第1讲 集合的概念分层练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

暑假领航（人教A版 必修第一册） 第1讲 集合的概念 A 基础夯实 一、选择题 1．下列给出的对象能构成集合的有( ) ①某校2024年入学的全体高一年级新生； ②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生； ④不等式的所有正整数解. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2．用描述法表示函数图象上的所有点的是( ) A. B. C. D. 3．下列关系中，正确的有( ) ①；②；③；④；⑤. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4．集合中实数a的取值范围是( ) A.或 B.且 C.或 D.且 5．已知集合,则必有( ) A. B. C. D. 6．已知集合，且，则( ) A. B. C. D. 7．集合，，，且，，则有( ) A. B. C. D.不属于P，Q，M中的任意一个 8．已知，若集合P中恰有4个元素，则( ) A. B. C. D. 二、填空题 9．已知集合，，若，则集合___________. 10．集合用列举法表示为______. 11．已知集合,且,则m的值为____________. 三、解答题 12．下列的集合中，哪些是有限集？哪些是无限集？ （1）使得式子有意义的所有实数组成的集合； （2）使得式子有意义的所有自然数组成的集合； （3）方程的所有实数解组成的集合. 13．用适当的方法表示下列集合： （1）英语单词mathematics（数学）中的所有英文字母组成的集合； （2）方程的所有解组成的集合； （3）绝对值小于0的所有实数组成的集合. 14．已知集合. （1）若A中没有元素，求实数a的取值集合； （2）若A中只有一个元素，求实数a的取值集合. B 基础夯实 一、选择题 1．下面说法中,正确的为( ) A.且或 B. C. D.集合不满足元素的互异性 2．已知x，y为非零实数，则集合为( ) A. B. C. D. 二、填空题 3．已知集合，且，，则xy__________A.（选填“”或“”） 三、解答题 4．已知集合,a为实数. （1）若集合A是空集,求实数a的取值范围; （2）若集合A是单元素集,求实数a的值; （3）若集合A中元素个数为偶数,求实数a的取值范围. 5．已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”. (1)判断：集合是否是“完美集”并说明理由； (2)、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于2； (3)若为正整数，求：“完美集”A. 第1讲 集合的概念 A 基础夯实 1．答案：B 解析：对于①：某校2024年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，因此对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对而言的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有1，2，3，能构成集合，故④正确. 故选B. 2．答案：C 解析：因为集合是点集，所以代表元素是，所以用描述法表示为.故选C. 3．答案：C 解析：为实数，故①正确；是无理数，故②正确；由于是无理数，故③不正确；，故④不正确；，故⑤正确.综上所述，①②⑤正确.故选C. 4．答案：D 解析：由集合中元素的互异性可知，，解得且，所以实数a的取值范围为且.故选D. 5．答案：C 解析：依题意,,结合元素与集合关系知,ABD错误,C正确. 故选：C 6．答案：D 解析：因为集合，且，所以可能为1，2，3，6，即a可能为4，3，2，.所以.故选D. 7．答案：B 解析：因为，所以.因为，所以，则.故选B. 8．答案：B 解析：因为，且集合P中恰有4个元素，所以.所以. 9．答案： 解析：因为且，所以C中有元素1，4，所以. 10．答案：或 解析：. 故答案为: 11．答案：1或3 解析：,, 当时,,此时,满足条件; 当时,, 时,不满足互异性,排除;时,,满足条件. 综上所述：或. 故答案为：1或3. 12．答案：（1）无限集，（2）（3）有限集 解析：（1）式子有意义则，大于等于2的实数有无数多个，所以此集合为无限集； （2）式子有意义则，小于等于3的所有自然数为0，1，2，3，所以此集合为有限集； （3）方程没有实数解，所以此集合为有限集， 13．答案：（1） （2） （3） 解析：（1）英语单词mathematics（数学）中的所有英文字母组成的集合，列举法表示为； （2）方程的所有解组成的集合描述法表示为； （3）不存在绝对值小于0的实数，集合为或用描述法表示为. 14．答案：（1）； （2） 解析：（1）对于方程，若，则，不合题意，故，此时方程是关于x的一元二次方程.集合A中没有元素，则，即.所以实数a的取值集合为. （2）对于方程，若，则，符合题意； 若，方程是关于x的一元二次方程.A中只有一个元素，即，即. 综上，实数a的取值集合为. B 基础夯实 1．答案：C 解析：对于选项A：例如且,但或, 所以且或,故A错误; 对于选项B：集合是点集,集合是数集, 两个集合的元素不相同,所以,故B错误; 对于选项C：因为集合,元素相同, 所以,故C正确; 对于选项D：集合只有一个元素,符合集合的互异性,故D错误; 故选：C. 2．答案：B 解析：当，时，.当，时，. 若x，y异号，不妨设，，则. 因此或，则.故选B. 3．答案： 解析：因为，，所以设，，，，，，所以，且，，所以. 4．答案：（1）当时，；当时， （2），或 解析：（1）若集合A中只有一个元素， 则当时，方程化为，解得，所以； 当时，，所以， 这时方程有两个相等的实数根， 解得，所以. 综上所述，当时，；当时，. （2）若集合A中至多只有一个元素， 则当时，方程的判别式，解得； 当时，方程有一个实数根. 故a的取值范围是，或. 5．答案：（1） （2）或. （3）且 解析：（1）若集合A是空集,则, 解得.故实数a的取值范围为. （2）若集合A是单元素集,则 ①当时,即时,,满足题意; ②当,即时,,解得, 此时. 综上所述,或. （3）若集合A中元素个数为偶数,则A中有0个或2个元素. 当A中有0个元素时,由（1）知; 当A中有2个元素时,解得且. 综上所述,实数a的取值范围为且. 6．答案：(1)是，理由见解析； (2)证明见解析； (3) 解析：（1）由，，则集合是“完美集”， （2）若、是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系知，和相当于的两根， 由，解得或（舍去）， 所以，又，均为正数， 所以、至少有一个大于2. （3）不妨设A中， 由，得， 当时，即有，又为正整数，所以， 于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”A只有一个，为. 当时，由，即有， 而， 又，因此，故矛盾， 所以当时不存在完美集A， 综上知，“完美集”A为. ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$