“平易近人的”向量 讲义-2026届高三数学一轮复习

全国新高考数学核心考点解读----平易近人的向量 一．考点解读 （一）．历年真题考查情况：从2020年至2025年的新高考全国Ⅰ卷和Ⅱ卷来看，平面向量题属于每年都出镜的核心考点，题目基本不难，而且2022年以后的向量题难度进一步降低.主要考查了向量的概念和线性运算，向量的共线与垂直，向量的数量积，向量的坐标及其运算，向量的夹角、模，向量的综合应用等．从以往6年的全国Ⅰ卷和Ⅱ卷的向量题来看，全国卷的向量题非常亲民，非常平易近人，不像以前分省命题时那样高不可攀．具体试题分布情况如下表所示： 新高考全国Ⅰ卷 新高考全国Ⅱ卷 2020年 第7题 第3题 2021年 第10题 第15题 2022年 第3题 第4题 2023年 第3题 第13题 2024年 第3题 第3题 2025年 第6题 第12题 （二）．历年真题常考题型 题型一：平面向量的概念和线性运算 题型二：向量的数量积 题型三：向量的共线与垂直 题型四：向量的坐标及其运算 题型五：向量的夹角、模 题型六：向量的综合应用 （3） 备考建议 预计向量在未来的高考中继续会保持亲民，平易近人的风格，当然也可能会考得难一些，甚至考选择题和填空题压轴题也完全有可能，毕竟向量可以考的内容太多了，向量是数形结合的纽带，用形解决数的问题是高中数学的核心思想方法，所以考生在备考时不能放松警惕，对于向量中的常用的解题方法还是要掌握好，会熟练的用这些方法解题. 二．真题再现 题型一：平面向量的概念和线性运算 例1.（2020年新高考全国卷Ⅱ数学第3题）在中，D是AB边上的中点，则=（    ） A． B． C． D． 【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】 故选：C 例2．（2022年新高考全国Ⅰ卷数学第3题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 题型三：向量的数量积及其应用 例3．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学第7题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是， 故选：A. 题型四：向量的共线与垂直 例 4．（2023年新高考全国Ⅰ卷数学第3题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 例5．（2024年新高考全国Ⅰ卷数学第3题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 题型五：向量的坐标及其运算 例6.（2025年新高考全国卷Ⅱ数学第12题） 已知平面向量若，则___________ 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 例7．（2022年新高考全国Ⅱ卷数学第4题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：,,即,解得, 故选：C 例8．（多选）（2021年新高考全国Ⅰ卷数学第10题）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 题型六：向量的夹角、模 例9．（2024年新高考全国Ⅱ卷数学第3题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 例10．（2021年新高考全国Ⅱ卷数学第15题）已知向量，，， ． 【分析】由已知可得，展开化简后可得结果. 【详解】由已知可得， 因此，. 故答案为：. 例11．（2023年新高考全国Ⅱ卷数学第13题）已知向量，满足，，则 ． 【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解. 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 题型七：向量的综合应用 例12．（2021年新高考全国Ⅰ卷数学第6题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 3、 专项训练 1．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 2．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 3．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ，若，则的最大值为 【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出． 法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出． 【详解】方法一： ，， ，当且仅当时取等号，而，所以． 故答案为：；． 方法二：如图所示，建立坐标系： ，， ，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 故答案为：；． 4．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，，解得． 故答案为：15． 5．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则 ． 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：， 解方程可得：. 故答案为：. 6．（2023·上海·高考真题）已知,，求 【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解. 【详解】由题意得 故答案为：4 10．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； . 【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可. 【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示： 则， ，， . 故答案为：0；3. 7．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 8．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 9．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 10．（2022·上海·高考真题）若，且满足，则 . 【分析】设，利用数量积定义求出，即可求出. 【详解】因为，所以，设. 由可得：， 两式相除得：. 又，且 解得：. 因为，所以，解得：. 故答案为：. 11．（2022·全国甲卷·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． 12．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得 当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.   当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 13．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 14．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 15．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；. 16．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则 ． 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． 【详解】因为，所以由可得， ，解得． 故答案为：． 17．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 18．（2022·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则 ． 【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知：，解得. 故答案为：. 19．（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则 ． 【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值 【详解】, ，解得, 故答案为：. 20．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先求得，然后求得. 【详解】因为，所以. 故选：D 21．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 22．（2021·全国甲卷·高考真题）若向量满足，则 . 【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案 【详解】∵ ∴ ∴. 故答案为：. 23．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解. 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 24．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国新高考数学核心考点解读----平易近人的向量 一．考点解读 （一）．历年真题考查情况：从2020年至2025年的新高考全国Ⅰ卷和Ⅱ卷来看，平面向量题属于每年都出镜的核心考点，题目基本不难，而且2022年以后的向量题难度进一步降低.主要考查了向量的概念和线性运算，向量的共线与垂直，向量的数量积，向量的坐标及其运算，向量的夹角、模，向量的综合应用等．从以往6年的全国Ⅰ卷和Ⅱ卷的向量题来看，全国卷的向量题非常亲民，非常平易近人，不像以前分省命题时那样高不可攀．具体试题分布情况如下表所示： 新高考全国Ⅰ卷 新高考全国Ⅱ卷 2020年 第7题 第3题 2021年 第10题 第15题 2022年 第3题 第4题 2023年 第3题 第13题 2024年 第3题 第3题 2025年 第6题 第12题 （二）．历年真题常考题型 题型一：平面向量的概念和线性运算 题型二：向量的数量积 题型三：向量的共线与垂直 题型四：向量的坐标及其运算 题型五：向量的夹角、模 题型六：向量的综合应用 （3） 备考建议 预计向量在未来的高考中继续会保持亲民，平易近人的风格，当然也可能会考得难一些，甚至考选择题和填空题压轴题也完全有可能，毕竟向量可以考的内容太多了，向量是数形结合的纽带，用形解决数的问题是高中数学的核心思想方法，所以考生在备考时不能放松警惕，对于向量中的常用的解题方法还是要掌握好，会熟练的用这些方法解题. 二．真题再现 题型一：平面向量的概念和线性运算 例1.（2020年新高考全国卷Ⅱ数学第3题）在中，D是AB边上的中点，则=（    ） A． B． C． D． 例2．（2022年新高考全国Ⅰ卷数学第3题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 题型三：向量的数量积及其应用 例3．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学第7题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：向量的共线与垂直 例 4．（2023年新高考全国Ⅰ卷数学第3题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 例5．（2024年新高考全国Ⅰ卷数学第3题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型五：向量的坐标及其运算 例6.（2025年新高考全国卷Ⅱ数学第12题） 已知平面向量若，则___________ 例7．（2022年新高考全国Ⅱ卷数学第4题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 例8．（多选）（2021年新高考全国Ⅰ卷数学第10题）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型六：向量的夹角、模 例9．（2024年新高考全国Ⅱ卷数学第3题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 例10．（2021年新高考全国Ⅱ卷数学第15题）已知向量，，， ． 例11．（2023年新高考全国Ⅱ卷数学第13题）已知向量，满足，，则 ． 题型七：向量的综合应用 例12．（2021年新高考全国Ⅰ卷数学第6题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 3、 专项训练 1．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 2．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ，若，则的最大值为 4．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 5．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则 ． 6．（2023·上海·高考真题）已知,，求 10．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； . 7．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 8．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 10．（2022·上海·高考真题）若，且满足，则 . 11．（2022·全国甲卷·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 12．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 13．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 15．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 16．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则 ． 17．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 18．（2022·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则 ． 19．（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则 ． 20．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 21．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 22．（2021·全国甲卷·高考真题）若向量满足，则 . 23．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 24．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$