以或或或或或， ①由（1）可知，当时，； ②当时，，解得或， 显然不成立； 当，显然，不符合题意，舍去； ③当时，由（1）可得或，显然此时不合题意，舍去； 当时，显然，不符合题意，舍去； ④当时，，此时方程无解，不合题意，舍去； 故和也不成立，所以舍去； 综上所述： 题型十五、单元压轴题 针对训练 71 变式15-4：（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知集合． (1)判断8，9，10是否属于集合A： (2)已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”； (3)写出所有满足集合A的偶数． 【答案】(1)，，(2)证明见详解(3) 【详解】（1），， ，， 假设，，， 则，即， 且，，， 或，显然均无整数解， . 综上，，，. 题型十五、单元压轴题 针对训练 72 （2），， ，即所有奇数都属于集合，则，必有， 又，而，即，推不出， 所以的充分非必要条件是. （3）由，，， 当和同为奇数和偶数时，均为偶数， 所以为4的倍数； 当和一奇一偶时，均为奇数， 所以为奇数. 综上，所有满足集合的偶数为 . 题型十五、单元压轴题 针对训练 73 变式15-5：已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)． (2) (3)． 【详解】（1），， 若，即，则满足题意， 若，即，则，又，故无实解， 综上． 题型十五、单元压轴题 针对训练 74 （2），是假命题，则，是真命题，即， 时，（时取等号），所以，即； （3）若是的必要不充分条件，则， 的解是或， ，即时，满足题意， 时，， 因此，解得且． 综上，． 题型十五、单元压轴题 针对训练 75 课堂巩固练习1：根据下列所给的各组p，q填空： ①p：，q：； ②p：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，q：两个三角形全等； ③p：，q：； ④p：二次函数的图象过坐标原点，q：； ⑤p：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，q：这两条直线平行； ⑥p：两直角三角形的斜边相等，q：两直角三角形全等. 其中，p是q必要条件的有 ；p是q充分条件的有 ；p是q充要条件的有 .（填写序号） 【答案】 ②④⑤⑥ ①②③④⑤ ②④⑤ 【详解】对①，易知由p能得q，但是，若a>0，则由q不能得p，故p是q充分不必要条件； 对②，根据三角形全等定理可知，p是q充要条件；对③，由p能得q，但是，若a=-b，则由q不能得p，故p是q充分不必要条件；对④，易知p是q充要条件；:对⑤，由直线平行定理可知，p是q充要条件； 对⑥，由三角形的全等定理可知，由p不能得q，但由q可以得p，故p是q必要不充分条件. 故答案为：②④⑤⑥；①②③④⑤；②④⑤ 课堂总结 76 课堂巩固练习2：（多选）已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】p：或，q：，q是p的充分不必要条件，故，范围对应集合是集合的子集即可，对比选项知AB满足条件. 故选：AB. 课堂总结 77 课堂巩固练习3：设a，b，，求关于x的方程有一个根为的一个充要条件. 【答案】.:【详解】解:因为关于x的方程有一个根为， 所以代入得，下证明充要性. 充分性：，， 代入方程得，即． 关于的方程有一个根为； 必要性：方程有一个根为，满足方程， ，即． 故关于的方程有一个根是的充要条件为． 课堂总结 78 课堂巩固练习4：写出下列命题的否定： （1）对任意的正数，都有； （2）存在实数，使得； （3）有的三角形最长边与最短边的和等于第三边的倍； （4）有的三角形内切圆的半径等于外接圆半径的一半； （5）反比例函数的图象关于轴对称； （6）有的等腰三角形是直角三角形. 【详解】（1）命题“对任意的正数，都有”为全称量词命题，否定为“存在正数，使得”； （2）命题“存在实数，使得”为存在量词命题，该命题的否定为“对任意实数，都有”； （3）命题“有的三角形最长边与最短边的和等于第三边的倍”为存在量词命题，该命题的否定为“所有的三角形最长边与最短边的和都不等于第三边的倍”； （4）命题“有的三角形内切圆的半径等于外接圆半径的一半”为存在量词命题，该命题的否定为“所有三角形的内切圆的半径都不等于外接圆半径的一半”； （5）命题“反比例函数的图象关于轴对称”为全称量词命题，否定为“有些反比例函数的图象不关于轴对称”； （6）命题“有的等腰三角形是直角三角形”为存在量词命题，该否定为“所有的等腰三角形都不是直角三角形”. 课堂总结 79 课堂巩固练习5：已知：；：． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）若，由可得， 由可得， 因为是的充分条件，所以，又， 所以， 若，由可得， 由可得， 此时，故是的充分条件， 若，由可得， 由可得， 此时，故是的充分条件， 所以或，所以的取值范围为； 课堂总结 80 （2）由（1）若， 则：或，：或， 因为是的必要不充分条件， 所以或，所以， 若，：， ：， 此时，不满足条件， 若，：，：或， 此时是的必要不充分条件，， 所以或， 所以的取值范围为. 课堂总结 81 课堂巩固练习6：命题成立；命题成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为假命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）若命题为真命题，则，解得，所以实数的取值范围是； （2）若命题为假命题，则，解得，所以实数的取值范围是； （3）由（1）（2）可知命题与命题均为假命题时，则 或，解得，故命题与命题中至少有一个为真命题， 则或所以实数的取值范围是. 课堂总结 82 题型一、命题的一般形式及判断真假 题型二、已知命题的真假求参数 题型三、充分条件的判断 题型四、必要条件的判断 题型五、求充分条件及参数 题型六、求必要条件及参数 题型七、充要条件的判定及参数求解 题型八、命题的等价证明 题型九、四种类型条件的判断 题型十、古诗词及古文中的条件判断 题型十一、集合角度中的条件判断及参数范围求解 题型十二、判断命题是全称量词命题还是存在量词命题及其真假 题型十三、全称量词命题及存在量词命题的否定 题型十四、全称量词命题和存在量词命题的综合问题及参数求解 题型十五、单元压轴题 本章单元复习题型汇总 课堂总结 83 感谢聆听! 84 $$