专题15.2 垂直平分线的性质和判定（五大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版新教材）

专题15.2 垂直平分线的性质和判定（五大题型） 【题型1：线段垂直平分线的性质】............................................................................1 【题型2：线段垂直平分线的判定】.............................................................................3 【题型3：线段垂直平分线的应用】............................................................................7 【题型4：作已知线段的垂直平分线】........................................................................7 【题型5：作垂线（尺规作图）】...............................................................................10 【题型1：线段垂直平分线的性质】 1．如图，已知是线段的垂直平分线，E是上的一点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 3．如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，是的垂直平分线，上的点在的垂直平分线上，若，则的周长是（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，分别交AB，AC于点D，F，交CB的延长线于点E．若BD＝3cm，CD＝9cm，则AB的长为（　　） A．14cm B．12cm C．10cm D．9cm 6．如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．若的周长为，则的周长为 ． 7．如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为 ． 8．如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ． 【题型2：线段垂直平分线的判定】 1．如图，，，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 2．如图，在四边形中，连接、，，，则有（   ） A．与互相垂直平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．平分 3．到三角形三个顶点距离都相等的点是（   ） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 4．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 5．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 6．如图，已知：，，点E在的延长线上． (1)求证：垂直平分； (2)求证： 7．如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 8．已知，如图，，点分别为垂足，，． (1)证明：； (2)试说明平分 (3)延长相交于点，连结．证明：垂直平分线段． 9．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 10．春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】：两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． 【任务1】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务2】探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行证明． 11．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与，分别相交于点E和D，连接． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为，求的周长． 【题型3：线段垂直平分线的应用】 1．如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 2.在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在的（　　） A．三条高的交点 B．三条垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 3．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在的（　　） A．三条高的交点 B．三条垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【题型4：作已知线段的垂直平分线】 1．如图，已知． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，的周长是17，F为直线上一动点，求周长的最小值． 2．如图，公园一角有一片三角形空地，公园负责人计划在边上找一点，使得点到点，的距离相等，请利用尺规作出点．（不写作法，保留作图痕迹） 3．如图，已知，请按下列要求解答问题： (1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的周长是，的周长是，求的长． 4．在一次抓捕贩毒分子的行动中，一贩毒分子从两条公路的交点O处沿着到两条公路距离相等的一条小路逃窜（如图，在内），要使埋伏在A，B两处的公安人员在相等的距离同时抓住贩毒分子，请你帮助公安人员在图中标出抓捕点，并简述你的理由． 5．已知：直线表示两条互相交叉的公路，Q是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站P，要求它到的距离相等，且． 6．如图，已知． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法，标明字母） (2)在（1）的条件下，连接．若的周长为16，，求的周长． 7．如图，在中，是钝角． (1)实践与操作：用尺规作图，作的垂直平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的大小． 8．如图，某村计划在河边上挖一个小水塘储水，方便灌溉农田，为了使其到A、B两块田地的距离相等．请你用尺规作图，确定小水塘的位置，不写作法，保留作图痕迹． 9．如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规在边上作一点P，使点P到点B、点C的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，当点P到直线的距离也相等时，则的度数为______． 【题型5：作垂线（尺规作图）】 1．如图，在中，．请用尺规作图法，在的上方求作一点，使，且．（保留作图痕迹，不写作法） 2．如图，中，点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：保留作图痕迹，不需要写作法． (1)如图①，作一条直线l，使点A关于l的对称点为点． (2)如图②，过点P作直线，使得． 3．如图，在直角三角形中，，； (1)作出的边边上的高，并求的长； (2)作出的边上的中线，并求出的面积． 1．如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 2．如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 3．如图，在中，，是AC的垂直平分线，的周长为，，则的长度为（   ） A．11 B．12 C．14 D．16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15.2 垂直平分线的性质和判定（五大题型） 【题型1：线段垂直平分线的性质】............................................................................1 【题型2：线段垂直平分线的判定】.............................................................................5 【题型3：线段垂直平分线的应用】............................................................................16 【题型4：作已知线段的垂直平分线】........................................................................17 【题型5：作垂线（尺规作图）】...............................................................................25 【题型1：线段垂直平分线的性质】 1．如图，已知是线段的垂直平分线，E是上的一点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，再选择即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线线， ∴， 故选B． 2．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】D 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而得到的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长为； 故选D． 3．如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵直线为线段的垂直平分线， ∴ 故选：B 4．如图，在中，是的垂直平分线，上的点在的垂直平分线上，若，则的周长是（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，再由三角形的周长公式计算即可，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解： 是的垂直平分线，上的点在的垂直平分线上， ， 的周长为， 故选：D． 5．如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，分别交AB，AC于点D，F，交CB的延长线于点E．若BD＝3cm，CD＝9cm，则AB的长为（　　） A．14cm B．12cm C．10cm D．9cm 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质可得，进而即可求得的长 【详解】解： EF垂直平分AC，在上， BD＝3cm，CD＝9cm， 故选B 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 6．如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．若的周长为，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式求得，进而可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为， 故答案为：20． 7．如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为 ． 【答案】/10厘米 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．也考查了四边形周长的定义．根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据周长的定义计算即可． 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：． 8．如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得，进一步求解即可． 【详解】解： 为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． 【题型2：线段垂直平分线的判定】 1．如图，，，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的判定定理，根据垂直平分线的判定定理直接可得结论 【详解】解：∵，， ∴点A、 B 在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故选：C 2．如图，在四边形中，连接、，，，则有（   ） A．与互相垂直平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．平分 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定，由，，得A与C在的垂直平分线上，进而解决此题． 【详解】解：∵，， ∴A与C在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴垂直平分， 故B选项符合题意； 由已知条件无法证明平分，平分， 故A、C、D选项不符合题意； 故选：B． 3．到三角形三个顶点距离都相等的点是（   ） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上进行作答即可． 【详解】解：∵到三角形三个顶点距离都相等的点， ∴该点是三角形的三边垂直平分线的交点， 故选：B 4．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：，，   ，，，   ，   设，，   ，，，，   ，，   ，   ，   ∴，   ，   ，   ． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 5．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，，， ∴ ． 6．如图，已知：，，点E在的延长线上． (1)求证：垂直平分； (2)求证： 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质性质． （1）由线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可证明问题; （2）由线段垂直平分线的性质定理推出，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴点A和D都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）证明：由（1）知垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴． 7．如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，根据垂直平分线的判定和性质，证明即可． 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：连接， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． ． 8．已知，如图，，点分别为垂足，，． (1)证明：； (2)试说明平分 (3)延长相交于点，连结．证明：垂直平分线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明即可得证； （2）根据到角两边距离相等的点，在角的角平分线上，进行判断即可； （3）根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，进行判断即可． 【详解】（1）证明： ， ， 又 ， ； （2）， 平分； （3）证明： （）， ， ，即， 又， 垂直平分线． 9．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，熟练掌握中垂线的性质，是解题的关键： （1）中垂线的性质，得到，易得垂直平分，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长公式推出，根据，等量代换推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 10．春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】：两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． 【任务1】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务2】探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行证明． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 任务1：根据定义画出图形即可； 任务2：写出性质，利用全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定证明即可； 【详解】解：【任务1】如图，筝形即为所求．（答案不唯一，只要符合定义都得分） 【任务2】 1、角的性质：筝形有一组对角相等． 2、对角线的性质：筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线． 角的性质证明如下：连接， 在和中， ∵， ∴ ∴． 故筝形有一组对角相等得证． 对角线的性质证明如下：连接，交点为O 在和中， ∵， ∴ ∴，即是的角平分线． 又∵， ∴是的垂直平分线，即 11．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与，分别相交于点E和D，连接． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段的加减计算． （1）由作法可知垂直平分，即，进而计算即可； （2）由题意可知，，进而可知． 【详解】（1）解：由作法可知垂直平分， 所以， 所以， 因为， 所以； （2）由作法可知垂直平分， 所以， 因为的周长为， 即， 所以 即 所以的周长为． 【题型3：线段垂直平分线的应用】 1．如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理． 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，据此解答即可求解． 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：C． 2.在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在的（　　） A．三条高的交点 B．三条垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的判定，根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，得到凳子是三条垂直平分线的交点，即可得出结果．掌握垂直平分线的性质，是解题的关键． 【详解】解：由题意得，凳子到三点，，的距离相等，即到三边的端点的距离相等， ∴凳子应该放在三边垂直平分线的交点上； 故选：B． 3．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在的（　　） A．三条高的交点 B．三条垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的判定，根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，得到凳子是三条垂直平分线的交点，即可得出结果．掌握垂直平分线的性质，是解题的关键． 【详解】解：由题意得，凳子到三点，，的距离相等，即到三边的端点的距离相等， ∴凳子应该放在三边垂直平分线的交点上； 故选：B． 【题型4：作已知线段的垂直平分线】 1．如图，已知． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，的周长是17，F为直线上一动点，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)的周长的最小值为11． 【分析】本题考查作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）根据垂直平分线的性质和三角形的三边关系可知，当点F与E重合时，的周长最小，最小值． 【详解】（1）解：图形如图所示； ； （2）解：∵垂直平分，F为直线上一动点， ∴， ∴， ∴当点F与E重合时，的周长最小， 最小值， ∵，的周长是17， ∴， ∴的周长的最小值为11． 2．如图，公园一角有一片三角形空地，公园负责人计划在边上找一点，使得点到点，的距离相等，请利用尺规作出点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查作图一应用与设计作图，作的垂直平分线交于点即可．解题的关键掌握：基本作图、垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， 【详解】解：如图，作的垂直平分线交于点， ∴点在的垂直平分线， ∴点到点，的距离相等， 又∵点在上， 则点即为所作． 3．如图，已知，请按下列要求解答问题： (1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的周长是，的周长是，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为． 【分析】本题考查线段垂直平分线的画法，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的画法和性质． （1）分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过两个交点作直线即可； （2）由线段垂直平分线的性质，可得，等量代换，两个三角形的周长作差，即可得的长． 【详解】（1）解：分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点和点，过点和点作直线，直线即为线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接，如下图： （2）解：∵的周长是， ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， 答：的长为． 4．在一次抓捕贩毒分子的行动中，一贩毒分子从两条公路的交点O处沿着到两条公路距离相等的一条小路逃窜（如图，在内），要使埋伏在A，B两处的公安人员在相等的距离同时抓住贩毒分子，请你帮助公安人员在图中标出抓捕点，并简述你的理由． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了基本作图以及角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质定理，掌握角平分线的性质及中垂线的性质是解题的关键． 角平分线上的点到角两边的距离相，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，两线交点即为所求． 【详解】解：如图，作的平分线，连接，作线段的垂直平分线与交于点P，则点P为抓捕点． 理由：角平分线上的点到角两边的距离相等（即犯罪分子在的角平分线上，点P也在其上）， 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（所以点P在线段的垂直平分线上）． ∴两线的交点，即点P符合要求． 5．已知：直线表示两条互相交叉的公路，Q是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站P，要求它到的距离相等，且． 【答案】见详解 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作法和性质，先作的角平分线，再作的角平分线，即可得出答案． 【详解】解：（1）作的角平分线， （2）作线段的垂直平分线， （3）相交于点P， 即点P即为所求． 6．如图，已知． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法，标明字母） (2)在（1）的条件下，连接．若的周长为16，，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题考查垂直平分线的作图和性质． （1）利用基本作图作出的垂直平分线； （2）根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长的定义和等线段代换得到，然后计算的周长． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：垂直平分， ，， ∴ 的周长为， 即， ， 即， 的周长为． 7．如图，在中，是钝角． (1)实践与操作：用尺规作图，作的垂直平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的大小． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的做法以及性质是解题的关键． （1）分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于D． （2）由线段垂直平分线的性质得出，由三角形内角和定理得出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：垂直平分线即为所求： （2）解：∵为的垂直平分线 ∴, ∴， ∵， ∴， ∴ 8．如图，某村计划在河边上挖一个小水塘储水，方便灌溉农田，为了使其到A、B两块田地的距离相等．请你用尺规作图，确定小水塘的位置，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作法以及性质， 先分别以A，B为圆心，以大于的半径画圆，然后连接两交点的直线交河面的点即为小水塘的位置，根据线段垂直平分线的性质即可得出小水塘的位置到A、B两块田地的距离相等． 【详解】解：小水塘的位置如下图所示： 9．如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规在边上作一点P，使点P到点B、点C的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，当点P到直线的距离也相等时，则的度数为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）作线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求； （2）证明，再根据，求出即可． 【详解】（1）解：如图，线段的垂直平分线交于点P， ∴点P到点B、点C的距离相等， ∴点P即为所求； （2）解：由作图可知， ∴， ∵点P到直线、的距离也相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：30． 【题型5：作垂线（尺规作图）】 1．如图，在中，．请用尺规作图法，在的上方求作一点，使，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查尺规作已知直线的垂线，作线段等于已知线段，根据过直线上一点作已知直线的垂直得到，以点为圆心，以为半径画弧与垂线交于点，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，点即为所求点的位置． 2．如图，中，点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：保留作图痕迹，不需要写作法． (1)如图①，作一条直线l，使点A关于l的对称点为点． (2)如图②，过点P作直线，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的定义，尺规作垂线，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）连接，作的垂直平分线即可； （2）以点P为圆心，任意长为半径作弧，交于E、F两点，再分别以E、F两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点M，连接即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，即为所求． 3．如图，在直角三角形中，，； (1)作出的边边上的高，并求的长； (2)作出的边上的中线，并求出的面积． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； 【分析】本题考查了画三角形的高与中线，三角形中线平分三角形面积的性质； （1）利用直规作图即可；利用面积相等即可求解； （2）作出线段的垂直平分线即可；由三角形中线平分三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：作图如下： 由于， 则； （2）解：作图如下： ∵点E是的中点， ∴． 1．如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定定理，根据题意可证明垂直平分，则由线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 故选：A． 2．如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解： 为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：A． 3．如图，在中，，是AC的垂直平分线，的周长为，，则的长度为（   ） A．11 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质“垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等”．根据线段垂直平分线的性质可得到，再根据的周长为22可得，进而求得的长． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长为22， ， ， ， ， 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$