第1章 反比例函数（复习课件）数学湘教版九年级上册

单元复习课件 第1章 反比例函数 湘教版2024·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.深入理解反比例函数的定义，熟练掌握其图像特征（双曲线）、增减性及对称性，能准确判断函数表达式的合理性。 3.学会从反比例函数的图像中提取关键信息，能将文字描述转化为函数图像或表达式，通过图像分析解决与函数性质相关的问题，培养数形结合的思维方式。 2. 能根据已知条件求反比例函数的解析式，熟练进行函数值的计算；能结合一次函数等知识解决综合性问题，同时能运用反比例函数解决实际生活中的比例关系问题。 单元学习目标 单元知识图谱 1. 反比例函数的概念 定义：形如________ (k为常数，k≠0) 的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数． 三种表达式方法： 或 xy＝kx 或y＝kx－1 (k≠0)． 防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0. 考点串讲 2. 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的图象是 ，它既是轴对称图形又是中心对称图形. 反比例函数的两条对称轴为直线 和 ；对称中心是： . 双曲线 原点 y = x y=－x 考点串讲 (2) 反比例函数的性质 图象 所在象限 性质 (k≠0) k＞0 一、三象限(x，y同号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 k＜0 二、四象限(x，y异号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 x y o x y o 考点串讲 (3) 反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|. 规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数 ． 考点串讲 3. 反比例函数的应用 ◑利用待定系数法确定反比例函数： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出 k 的值； ③ 写出解析式. ◑反比例函数与一次函数的图象的交点的求法 求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方程组. 考点串讲 ◑利用反比例函数相关知识解决实际问题 过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值. 考点串讲 中考 1.［2024山东德州中考］如图，点，在反比例函数 的图象 上，点，在反比例函数的图象上， 轴，若 ，，与的距离为5，则 的值为( ) D A. B.1 C.5 D.6 考点一、反比例函数的图象与性质 【解析】如图，令交轴于点，交轴于点.设 ，则 ，，,, ， ，同理可得， .又 ，，， .故选D. 考点串讲 11 2.［2024浙江杭州中考］反比例函数的图象上有， 两点. 下列正确的选项是( ) A A.当时， B.当时， C.当时， D.当时， 【解析】 反比例函数中，， 此函数图象的两个分支分别位于 第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小.当 时， ， ，故A选项正确，符合题意.当 时，点在第三象限，点在第一象限， ， ，，故B，C选项错误，不符合题意.当 时， ， ，故D选项错误，不符合题意.故选A. 考点串讲 12 3. 开放性试题［2024湖北武汉中考］某反比例函数 具有下列性质：当 时，随的增大而减小.写出一个满足条件的 的值是_________________. 1（答案不唯一） 【解析】对于反比例函数，当时，随的增大而减小，则， 的值可以是1.故答案为1（答案不唯一）. 4. ［2024陕西中考］已知点和点均在反比例函数 的图象上.若，则___0.（填“ ”“”或“ ”） 【解析】 点和点均在反比例函数的图象上， ， .，，.故答案为 . 考点串讲 13 5.［2024贵州中考］已知点在反比例函数 的图象上. （1）求反比例函数的表达式； 【解】把代入，得，， 反比例函数的表达式为 . （2）点,,都在反比例函数的图象上，比较,, 的大小，并说 明理由. 【解】 .理由：方法一：由（1）得, 函数图象分别位于 第一、三象限，画出函数的大致图象如下： 根据图象得 . 方法二：将点，，代入， 得 ，，， ． 考点串讲 14 6.［2024青海西宁中考］如图，在平面直角坐标系 中，菱 形的顶点是坐标原点，顶点 在反比例函数 的图象上，对角线在 轴上.若菱形 的面积是，则 的值为( ) B A. B. C. D. 考点二、反比例函数中k 的几何意义 【解析】如图，连接交于点 四边形是菱形， 在轴上，， ， ,. ， .故选B. 考点串讲 15 7.［2024黑龙江龙东地区中考］如图，双曲线 经 过,两点，连接,，过点作轴，垂足为， 交 于点，且为的中点，则 的面积是( ) A A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.5 【解析】如图，过点作轴，垂足为，连接 ，则 是 的中点， 轴,轴,， ， ，即 ，， ， ，.易得 ， ，故选A. 考点串讲 16 8.［2023山东枣庄中考］如图，在反比例函数 的图象上有，，， ， 等点，它们的横坐标 依次为1，2，3， ， ，分别过这些点作轴与 轴的 垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为， ，， ， ，则 _____. 【解析】如图，，，， ， 的横坐标依次 为1，2，3， ，， 阴影矩形的一边长都为1， 将除第一个阴影矩形外的所有阴影矩形向左平移至 轴， .把 代 入反比例函数表达式，得，即 ， .由反比例函数中比例系数的几何意义得 ，．故答案为 ． 考点串讲 17 9.［2024安徽中考］已知反比例函数与一次函数 的图象的 一个交点的横坐标为3,则 的值为( ) A A. B. C.1 D.3 【解析】将代入中，得将代入中，得 ， 故选A. 考点三、反比例函数与一次函数的综合 考点串讲 18 10.［2024黑龙江大庆中考］在同一平面直角坐标系中，函数 与 的大致图象为( ) C A. B. C. D. 【解析】当时，， 函数 的图象经过第一、三、四象限， 函数的图象位于第一、二象限；当时，， 函数 的 图象经过第一、二、四象限，函数的图象位于第三、四象限， 只有C选项 符合题意.故选C. 考点串讲 19 11.［2024湖北中考］如图，一次函数的图象与轴交于点 ，与 反比例函数为常数，的图象在第一象限的部分交于点 . （1）求，， 的值； 【解】将代入得，解得， .将 代入得，解得，.将代入 得 . 考点串讲 20 （2）若是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且 的面积小于 的面积，直接写出点的横坐标 的取值范围. 【解】 . ， ，由题意得 ，， ． 思路分析 （1）把代入求出的值,得到直线表达式，再把 代入直 线表达式求出的值,最后把点坐标代入反比例函数表达式求出 值即可. 考点串讲 21 12.［2023江苏苏州中考］如图，一次函数 的图象与反比 例函数的图象交于点.将点沿 轴正方向平移 个单位长度得到点，为轴正半轴上的点，点 的横坐标大 于点的横坐标，连接，的中点 在反比例函数 的图象上. （1）求， 的值. 【解】将代入一次函数，得， 点的坐标为.将 代 入反比例函数，得 . 考点串讲 22 （2）当为何值时， 的值最大？最大值是多少？ 【解】 点的横坐标大于点的横坐标， 点在点 的右侧.过 点作直线轴于，交于 ，如图所示. 由平移的性质得轴，， . 点为的中点， . 在和中， ，， . 轴，点的坐标为，， ， 考点串讲 23 点 的纵坐标为4. 由（1）知反比例函数的表达式为 ， 当时，， 点的坐标为 ， 点的坐标为，点的坐标为 . 点，，轴， 点的坐标为 ， ， ， ， . ,,的最大值为36，此时 . 考点串讲 13.［2024黑龙江哈尔滨中考］已知蓄电池的电压单位： 为定 值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位： 是反比例 函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压____ . 36 【解析】为定值，电流与电阻是反比例函数关系， . 由图象可知，当时，， 故答案为36. 考点四、反比例函数的应用 考点串讲 25 类型1 一点一垂线 1.如图，直线交轴于点 ，交反比例函数 的图象于，两点，过点作 轴，垂足为点， 若，则 的值为( ) D A.8 B.9 C.10 D.11 题型一、反比例函数中k 的几何意义 【解析】 题型剖析 26 模型特征：过双曲线 上任意一点，向坐标轴作垂线，以该点、垂足和另一坐 标轴上任意一点为顶点的三角形的面积为常数 ． 模型图示： 题型剖析 27 类型2 一点两垂线 2.如图（1），是反比例函数图象上的一个动点，过 作轴， 轴,垂足分别为， . 图（1） 图（2） （1）若矩形的对角线，则矩形 的周长为______； 【解析】设,, 在反比例函数 的图象 上， 矩形的对角线， ，即， ，则 （负值已舍去）， 矩形的周长为 . 题型剖析 28 （2）如图（2），点在上，且，若关于直线的对称点 恰好落 在坐标轴上，连接，，，求 的面积. 【解】当关于直线的对称点恰好落在轴上时，如图（1），设与 相交 于点.由（1）知矩形的面积为12，而， 点与点 关于直线对称，，， ， ，， ， ，，， ， ， . 图（1） 题型剖析 29 图（2） 当关于直线的对称点恰好落在轴上时，如图（2）.∵点与点关于 对 称，，，为等腰直角三角形， . ,,,, 四边形 为正方形，易得， ， , ， ， .综上所述，的面积为4或 . 题型剖析 30 模型特征：过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所 围成的矩形的面积为常数 . 模型图示： 题型剖析 31 3.［2025宁夏银川期末］如图，点 是反比例函数 的图象上的一点，以为顶点作 ，使点 ,在轴上，点在轴上，若的面积为6，则 的值是 ( ) C A.1 B.3 C.6 D. 【解析】作于，如图. 四边形 为平行四边 形，轴， 易知四边形 为矩形， ， 反比例函数的图象在第二象限， ，即 ， .故选C. 题型剖析 32 类型3 两点两垂线 4.正比例函数与反比例函数 的图象相交于 ，两点.过作轴于，过作轴于 ，连接 ,,如图，则四边形 的面积为( ) C A.1 B. C.2 D. 【解析】轴， 轴， .根据反比例函数图象的对称性可知 ， ，,, 四边形 的面积为 ．故选C． 题型剖析 33 模型特征：已知反比例函数与正比例函数图象的交点，由交点向轴或 轴作两条 垂线，如图， . 思路分析 首先根据反比例函数中的几何意义得出 ，再根据反比例 函数图象的对称性得出， ，即可求得答案. 题型剖析 34 类型4 两曲一平行 5.两个反比例函数和 在第一象限内 的图象如图所示，设点在上，轴于点，交 于点 ，轴于点，交于点，则四边形 的面积为 ( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】轴，轴， ， ， 四边形的面积为 ． 题型剖析 35 模型特征：两个反比例函数图象上的两点连线平行于一条坐标轴，求这两点与原 点或坐标轴上的点构成的图形面积. 模型图示： 题型剖析 36 6.［2024安徽安庆调研，中］已知反比例函数 和 反比例函数 的图象如图所示. （1）点在反比例函数的图象上，过点作 轴的 【解】如图，连接，轴， ， ， 轴， . 垂线交反比例函数的图象于点，交轴于点，点在 轴上，连 接，，求 的面积； 题型剖析 37 （2）直线交反比例函数的图象于点 ，交反比例函数 的图象于点，若，求 的值. 【解】当时，，，， ， .，，解得， 经检验， 是分式方程的解， . 题型剖析 38 类型5 反比例函数中与面积相关的解题方法 7.坐标法［2025浙江杭州期末］如图，点 是反比例函数的图象 上一点，过点分别作轴、 轴的平行线交反比例函数的 图象于， 两点，以，为邻边的矩形 被坐标轴分割 成四个小矩形，面积分别记为，，，，若 ，则 的值为( ) D A. B. C.4 D. 【解析】由题意得.设，，则，，， ， ，，.，，解得 ， 经检验， 是方程的解，且符合题意.故选D. 题型剖析 39 8.“三角形”化“梯形”法［2024江西南昌调研，中］如图，等边 的边长为8，点在轴上，点 在第一象限，反比例函数 的图象经过的中点，与相交于点 . （1）求 的值； 【解】 等边的边长为8，点在轴上，点在第一象限， ， ，，即是的中点， 反比例函数 的图象经过的中点， . 题型剖析 40 （2）连接，，求 的面积. 【解】如图，作轴于，轴于 ，则 ， 直线的表达式为 .联立得 解得 或， . 题型剖析 41 模型解读 “三角形”化“梯形”模型 如图，作轴， 轴 __________________________________________________ 结论： ； ； 题型剖析 42 类型1 图象共存问题 1.［2025湖南常德质检］已知 ，则在同一直角坐标系中，函数 和 的图象大致是( ) B A. B. C. D. 题型二、反比例函数与一次函数的综合应用 【解析】， 反比例函数 的图象位于第二、四象限，一次函 数的图象经过第一、三、四象限，且过点， 只有选项B符合 题意.故选B. 题型剖析 43 类型2 取值范围问题 2.［2025宁夏银川质检］如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于，两点，当时， 的取值范围 为( ) B A. B.或 C. D. 【解析】由所给函数图象可知，当或 时，一次函数的图象在反比例 函数图象的下方，即，所以当时， 的取值范围为 或 .故选B. 题型剖析 44 3.［2024安徽芜湖三模］如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线相交于点和点 .请解决以下问题： （1）点 坐标为_________； 【解析】 点在直线上，， . 由题可得点，关于原点对称， ，故答案为 . （2）已知点，过点作平行于轴的直线，交直线与双曲线 分别 于点和.当时， 的取值范围是__________________. 或 【解析】由图象可知，当时，的取值范围是或 . 故答案为或 . 题型剖析 45 类型3 存在性问题 4.［2025山东聊城期末，中］如图，直线与轴交于点 ， 与反比例函数的图象交于点，过点作 轴于点，，点 在反比例函数的图象上. （1）连接，求 的长； 【解】 直线与轴交于点，， .对于 ,当时，， 点 在反比例函数图象上, ， 反比例函数表达式为. 点 在反比例函数的图象上， ， . 题型剖析 46 （2）在轴上是否存在点，使的值最小？若存在，请求出点 的坐标； 若不存在，请说明理由. 【解】在轴上存在点，使的值最小.如图，作点关于 轴的对称点，则，连接交轴于点，此时 的值最小.设直线的表达式为，则 解 得 直线的表达式为，当 时， ， . 题型剖析 47 5.［2025湖南永州期中］如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线相交于， 两点， （1）求， 对应的函数表达式. 【解】 直线与双曲线相交于 ， 两点，，，， 双曲线的表达式为，.把， 代入 得 解得 直线的表达式为 . （2）根据函数图象，直接写出关于的不等式 的解集. 【解】观察图象，可知关于的不等式的解集为或 . 题型剖析 48 （3）过点作轴交轴于点，在轴上是否存在点，使得 的面积等 于的面积的一半？若存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在.过点作，交的延长线于点 ，如图. 轴，轴，轴.， ， ， ， .的面积等于 的 面积的一半，.令直线交轴于 ，则 ，， ， 点的坐标为或 . 题型剖析 一、选择题 1.［2025湖南怀化质检］下列选项中，是 的反比例函数的是( ) D A. B. C. D. 【解析】是正比例函数，不是反比例函数，故A不符合题意； 不是反 比例函数，故B不符合题意； 是一次函数，不是反比例函数，故C不符合 题意； 是反比例函数，故D符合题意，故选D. 2.［2024湖南邵阳期中］如图，双曲线与直线 相交于 ，两点，点坐标为，则 点坐标为( ) B A. B. C. D. 【解析】 点与点关于原点对称， 点的坐标为 .故选B. 针对训练 50 3.［2025湖南永州期中］关于反比例函数 ，下列说法中错误的是( ) D A.当时，随的增大而减小 B.当时， C.它的图象与坐标轴无交点 D.当时，有最小值 【解析】,， 该函数图象位于第一、三象限，且在每一个象限 内，随的增大而减小， 当时，随的增大而减小；当 时， ；它的图象与坐标轴无交点；当时，或，则 无最小 值，故A，B，C选项说法正确，D选项说法错误，故选D. 针对训练 51 4.［2024湖南娄底期中］某气球内充满了一定质量的气体，当 温度不变时，气球内气体的压强单位：是气球体积 单位： 的反比例函数，其图象如图所示.当气球内气体的压 强大于 时，气球将爆炸.为了安全起见，气球的体积应 ( ) B A.不小于 B.不小于 C.小于 D.小于 【解析】设气球内气体的压强和气球内气体的体积 的关系式为 图象过点，，即随 的增大而 减小， 当时， .故选B. 针对训练 52 5.［2025浙江杭州质检］已知反比例函数，对于正数，当自变量 满足时，函数的最小值为，则当时，函数 有 ( ) D A.最大值 B.最小值 C.最大值 D.最小值 【解析】 反比例函数， 图象在第二、四象限，在每个象限内， 随的增大而增大. 对于一个正数，当时，函数 的最小值为 ， 当时，，，， 若 ，则当 时，函数有最小值，为；当时，函数 有最大值，为 ，故选D. 针对训练 53 6.［2025湖南岳阳质检］如图，在平面直角坐标系中，直线交 轴于 点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点 恰好落在反 比例函数的图象上，现将正方形向下平移 个单位，可以使顶 点落在反比例函数图象上，则 的值为( ) C A.2 B. C. D.3 针对训练 54 【解析】如图，作轴于点，轴于点， 轴于 点，交反比例函数图象于点.对于，令 ，得 ；令，得， 点的坐标是，点 的坐标是 ，， 四边形是正方形， ， ， .又 ， .在和 中， ， 针对训练 55 同理，，，， 点 的坐标是，点的坐标是.将代入得， .把代入，得，即点的坐标是， ， .故选C. 针对训练 二、填空题 7. 开放性试题 已知反比例函数的图象在其每一分支上，随 的增大而增大，则此反比例函数的表达式可以是______________________. （写出一个正确答案即可） （答案不唯一） 【解析】 反比例函数的图象在其每一分支上，随 的增大而增 大, ， 此反比例函数的表达式可以是 . 针对训练 57 8.［2024黑龙江齐齐哈尔中考］如图，反比例函数 的 图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点 ， ，则实数 的值为____. 【解析】如图，延长交轴于点 四边形 是平行四边形， 轴，， ， ，， ， ， 点在反比例函数图象上， .故答 案为 . 针对训练 58 9.如图，点，点，点，连接，过 点作函 数的图象交线段于点（不与点， 重合），已 知 . （1） ____； 12 【解析】 点在反比例函数 的图象上， .故答案为12. （2）若，则 的取值范围是__________. 【解析】，，双曲线交线段于点， ，. ，， .当点 在反比例函数图象上时，， ，且点不与，重合， .故答案为 . 针对训练 59 10.设,,,是反比例函数 图象上的任意四点，现有以下结论： ①四边形 可以是平行四边形； ②四边形 可以是菱形； ③四边形 不可能是矩形； ④四边形 不可能是正方形. ①④ 其中正确的是______.（写出所有正确结论的序号） 【解析】如图, 过点任意作两条直线分别交反比例函数的图象于点,,, ,并 顺次连接得到四边形.由对称性可知,,, 四边形 是 平行四边形.当时, 四边形是矩形. 反比例函数的图 象在第一、三象限, 直线与直线不可能垂直, 四边形 不可能是菱形 或正方形, 故②③错误, ①④正确. 针对训练 60 三、解答题 11.［2024湖南株洲质检］如图，平行于 轴的直尺（一部分） 与反比例函数的图象交于点，，与 轴交于点 ，，连接.点，的刻度分别为5，2，直尺的宽度 为 2，，设直线的表达式为 . （1）在的条件下，请结合图象直接写出不等式 的解集； 【解】根据图象可知不等式的解集为 . 针对训练 61 （2）求直线 的表达式. 【解】由题意可知,将点坐标代入，得 ， . 又， . 将和分别代入，得解得 直线的表达式为 . 针对训练 62 12.［2025湖南长沙期末］综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？ 器材：如图（1）所示的一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点 处， 右侧托盘的点可以在横梁段滑动.已知， ，一个 砝码的质量为 . 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体质量右盘物体质量 （不计托盘与横梁质量）. 任务1： 左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的质量 为，长为.当天平平衡时，求关于的函数表达式，并求 的取值范围. 【解】根据链接中给出的杠杆原理，可得， 则关于 的函数表达式为., , 的取值范围为 . 针对训练 63 任务2： 由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放 置一个砝码，右侧托盘放置空矿泉水瓶，如图（2）.滑动点至点 ，空瓶中加入 适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，滑动点，发现点滑动到 长为 时，天平平衡.求这个空矿泉水瓶的质量. 【解】设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为 .第一次称量时， ，，根据杠杆原理得 第二次称量时， ，，根据杠杆原理得 可得方程组 解得 空矿泉水瓶的质量为 . 关键点拨 理解题意，并能用杠杆原理进行列式是解本题的关键. 针对训练 64 13.如图，在平面直角坐标系中，一次函数， 为常数，且 与反比例函数为常数，且的图象交于点， . （1）求反比例函数和一次函数的表达式. 【解】， 将点坐标代入反比例函数表达式可得, 反比例函数的表达式为 . 将点的坐标代入，可得, 点的坐标为 . 将与 坐标代入一次函数表达式中，可得 解得 一次函数表达式为 . 针对训练 65 （2）求 的面积. 【解】当时，解得 ， 直线与轴的交点为 . 点,点， 的面积为 . （3）在轴上是否存在点，使是以或 为底的等腰三角形？若存在， 求出所有符合条件的 点的坐标;若不存在，请写出理由. 【解】存在.设点 点,的坐标分别为，, 由勾股定理易得 , ， . 当是以为底的等腰三角形时，，即，解得 ； 当是以为底的等腰三角形时，，即 ， 解得 .综上,点的坐标为或或 . 针对训练 66 反比例函数 定义 图象 性质 x，y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 应用 在实际生活中的应用 在物理学科中的应用 课堂总结 感谢聆听! $$