精品解析：陕西省西安市蓝田县2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024−2025学年陕西省西安市蓝田县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将点沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，点，，分别是边，，的中点，连接，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知函数（为常数，且）与函数（为常数且）的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 将直角三角板与直角三角板如图摆放，点在边上，与相交于点，若，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 8. 如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 若分式的值为，则的值是______． 10. 多项式和的公因式是______． 11. 将边长相等的正六边形和正五边形按如图所示的方式叠合在一起，则的度数为______． 12. 若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围为______． 13. 如图，已知在▱中，，点是和的平分线的交点，过点作，分别交、于、两点，连接、．已知下列结论：①；②点是的中点；③则其中所有正确的结论为______（填序号）． 三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 分解因式：． 15. 解方程：． 16. 某市郊公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，园林管理部门准备修建一座八角观景亭，要使点到荔枝古树，的距离相等，且点到围墙和围墙的距离相等，请你用尺规作图的方法找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法） 17. 已知是关于的一元一次不等式，试求的值，并解这个一元一次不等式． 18. 如图，在中，平分，过点作，交于点，连接，若，求证：． 19. 如图，在中，点E、F分别是边、的中点，若，求的度数． 20. 解不等式组，并在数轴上表示出此不等式组的解集． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上． （1）请画出关于原点对称的图形，点、、的对应点分别为点、、； （2）将绕原点逆时针旋转，画出旋转后得到的，点、、的对应点分别为点、、，并直接写出点的坐标． 23. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的键子数量相同．求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ 24. 如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 25. 某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有两种收费方式，详情见下表： 收费方式 详细介绍（注：不足一个小时的按一小时计算） 会员卡 办卡需元，每活动小时收费元 普通卡 进入文体中心要收取元/日，可免费进行文体活动小时，后续收费元/小时 小明打算一个月（30天）都去文体中心活动，每天活动的时间为小时（为正整数，且）． （1）如果小明选择办会员卡一个月需要花费______元；选择办普通卡一个月需要花费______元；（用含的代数式表示） （2）对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，小明办哪种更划算？ 26. 【思路梳理】 （1）如图，已知为等边三角形，点是边上的动点，连接，将沿翻折，点的对应点为．若，，求线段的长； 【操作发现】 （2）如图，学校劳动实践基地里，有一块等边三角形的小菜园，同学们开展“创意种植分区”活动，小萱打算利用对称，设计特色种植区：在边上选一个点，连接，将沿着对称，这就划分出一个“对称特色区”，点的对应点为点，连接，在点处修建一个储水池，与相交于点，小萱在边合适位置修建工具站，连接，现要沿，修建两条运输通道，沿修建一条灌溉水渠，实际施工测量时，发现所在直线与垂直，且，现要判断线段，，之间的数量关系，请你帮忙判断并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年陕西省西安市蓝田县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， C．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， 故选：C． 2. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式法分解因式，即可求解． 【详解】解：A、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意； B、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意； C、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意； D、能用完全平方公式因式分解，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，将点沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【详解】点沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为 故选：B． 4. 如图，在中，，，点，，分别是边，，的中点，连接，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形中位线定理得到，，由线段的中点等于得到，，即可求出四边形的周长． 本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半． 【详解】解：点，，分别是边，，的中点， 和是的中位线， ，， ，， ，， ，， 四边形的周长． 故选：C． 5. 如图，已知函数（为常数，且）与函数（为常数且）的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一不等式，能利用函数图象直接得出不等式的取值范围是解答此题的关键．直接根据两函数图象的交点即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，函数的图象在直线的下方， 所以关于的不等式的解集是． 故选：D． 6. 将直角三角板与直角三角板如图摆放，点在边上，与相交于点，若，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，等腰直角三角形，关键是掌握含角的直角三角形的性质．根据含角的直角三角形的性质得，由得，即可求解． 【详解】解：直角三角板，，， ， 直角三角板，， ， ， ， ， 阴影部分的面积是．   故选：A ． 7. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程增根问题，将分式方程转化为整式方程，根据增根的定义确定使分母为零的值，代入整式方程求解． 【详解】解：两边同乘得： ， ∵分式方程的增根是使分母为零的， 将代入整式方程：得， 解得， 故选： B． 8. 如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后根据旋转的性质得出，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：在等腰中，， ∴， ∵绕点C逆时针旋转得到，点A的对应点D落在上， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 若分式的值为，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键．分式的值为即分子为且分母不为，由此计算即可． 【详解】解：若分式的值为，则且， 解得， 故答案为：． 10. 多项式和的公因式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的公因式，先分解因式，2对比两个多项式，找出共同的因式即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故多项式和的公因式是， 故答案为：． 11. 将边长相等的正六边形和正五边形按如图所示的方式叠合在一起，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解答本题的关键． 根据正多边形的内角和定理求得正五边形和正六边形的内角，再作差即可解答． 【详解】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于， ， 故答案为：． 12. 若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式、根据一元一次不等式的解集求参数的取值范围，先解一元一次不等式，再根据不等式组的解集即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 13. 如图，已知在▱中，，点是和的平分线的交点，过点作，分别交、于、两点，连接、．已知下列结论：①；②点是的中点；③则其中所有正确的结论为______（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质． 利用平行四边形的性质得到，，，，利用平行线的性质和角平分线的定义计算出，则，于是可对进行判断；利用平行线的性质证明，得到，，再证明四边形为平行四边形得到，所以，则可对进行判断；设，，则，，，，则可对进行判断． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，，， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ， ，所以正确； ， ，， ，， ，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 即点为的中点，所以正确； ， 设，， ，， ， ， ，所以正确； 故答案为：． 三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解． 【详解】解：原式 ． 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的方法． 利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，， 故是原分式方程的解． 16. 某市郊公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，园林管理部门准备修建一座八角观景亭，要使点到荔枝古树，的距离相等，且点到围墙和围墙的距离相等，请你用尺规作图的方法找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．先作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点，则点即为所求． 【详解】解：如图，先作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点， 则点即为所求． 17. 已知是关于的一元一次不等式，试求的值，并解这个一元一次不等式． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义和解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据一元一次不等式的定义求出的值，再还原不等式，解之即可． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ， 解得， 将代入不等式得， ， 解得． 18. 如图，在中，平分，过点作，交于点，连接，若，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可得，得到，由得到，即可得到结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 19. 如图，在中，点E、F分别是边、的中点，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先证明四边形是平行四边形，得出，再由平行线的性质即可得解，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， 点E、F分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， ． 20. 解不等式组，并在数轴上表示出此不等式组的解集． 【答案】，图见解析 【解析】 【分析】本题考查不等式组的解集，不等式在数轴上的表示，分别求出两个不等式的解集，两个解集的公共部分就是不等式组的解集，画出数轴并表示求得的解集． 【详解】解：解不等式得， ， 解不等式得， ， 故原不等式组的解集为． 在数轴上表示为： ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式； 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上． （1）请画出关于原点对称的图形，点、、的对应点分别为点、、； （2）将绕原点逆时针旋转，画出旋转后得到的，点、、的对应点分别为点、、，并直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2），图见解析 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 本题考查作图—旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 点的坐标为． 23. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的键子数量相同．求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ 【答案】跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元 【解析】 【分析】设毽子的单价为x元，根据题意列方程计算即可． 【详解】解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元， 依题意，得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元． 【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，一般步骤：①审题；②设未知数；③找出能够表示题目全部含x的相等关系，列出分式方程；④解分式方程；⑤验根；⑥写出答案． 24. 如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，熟练掌握性质和判定是解题的关键． （1）延长交于点G，利用平行四边形的定义，证明四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形，可得．证明．结合，可得，进一步可得结论． 【小问1详解】 证明：延长交于点G， ∵，平分， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 证明：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴． ∵D、E分别是、的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有两种收费方式，详情见下表： 收费方式 详细介绍（注：不足一个小时的按一小时计算） 会员卡 办卡需元，每活动小时收费元 普通卡 进入文体中心要收取元/日，可免费进行文体活动小时，后续收费元/小时 小明打算一个月（30天）都去文体中心活动，每天活动的时间为小时（为正整数，且）． （1）如果小明选择办会员卡一个月需要花费______元；选择办普通卡一个月需要花费______元；（用含的代数式表示） （2）对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，小明办哪种更划算？ 【答案】（1）， （2）当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及列代数式． （1）利用小明选择办会员卡一个月所需费用办卡费用每天活动的时间，可用含的代数式表示出小明选择办会员卡一个月所需费用；利用小明选择办普通卡一个月所需费用每小时所需费用每天活动的时间，可用含的代数式表示出小明选择办普通卡一个月所需费用； （2）分，及三种情况，可求出的取值范围或的值，进而可得出结论． 【小问1详解】 根据题意得：小明选择办会员卡一个月需要花费元； 选择办普通卡一个月需要花费元． 故答案为：，； 【小问2详解】 若，则， 当时，小明办普通卡更划算； 若，则， 当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同； 若，则， 当时，小明办会员卡更划算． 答：当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算． 26. 【思路梳理】 （1）如图，已知为等边三角形，点是边上的动点，连接，将沿翻折，点的对应点为．若，，求线段的长； 【操作发现】 （2）如图，学校劳动实践基地里，有一块等边三角形的小菜园，同学们开展“创意种植分区”活动，小萱打算利用对称，设计特色种植区：在边上选一个点，连接，将沿着对称，这就划分出一个“对称特色区”，点的对应点为点，连接，在点处修建一个储水池，与相交于点，小萱在边合适位置修建工具站，连接，现要沿，修建两条运输通道，沿修建一条灌溉水渠，实际施工测量时，发现所在直线与垂直，且，现要判断线段，，之间的数量关系，请你帮忙判断并说明理由． 【答案】（1）（2），理由见解析 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，翻折变换折叠问题，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）过作于，利用含的直角三角形的性质、勾股定理等求出，，利用翻折的性质以及三角形内角和定理可求出，利用等角对等边可求出，即可求解； （2）如图，延长交于点，根据等边三角形的性质得到，，求得，根据轴对称的性质得到，，，求得，根据线段垂直平分线的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图，过作于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， 将沿翻折， ，， ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图，延长交于点， ，为等边三角形， ，， ， ， 为等腰三角形， 与关于对称， ，，， ， 平分， ， ，即， 垂直平分， ，， ， ， ，， ，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $