第二章 直线与圆的方程 全章复习（知识回顾+6重难点题型）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册考试满分全攻略

第二章 直线与圆的方程 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 直线的方程 题型二 两条直线的位置关系 题型三 点到直线的距离 题型四 圆的方程 题型五 直线与圆的位置关系 题型六 圆与圆的位置关系 知识清单 知识点01直线的倾斜角与斜率 1．当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 4. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 5．直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 知识点02求直线的方程 1.方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 3.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 4.我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 5.我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 知识点03利用一般式解决直线的平行与垂直问题 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 知识点04判断两直线位置关系的方法 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点05点到直线的距离公式 1.点到直线的距离公式：d＝. 2．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 知识点06圆的方程 1.确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 2．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 3．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 知识点07直线与圆的位置关系 直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 知识点08圆与圆的位置关系 1．代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 题型方法 【题型一】 直线的方程 【例1】（24-25高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求直线的斜率； (2)求中线的方程. 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）利用斜率坐标公式直接求出斜率. （2）求出及直线的斜率，再利用直线的点斜式求出方程. 【详解】（1）直线的斜率. （2）依题意，边的中点，则直线的斜率， 所以直线的方程是，即. 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1) (2)24， 【知识点】条件等式求最值、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）根据题意，假设直线的方程为，代入所经过点即可得解； （2）利用直线的截距式方程，结合基本不等式求得，从而得到的面积的最小值与直线的方程，从而得解. 【详解】（1）由题意可知直线不经过原点， 又直线在两坐标上的截距相等，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 故直线的方程为，即. （2）依题意，设直线的方程为， 则，且， 所以，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积， 即的面积的最小值为， 此时直线的方程为，即. 【变式2】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知的三个顶点是 (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求角A的内角平分线所在的直线方程 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）由中点公式得到中点，再求出边上的中线所在直线的斜率，然后由直线的点斜式方程求出边上的中线所在直线方程； （2）先由和两点求出直线BC的斜率，由于边与高垂直，则由两直线垂直的结论求出高所在直线的斜率，再结合点，由直线的点斜式方程求出高所在直线方程； （3）由题可得内角平分线的方向向量，据此可得角平分线斜率，然后由角平分线过点A可得角平分线所在直线方程. 【详解】（1）设边上的中点为D，则D，则中线斜率为， 则由点斜式可得边上的中线的直线方程为：； （2）由题可得斜率为：， 则边上的高斜率为，又边上的高的直线方程过点A， 则边上的高的直线方程为：； （3），设， 则，所以为AD的方向向量，则， 所以AD：，整理得 【变式3】（23-24高二上·重庆·期中）已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2)最小值为4，. 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）截距相等时，要考虑到截距为和不为两种情况分类讨论； （2）设直线方程为点斜式，表示直角三角形的面积，通过基本不等式即可求得最值. 【详解】（1）当截距为时，设直线方程为， 因为直线过点，则， 解得， 所以直线方程为； 当截距相等且不为时，设直线方程为， 因为直线过点，则代入直线方程得，， 则直线方程为. 所以直线方程为或. （2）由题意可知，直线的截距不为，且斜率存在且， 设直线方程为， 令，；令， 则， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为，此时的直线方程为. 【题型二】 两条直线的位置关系 【例2】（22-23高二上·湖南邵阳·期中）已知直线;直线. (1)若，求实数的值; (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、由一般式方程判断直线的平行、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】（1）由，得到，即可求解； （2）由，求得，再结合两平行线间的距离公式，求得的值即可求解. 【详解】（1）由题意，直线，， 因为，可得，解得. （2）由直线，， 因为，可得，可得， 此时直线， 又由间的距离为， 根据两平行线间的距离公式，可得，解得或. 所以直线的斜截式方程为或. 【举一反三】【变式1】（22-23高二下·上海宝山·期末）已知直线：；：. (1)若，求实数的值； (2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【知识点】已知直线平行求参数、直线截距式方程及辨析、由一般式方程判断直线的平行 【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，即可列式子求解， （2）分别求解轴上的截距，根据相等列方程求解即可. 【详解】（1）当时，满足，解得， （2）由题意可知，故， 令，则， 令，则， 故，解得或 【变式2】（23-24高二上·山东·阶段练习）求满足以下条件的参数的值． (1)若直线：和直线：平行，求m的值． (2)已知直线经过点，，直线经过点，，若，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】已知直线垂直求参数、由一般式方程判断直线的平行 【分析】（1）由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. （2）当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解. 【详解】（1）直线和直线平行， ，解得或， 当时，直线：和直线：平行， 当时，直线：和直线：重合， 所以； （2）由题意，知直线的斜率一定存在，直线的斜率可能不存在. 当直线的斜率不存在时，，即，此时，则，满足题意. 当直线的斜率存在时，， 由斜率公式，得. 由，知，即，解得. 综上所述，或. 【变式3】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 【答案】(1)0 (2) 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线过定点问题 【分析】（1）两直线平行可得，解方程再检验即可得解； （2）求出两点，再由直线方程联立求出，根据直线垂直得的斜率，即可求出直线方程. 【详解】（1），解得或 当时，：，：满足； 当时，：，：,即，两直线重合，舍去； 故. （2）由直线：， 即，令，可得， 所以定点， 由：，令，可得， 可知定点， 当时，联立与的方程得， 解得， ，从而， 又直线过点， 故直线的方程为，即. 【题型三】点到直线的距离 【例3】（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【详解】由题点到直线的距离为. 故选：D. 解题技巧 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·重庆·阶段练习）点到直线的距离为 【答案】 【分析】根据点到直线距离公式计算即可. 【详解】点到直线的距离为. 故答案为： 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）求点到下列直线的距离： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）先将直线方程化为一般式；再根据点到直线距离公式即可求解.． （2）特殊状态的直线可数形结合解决． （3）特殊状态的直线可数形结合解决. 【详解】（1）将化为一般式：. 由点到直线距离公式可得： 点到该直线的距离为. （2）将化为：，    因为该直线平行于轴， 所以点到该直线的距离为 （3）因为直线平行于轴， 所以点到该直线的距离为. 【变式3】（24-25高二上·河北邢台·期末）已知圆的圆心在轴上，且经过点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的圆心坐标为，利用圆上的两点建立方程，求出的值，即得所求圆的方程； （2）结合图形，求得圆心到直线的距离，利用弦长公式求出弦长，即可求得的面积. 【详解】（1）依题意，设圆的圆心坐标为，则有，解得， 则圆的半径为：，故圆的标准方程为； （2） 如图，作，垂足为， 由圆心到直线的距离为， 则， 故的面积为. 【题型四】圆的方程 【例4】（24-25高二下·河南周口·期中）已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆心坐标，得到，再由点在圆上，代入即可求解. 【详解】设圆心坐标为： 由题意可知圆的标准方程为：， 由圆过点， 所以，解得：， 所以圆的标准方程为， 故选：C 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】利用对称求出圆心坐标和半径即得所求圆的方程. 【详解】圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径， 而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等， 即圆心，半径， 所以圆的标准方程为：. 故答案为： 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知圆经过点，，且圆心在轴上.求圆的标准方程. 【答案】 【分析】设圆的方程为，代入点的坐标求出、，即可求出圆的方程. 【详解】题意设圆的方程为， 则， 解得， 所以圆的方程为. 【变式3】（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知的三个顶点分别为，，. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 【答案】(1)1 (2)，圆心坐标是，半径为 【分析】（1）运用两点间距离公式计算，求出边所在直线的方程，再用点到直线距离公式计算高，最后算出面积即可； （2）设圆的方程为，运用待定系数法，代入点计算即可. 【详解】（1）， 边所在直线的方程为，即， 点到直线：的距离为， 所以. （2）设圆的方程为， 由题意得，，， 所求圆的方程为， 即， 所求圆的圆心坐标是，半径. 【题型五】直线与圆的位置关系 【例5】（24-25高二下·重庆·阶段练习）直线的图象如图所示，则圆与直线的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由圆心到直线的距离小于半径可得. 【详解】由题意可得圆心坐标，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交. 故选：C 解题技巧 涉及直线与圆的有关题型 (1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得． (2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解． 【举一反三】【变式1】（22-23高二上·宁夏银川·阶段练习）直线与圆的位置关系是 . 【答案】相交 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交. 故答案为：相交 【变式2】（24-25高二上·陕西·期中）已知圆：，直线：. (1)证明：不论取什么实数时，直线与圆恒交于两点； (2)求直线被圆截得的线段的最短长度以及此时实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)，实数的值为 【分析】（1）证明直线过的定点在圆内即可； （2）利用圆心到直线距离最大时即截得的线段的最短时即可求解. 【详解】（1）圆，即， 所以，圆的半径. 直线，即， 由，解得，所以直线过定点， 又， 故点在圆内，且直线过定点. 所以不论取什么实数时，直线与圆恒交于两点. （2）直线被圆截得的线段的最短长度时，即圆心到直线的距离最大时，且直线过定点， 所以圆心到直线的最大距离为，此时弦长为. 且此时垂直直线，设直线的斜率为，直线的斜率：， 则，得到，所以，解得， 直线被圆截得的线段的最短长度为，实数的值为. 【变式3】（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）已知圆关于直线对称，且过点. (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于、两点，且，求此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）根据圆心在直线以及点在圆上，即可求解，，进而根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解， （2）利用圆的弦长公式可得，结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程. 【详解】（1）圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切， （2）设圆心到直线l的距离为，则， 当直线的斜率不存在时，即，满足题意， 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 所以，解得 ， 所以直线l的方程为或． 即或． 【题型六】圆与圆的位置关系 【例6】（24-25高二上·广东清远·期末）如图，圆内一点，直线过点，且倾斜角为. (1)求弦长； (2)若圆与圆相交，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【知识点】圆的弦长与中点弦、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）利用斜率的几何意义求出直线斜率，进而求出直线方程，最后结合勾股定理求解弦长即可. （2）利用圆与圆的位置关系建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）由题意得直线过点，且倾斜角为， 由斜率的几何意义得， 则直线的方程为，即， 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离， 由勾股定理得. （2）易知圆的圆心坐标为，半径为； 若圆与圆相交，则， 即，解得， 故的取值范围为. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知圆：，圆：． (1)证明：圆与圆相交； (2)若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、判断圆与圆的位置关系、求两圆的交点坐标 【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距即可推理得证. （2）联立两个圆的方程求出交点坐标，结合已知求出圆的方程. 【详解】（1）圆的标准方程为，圆心，半径； 圆的标准方程为，圆心，半径； 于是，即， 所以圆与圆相交. （2）由，得， 将代入圆得：，当时，；当时，， 则圆与圆的交点为，，线段AB的中点坐标为， 而圆心M在y轴上，因此圆心M为，所以圆M的方程为. 【变式2】（24-25高二上·广东·期末）已知，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求的标准方程； (2)求与的公切线条数，并探究与是否有公共弦，若有，求出公共弦的一般式方程；若没有，说明理由． 【答案】(1) (2)2条，有， 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程 【分析】（1）求出的中点坐标、可得圆心坐标、半径，可得的标准方程； （2）求出圆心距，即可判断两圆相交，再两圆方程作差，可求出公共弦方程． 【详解】（1）因为，所以的中点为， 且， 因为是以线段为直径的圆，即圆心为， 半径， 所以的标准方程为； （2）圆的圆心2， 又， 所以，故两圆相交，其公切线条数为2， 此时有公共弦， 则两圆方程作差得到公共弦的一般式方程为． 【变式3】（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知圆，直线． (1)判断直线l与圆C的位置关系； (2)求圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值； (3)圆心为的圆与圆C相切，求圆的方程． 【答案】(1)相离 (2)最大值为，最小值为 (3)或 【知识点】判断直线与圆的位置关系、由圆与圆的位置关系确定圆的方程、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】(1)判断圆心到直线的距离与半径的大小即可； (2)由(1)可知直线与圆相离，此时圆上的点到直线的距离的最大值为，最小值为，利用公式即可求解； (3)圆与圆相切，分为内切和外切两种情况去求出半径，再写出圆的标准方程即可. 【详解】（1）圆可化为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆相离； （2）由(1)可知圆心到直线的距离， 圆上的点到直线距离的最大值为，最小值为； （3） 设圆的半径为， 两圆相切，且， 当圆与圆外切时，，当圆与圆内切时，， 圆心为， 圆的方程为或. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江西南昌·期中）圆的圆心到直线的距离为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】先求出圆心，再应用点到直线距离公式计算求解. 【详解】圆的圆心为， 所以圆心到直线的距离为. 故选：B. 2．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心，当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线的斜率乘积等于可求直线方程 【详解】，圆心为， 圆心与连线所在直线斜率为：， 因为， 所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足：，所以， 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为：， 整理得： 故选：B 3．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 4．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点确定直线的斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出，最后利用点斜式方程可得解. 【详解】由题意知，，则直线的斜率, 因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为， 所以直线的斜率，再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为， 即， 故选：A. 5．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程表示圆得，结合圆心在第二象限可得到结果. 【详解】由方程表示圆得，， 整理得，，解得. 由题意得，圆心坐标为，由圆心在第二象限得， 所以实数a的取值范围为. 故选：C. 6．（24-25高二上·四川乐山·期末）点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】法一：写出点到直线的距离的表达式，换元，利用对勾函数的性质即可求解；法二：利用几何法即可求出最值. 【详解】法一：点到直线的距离为， ， 令，当时，， 当时，，由对勾函数的性质可知， 所以，所以， 所以. 法二：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即. 故选：C. 二、多选题 7．（23-24高二上·四川广安·期中）下列说法错误的是（    ） A．经过点，倾斜角为的直线方程为 B．方程表示的直线过定点 C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D．若方程表示圆，则 【答案】AC 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系、直线过顶点、截距式方程以及圆的标准方程，可得答案. 【详解】对于A，当时，不存在，此时直线方程为，故A错误； 对于B，将代入直线方程，则方程恒成立，故B正确； 对于C，当截距为零时，直线方程为，故C错误； 对于D，由，则，即，解得，故D正确. 故选：AC. 8．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知三点下列结论正确的是（    ） A．AB的距离为 B．直线BC的一般式方程为 C．以BC为直径的圆方程为 D．外接圆的方程为 【答案】BCD 【分析】根据两点间的距离坐标公式以及直线方程、圆的标准方程、待定系数法求解圆的一般方程即可得出结论. 【详解】由题意知,AB的距离为，故A错误; 直线BC的方程为,即，故B正确； 以BC为直径的圆，圆心为，半径为, 所以圆的方程为, 即,故C正确; 设外接圆的方程为， 代入三点坐标得， ,解得 , 所以外接圆的方程为,故D正确. 故选：BCD. 9．（24-25高二上·山西朔州·期中）已知的三个顶点是，，，则（   ） A．边的长度是 B．直线的方程为 C．边上的高所在直线的方程为 D．的面积是4 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合距离公式、斜率坐标公式、直线的点斜式方程逐项求解判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，直线的斜率，方程为，即，B正确； 对于C，边上的高所在直线的斜率为，方程为，即，C错误； 对于D，点到直线的距离，的面积是，D正确. 故选：ABD 10．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知过原点的直线交圆于A，B两点，则下列说法正确的是（      ） A．若直线的方程为，且，则 B．若M，N为圆上的任意两点，当时，的最大值为 C．若原点在圆外，则 D．当时，AB中点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】对于A，由直线过圆的圆心，即可验算；对于B，由的最大值为即可判断；对于C，由切割线定理即可判断；对于D，分析可得，AB中点的轨迹是以为半径的半圆，由此即可验算. 【详解】由，即圆心，半径为2， 对于A，因为，所以在直线上，即，所以，正确； 对于B，由，所以，即在圆外， 所以与圆相切时最大，且， 此时，故的最大值为，错误； 对于C，根据切割线定理得（点为切点）， 又，所以，正确； 对于，由题设，且中点在以OC为直径的圆上，圆心为，半径为， 所以其轨迹方程为，且轨迹在圆的内部， 联立，可得相交弦所在直线为， 显然在直线上，故AB中点的轨迹是以为半径的半圆， 所以轨迹长度为，正确， 故选：ACD. 三、填空题 11．（24-25高二下·四川成都·期末）圆心为点，且过点的圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】由两点之间的距离公式，求出圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程. 【详解】因为，，所以圆半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 12．（22-23高二上·四川南充·阶段练习）已知圆，直线，若圆上至少有3个不同的点到直线的距离都等于，则的取值范围是 【答案】 【分析】数形结合，找到满足题意的临界状态，再利用点到直线的距离公式，列出不等式，即可求得范围. 【详解】根据题意，作图如下所示： 因为圆的半径为，故当圆心到直线的距离小于等于时，满足题意， 也即当直线与平行，且介于之间（也可与重合）时，满足题意； 则圆心到直线的距离，解得. 故答案为：. 13．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知圆，直线与圆相交，则直线截圆的最短弦长为 ． 【答案】 【分析】由求出直线过的定点，进而可判断定点在圆内，所以直线被圆截得的弦长最短时，，由此即可求解． 【详解】将直线整理得，， 由得，， 则直线过定点， 由得，，圆心为，半径 因为，所以点在圆内部， 当直线截圆的弦长最短时，， 所以弦长为， 故答案为：． 14．（24-25高二上·内蒙古通辽·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长是 . 【答案】 【分析】建立适当平面直角坐标系，设，计算出点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，可得直线就是所在的直线，结合重心坐标计算即可得出两对称点坐标，再借助周长公式及对称性结合两点间距离公式计算即可得. 【详解】以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则，，， 所以直线的方程为， 设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为， 由，易得，，直线就是所在的直线，    所以直线的方程为， 设的重心为，则， 所以，即， 所以（舍去）或， 所以，. 结合对称关系可知，， 所以的周长即线段的长度为：. 故答案为：. 15．（24-25高二下·上海·阶段练习）过定点的直线与曲线交于不同的两点，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题干中的方程，明确曲线所围成的图形，根据直线与圆的位置关系，可得答案. 【详解】由已知曲线表示的是以为圆心，以为半径的上半圆， 由题意可知直线的斜率一定存在且大于零，可设方程为，即 当直线与圆相切时，即，得，解得， 所以直线的斜率的取值范围是. 16．（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）直线过点，且和两点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】分直线斜率不存在和存在两种情况：利用点到平面距离相等列式计算即可求. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为：时，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即， 由于和两点到直线的距离相等， 所以， 解得，此时直线的方程为：， 综上所述，直线的方程为：或. 故答案为：或 四、解答题 17．（2025高二上·全国·专题练习）已知圆过点，试求周长最小的圆的方程． 【答案】 【分析】是定弦，当定弦为直径时，圆的半径最小，从而周长最小，再确定圆的方程. 【详解】经过A，B两点且周长最小的圆，即半径最小的圆，故应是以AB为直径的圆． 又AB中点为，半径，所以所求圆的方程为． 18．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知圆：，直线：. (1)求过圆心且与直线垂直的直线方程； (2)直线与圆交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆的方程求圆心坐标，根据直线垂直关系求所求直线的斜率，利用点斜式求直线方程； （2）求出弦长后利用公式可求面积. 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径， 直线的斜率为， 与直线垂直的直线的斜率为1， 所以过圆心且与直线垂直的直线方程为， （2）圆心到直线距离， 所以， 所以的面积. 19．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知点，且四边形是平行四边形． (1)求点的坐标； (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）求出直线的斜率，根据平行四边形的性质结合直线的方程，即可求出的方程，联立即可求得答案； （2）求出以及点到直线的距离，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得直线的斜率为，则其方程为， 直线的斜率为， 因为直线与直线平行，且过点，所以直线的方程为， 因为直线与直线平行，且过点，所以直线的方程为1． 联立，解得，即点的坐标为． （2）因为， 又点到直线的距离， 故平行四边形的面积. 20．（24-25高二上·天津宝坻·阶段练习）已知的三个顶点为，BC中点为D点，求： (1)BC边所在直线的方程； (2)BC边上中线AD所在直线的方程； (3)BC边的垂直平分线的方程． (4)直线BC与二次函数图象交于P，Q两点，O为坐标原点，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）计算，根据点斜式得到直线方程. （2）计算中点坐标为，再计算，得到直线方程. （3），得到垂直平分线的斜率为，中点为，得到直线方程. （4）联立直线BC的方程与二次函数的解析式，求出线段长，再求出原点到直线的距离即可求出面积. 【详解】（1）直线的斜率， 所以边所在直线的方程为：，即. （2）边中点，直线的斜率， 所以AD所在直线的方程为，即. （3）由，得BC边的垂直平分线的斜率为，该直线过点， 所以BC边的垂直平分线的方程为，即. （4）由（1）知，直线：，则原点到直线的距离， 由消去得，解得，令， ，的面积. 21．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知圆的圆心在直线上，且直线与圆相切. (1)求圆的方程； (2)设圆与轴交于两点，点在圆内，且.记直线的斜率分别为和，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据标准方程写出圆心坐标，由圆心在可以求出圆心坐标，然后利用点到直线的距离求出半径，从而求解； （2）设，利用表示，结合在圆内，，得到的关系，从而求解. 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，所以，即， 因为直线与圆相切，所以， 故圆的方程为. （2）由（1）知，圆心，依题意得.设，因为点在圆内，所以. 因为，所以， 所以. 因为直线的斜率分别为，所以， 则. 因为，所以， 所以， 则.故的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线与圆的方程 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 直线的方程 题型二 两条直线的位置关系 题型三 点到直线的距离 题型四 圆的方程 题型五 直线与圆的位置关系 题型六 圆与圆的位置关系 知识清单 知识点01直线的倾斜角与斜率 1．当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 4. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 5．直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 知识点02求直线的方程 1.方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 3.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 4.我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 5.我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 知识点03利用一般式解决直线的平行与垂直问题 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 知识点04判断两直线位置关系的方法 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点05点到直线的距离公式 1.点到直线的距离公式：d＝. 2．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 知识点06圆的方程 1.确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 2．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 3．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 知识点07直线与圆的位置关系 直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 知识点08圆与圆的位置关系 1．代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 题型方法 【题型一】 直线的方程 【例1】（24-25高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求直线的斜率； (2)求中线的方程. 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 【变式2】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知的三个顶点是 (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求角A的内角平分线所在的直线方程 【变式3】（23-24高二上·重庆·期中）已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【题型二】 两条直线的位置关系 【例2】（22-23高二上·湖南邵阳·期中）已知直线;直线. (1)若，求实数的值; (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程. 【举一反三】【变式1】（22-23高二下·上海宝山·期末）已知直线：；：. (1)若，求实数的值； (2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【变式2】（23-24高二上·山东·阶段练习）求满足以下条件的参数的值． (1)若直线：和直线：平行，求m的值． (2)已知直线经过点，，直线经过点，，若，求a的值． 【变式3】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 【题型三】点到直线的距离 【例3】（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·重庆·阶段练习）点到直线的距离为 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）求点到下列直线的距离： (1)； (2)； (3)． 【变式3】（24-25高二上·河北邢台·期末）已知圆的圆心在轴上，且经过点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于两点，求的面积. 【题型四】圆的方程 【例4】（24-25高二下·河南周口·期中）已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知圆经过点，，且圆心在轴上.求圆的标准方程. 【变式3】（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知的三个顶点分别为，，. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 【题型五】直线与圆的位置关系 【例5】（24-25高二下·重庆·阶段练习）直线的图象如图所示，则圆与直线的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【举一反三】【变式1】（22-23高二上·宁夏银川·阶段练习）直线与圆的位置关系是 . 【变式2】（24-25高二上·陕西·期中）已知圆：，直线：. (1)证明：不论取什么实数时，直线与圆恒交于两点； (2)求直线被圆截得的线段的最短长度以及此时实数的值. 【变式3】（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）已知圆关于直线对称，且过点. (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于、两点，且，求此时直线的方程. 【题型六】圆与圆的位置关系 【例6】（24-25高二上·广东清远·期末）如图，圆内一点，直线过点，且倾斜角为. (1)求弦长； (2)若圆与圆相交，求的取值范围. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知圆：，圆：． (1)证明：圆与圆相交； (2)若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程． 【变式2】（24-25高二上·广东·期末）已知，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求的标准方程； (2)求与的公切线条数，并探究与是否有公共弦，若有，求出公共弦的一般式方程；若没有，说明理由． 【变式3】（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知圆，直线． (1)判断直线l与圆C的位置关系； (2)求圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值； (3)圆心为的圆与圆C相切，求圆的方程． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江西南昌·期中）圆的圆心到直线的距离为（   ） A． B． C．3 D．2 2．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·四川乐山·期末）点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 7．（23-24高二上·四川广安·期中）下列说法错误的是（    ） A．经过点，倾斜角为的直线方程为 B．方程表示的直线过定点 C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D．若方程表示圆，则 8．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知三点下列结论正确的是（    ） A．AB的距离为 B．直线BC的一般式方程为 C．以BC为直径的圆方程为 D．外接圆的方程为 9．（24-25高二上·山西朔州·期中）已知的三个顶点是，，，则（   ） A．边的长度是 B．直线的方程为 C．边上的高所在直线的方程为 D．的面积是4 10．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知过原点的直线交圆于A，B两点，则下列说法正确的是（      ） A．若直线的方程为，且，则 B．若M，N为圆上的任意两点，当时，的最大值为 C．若原点在圆外，则 D．当时，AB中点的轨迹长度为 三、填空题 11．（24-25高二下·四川成都·期末）圆心为点，且过点的圆的标准方程是 ． 12．（22-23高二上·四川南充·阶段练习）已知圆，直线，若圆上至少有3个不同的点到直线的距离都等于，则的取值范围是 13．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知圆，直线与圆相交，则直线截圆的最短弦长为 ． 14．（24-25高二上·内蒙古通辽·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长是 . 15．（24-25高二下·上海·阶段练习）过定点的直线与曲线交于不同的两点，则直线的斜率的取值范围是 . 16．（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）直线过点，且和两点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 四、解答题 17．（2025高二上·全国·专题练习）已知圆过点，试求周长最小的圆的方程． 18．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知圆：，直线：. (1)求过圆心且与直线垂直的直线方程； (2)直线与圆交于，两点，求的面积. 19．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知点，且四边形是平行四边形． (1)求点的坐标； (2)求平行四边形的面积． 20．（24-25高二上·天津宝坻·阶段练习）已知的三个顶点为，BC中点为D点，求： (1)BC边所在直线的方程； (2)BC边上中线AD所在直线的方程； (3)BC边的垂直平分线的方程． (4)直线BC与二次函数图象交于P，Q两点，O为坐标原点，求的面积． 21．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知圆的圆心在直线上，且直线与圆相切. (1)求圆的方程； (2)设圆与轴交于两点，点在圆内，且.记直线的斜率分别为和，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$