1.5 两条直线的交点坐标同步练习-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.5　两条直线的交点坐标 一、基础巩固 1.(探究点一)方程(a-1)x-y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线(　　) A.恒过定点(-2,3) B.恒过定点(2,3) C.恒过点(-2,3)和点(2,3) D.都是平行直线 2.(探究点二)过直线x+y-3=0和2x-y+6=0的交点,且与直线2x+y-3=0垂直的直线方程是(　　) A.4x+2y-9=0 B.4x-2y+9=0 C.x+2y-9=0 D.x-2y+9=0 3.(探究点二)过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为(　　) A.3x-19y=0 B.19x-3y=0 C.19x+3y=0 D.3x+19y=0 4.(探究点三)若直线l1:x+2y-4=0与直线l2:kx-y+2k+1=0的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是(　　) A.- B.-∞,-∪,+∞ C.- D.-∞,-∪-,+∞ 5.(探究点三)若直线l1:x+by=1与直线l2:x-y=a的交点坐标为(0,2),则a=　　　　,b=　　　　.  6.(探究点一)过原点的直线l1的倾斜角是直线l2:x-2y+5=0的倾斜角的2倍,则直线l1与l2的交点坐标为　　　　　.  7.(探究点三)已知直线Ax+3y+C=0与直线2x-3y+4=0的交点在y轴上,则C的值为　　　　　.  8.(探究点四)证明三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能围成三角形的充要条件是a=-1或a=1或a=-2. 二、能力提升 9.已知直线l过直线2x+y-5=0和直线x+2y-4=0的交点,且在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线l的方程为(　　) A.x-y-1=0 B.x+y-3=0或x-2y=0 C.x-y-1=0或x-2y=0 D.x+y-3=0或x-y-1=0 10.(2025陕西宝鸡期中)已知三条直线l1:y=x+1,l2:y=-2x+4,l3:mx+y+1=0不能围成三角形,则实数m的取值集合为(　　) A.{1,-2} B.{1,-2,3} C.{-1,2,-3} D.{-1,2} 11.(多选题)已知三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0交于一点,则坐标(m,n)可能是(　　) A.(1,-3) B.(3,-4) C.(-3,1) D.(-4,3) 12.过直线x+2y+1=0与直线2x-y+1=0的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为　　　　　　　　　　　　　　.  13.已知直线l:x+y-2=0,一束光线从点P(0,1+)以120°的倾斜角投射到直线l上,经l反射,则反射光线所在的直线方程为　　　　　　　.  14.已知两直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4(0<a<2)与两坐标轴的正半轴围成四边形.当a为何值时,围成的四边形面积最小,并求出最小值. 参考答案 1.A　(a-1)x-y+2a+1=0可化为-x-y+1+a(x+2)=0,由 2.D　联立解得即两直线交点为(-1,4).设与直线2x+y-3=0垂直的直线方程是x-2y+m=0.将x=-1,y=4代入方程,解得m=9.故所求方程为x-2y+9=0. 3.D　过两直线交点的直线系方程为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0(λ∈R),代入原点坐标,求得λ=-,故所求直线方程为x-3y+4-(2x+y+5)=0,即3x+19y=0,故选D. 4.A　由题意,联立解得 即直线l1:x+2y-4=0与直线l2:kx-y+2k+1=0的交点为.由题意可得解得-<k<,即实数k的取值范围是-.故选A. 5.-2　 6.(3,4)　设直线l2的倾斜角为α,则tan α=, 则直线l1的斜率k=tan 2α= 又直线l1过原点,所以l1的方程为y=x,联立解得即直线l1与l2的交点坐标为(3,4). 7.-4　因为两直线的交点在y轴上,且直线2x-3y+4=0与y轴的交点是0,,所以点0,在直线Ax+3y+C=0上.代入,解得C=-4. 8.证明 三条直线不能围成三角形,有可能三条直线互相平行或仅有两条直线平行,还可能三条直线有共同交点.若l1和l3平行,则,得a=1,此时l1,l2,l3重合;若l2和l3平行,则,得a=1,此时l1,l2,l3重合;若l1和l2平行,则,得a=±1,当a=1时,l1,l2,l3重合;当a=-1时,l1∥l2;若三条直线交于一点,则交点为(1,-1-a),代入l2:x+ay+1=0,得1-a(1+a)+1=0, ∴a=-2或a=1(舍去).综上可得,a=-1或a=1或a=-2是三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能围成三角形的充要条件. 9.C　由解得所以两直线的交点坐标为(2,1),因为直线l在两坐标轴上的截距互为相反数, ①当直线l在两坐标轴上的截距不为0时,可设直线l的方程为x-y=a,直线l过两直线的交点,所以把(2,1)代入x-y=a,解得a=1,则直线l的方程为x-y=1,即x-y-1=0; ②当直线l在两坐标轴上的截距都等于0时,设直线l的方程为y=kx(k≠0),直线l过两直线的交点,所以把(2,1)代入y=kx,解得k=,所以直线l的方程为y=x,即x-2y=0. 综合①②,直线l的方程为x-y-1=0或x-2y=0.故选C. 10.C　直线l1,l2,l3的斜率分别为k1=1,k2=-2,k3=-m,在y轴上的截距分别为1,4,-1.由解得即直线l1,l2的交点为A(1,2).由直线l1,l2,l3不能围成三角形,得直线l1∥l3或l2∥l3或点A在直线l3上,则-m=1或-m=-2或m+2+1=0,解得m=-1或m=2或m=-3,所以实数m的取值集合为{-1,2,-3}.故选C. 11.AB 12.x-3y=0或5x+5y+4=0　由解得则两直线的交点为P-,-. 由题意,所求直线在两坐标轴上截距相等. ①当截距为0时,设直线方程为y=kx,将点P-,-代入,得k=,则此时所求直线方程为y=x,即x-3y=0. ②当截距不为0时,设直线方程为=1,即x+y=a,将点P-,-代入,得a=-,则此时所求直线方程为x+y=-,即5x+5y+4=0. 综上所述,所求直线方程为x-3y=0或5x+5y+4=0. 13.x+y-(1+)=0　如图,设入射光线与l交于点Q,反射光线与x轴交于点P',由入射光线倾斜角为120°可得入射光线所在直线的斜率为-,又入射光线过点P(0,1+),所以入射光线所在的直线方程为y-(1+)=-x,即x+y-(1+)=0.解方程组所以点Q的坐标为(1,1).过点Q作垂直于l的直线l',显然直线l'的方程为y=x.由反射原理知,点P(0,1+)关于l'的对称点P'(1+,0)必在反射光线所在的直线上.所以反射光线所在直线P'Q的方程为,即x+y-(1+)=0. 14.解 由题可知两直线l1与l2都过点(2,2),如图所示.设两直线l1,l2的交点为C(2,2),且两直线的斜率分别为k1和k2,则k1=(0,1),k2=--∞,-.因为直线l1与y轴的交点A的坐标为(0,2-a),直线l2与x轴的交点B的坐标为(2+a2,0),所以S四边形OACB=S△OAC+S△OCB=(2-a)·2+(2+a2)·2=a2-a+4=a-2+因为0<a<2,所以当a=时,四边形OACB的面积最小,最小值为 3 学科网（北京）股份有限公司 $$